Weierstrass transformation

Inom matematik är Weierstrasstransformen av en funktion $f : R \to R$ , uppkallad efter Karl Weierstrass , en "utjämnad" version av $f (x)$ som erhålls genom att medelvärdesbilda värdena på $f$ , viktad med en Gauss centrerad vid x .

Grafen för en funktion f ( x ) (svart) och dess generaliserade Weierstrass-transformationer för fem breddparametrar ( t ). Standard Weierstrasstransformen

F (x)

ges av fallet t = 1 (i grönt)

Specifikt är det funktionen $F$ som definieras av

{

faltningen av $f$ med Gaussfunktionen _

{\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.

Faktorn 1/√(4 π ) är vald så att Gauss får en total integral på 1, med konsekvensen att konstanta funktioner inte ändras av Weierstrasstransformen.

Istället för $F (x)$ skriver man också $W [f](x)$ . Observera att $F (x)$ inte behöver existera för varje reellt tal $x$ , när den definierande integralen misslyckas med att konvergera.

Weierstrass-transformen är intimt relaterad till värmeekvationen (eller, ekvivalent, diffusionsekvationen med konstant diffusionskoefficient). Om funktionen $f$ beskriver initialtemperaturen vid varje punkt av en oändligt lång stav som har konstant värmeledningsförmåga lika med 1, så kommer temperaturfördelningen för staven t = 1 tidsenheter senare att ges av funktionen F . Genom att använda värden på t som skiljer sig från 1 kan vi definiera den generaliserade Weierstrasstransformen av $f$ .

Den generaliserade Weierstrass-transformen ger ett sätt att approximera en given integrerbar funktion på $ett$ godtyckligt sätt med analytiska funktioner .

Namn

Weierstrass använde denna omvandling i sitt ursprungliga bevis på Weierstrass approximationssats . Den är också känd som Gauss-transformen eller Gauss–Weierstrass-transformen efter Carl Friedrich Gauss och som Hille-transformen efter Einar Carl Hille som studerade den mycket. Generaliseringen W _t som nämns nedan är känd inom signalanalys som ett Gaussiskt filter och i bildbehandling (när den implementeras på R ² ) som en Gaussisk oskärpa .

Transformeringar av några viktiga funktioner

Som nämnts ovan är varje konstant funktion sin egen Weierstrass-transform. Weierstrasstransformen av vilket polynom som helst är ett polynom av samma grad och i själva verket samma ledande koefficient (den asymptotiska tillväxten är oförändrad). Faktum är att om $H n$ betecknar (fysikerns) hermitpolynom av grad n , så är Weierstrasstransformen av $H n$ ( $x$ /2) helt enkelt $x n$ . Detta kan visas genom att utnyttja det faktum att genereringsfunktionen för hermitpolynomen är nära besläktad med den gaussiska kärnan som används i definitionen av Weierstrasstransformen.

Weierstrasstransformen av funktionen e ^ax (där a är en godtycklig konstant) är e ^{a ²} e ^ax . Funktionen e ^ax är alltså en egenfunktion till Weierstrasstransformen. (Detta är faktiskt mer allmänt sant för alla faltningstransformeringar.)

Om man ställer in a = bi där i är den imaginära enheten och applicerar Eulers identitet ser man att Weierstrasstransformen av funktionen cos( bx ) är e ^{− b ²} cos( bx ) och Weierstrasstransformen av funktionen sin( bx ) är e ^{− b ²} sin( bx ).

Weierstrass-transformen av funktionen e ^{ax ²} är

{\frac {1}{\sqrt {1-4a}}}e^{\frac {ax^{2}}{1-4a}}

om a < 1/4 och odefinierat om a ≥ 1/4.

I synnerhet, genom att välja ett negativt, är det uppenbart att Weierstrass-transformen av en Gauss-funktion återigen är en Gauss-funktion, men en "bredare".

Generella egenskaper

Weierstrass-transformen tilldelar varje funktion f en ny funktion F ; denna uppgift är linjär . Den är också translationsinvariant, vilket betyder att transformationen av funktionen f ( x + a ) är F ( x + a ). Båda dessa fakta är mer generellt sanna för alla integrerade transformationer som definieras via faltning.

Om transformationen F ( x ) finns för de reella talen x = a och x = b , så finns den också för alla reella värden däremellan och bildar där en analytisk funktion ; dessutom kommer F ( x ) att existera för alla komplexa värden på x med a ≤ Re( x ) ≤ b och bildar en holomorf funktion på den remsan i det komplexa planet . Detta är det formella uttalandet om "jämnheten" hos F som nämnts ovan.

Om f är integrerbar över hela den reella axeln (dvs f ∈ L ¹ ( R ) ), så är dess Weierstrasstransform F , och om dessutom f ( x ) ≥ 0 för alla x , så även F ( x ) ≥ 0 för alla x och integralerna av f och F är lika. Detta uttrycker det fysiska faktum att den totala termiska energin eller värmen bevaras av värmeekvationen, eller att den totala mängden diffunderande material bevaras av diffusionsekvationen.

Med hjälp av ovanstående kan man visa att för 0 < p ≤ ∞ och f ∈ L ^p ( R ) har vi F ∈ L ^p ( R ) och || F || _p ≤ || f || _sid . Weierstrass-transformen ger följaktligen en begränsad operator W : L ^p ( R ) → L ^p ( R ).

Om f är tillräckligt jämn, så är Weierstrasstransformen av den k: te derivatan av f lika med den k :te derivatan av Weierstrasstransformen av f .

Det finns en formel som relaterar Weierstrass-transformen W och den tvåsidiga Laplace-transformen L . Om vi definierar

g(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}f(x)

sedan

W[f](x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}L[g]\left(-{\frac {x}{2}}\höger).

Lågpassfilter

Vi har sett ovan att Weierstrasstransformen av cos( bx ) är e ^{− b ²} cos( bx ), och analogt för sin( bx ). När det gäller signalanalys tyder detta på att om signalen f innehåller frekvensen b (dvs innehåller en summa som är en kombination av sin( bx ) och cos( bx )), så kommer den transformerade signalen F att innehålla samma frekvens, men med en amplitud multiplicerad med faktorn e ^{− b ²} . Detta får till följd att högre frekvenser reduceras mer än lägre, och Weierstrasstransformen fungerar därmed som ett lågpassfilter . Detta kan också visas med den kontinuerliga Fouriertransformen enligt följande. Fouriertransformen analyserar en signal i termer av dess frekvenser, omvandlar faltningar till produkter och omvandlar Gausser till Gausser. Weierstrasstransformen är faltning med en Gauss och är därför multiplikation av den Fouriertransformerade signalen med en Gauss, följt av applicering av den inversa Fouriertransformen. Denna multiplikation med en Gauss i frekvensutrymme blandar ut höga frekvenser, vilket är ett annat sätt att beskriva Weierstrasstransformens "utjämnande" egenskap.

Den omvända transformationen

Följande formel, nära besläktad med Laplace-transformationen av en Gauss-funktion, och en verklig analog till Hubbard-Stratonovich-transformationen , är relativt lätt att fastställa:

e^{u^{2}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-uy}e^ {-y^{2}/4}\;dy.

Ersätt nu u med den formella differentieringsoperatorn D = d / dx och använd Lagrange- skiftoperatorn

e^{-yD}f(x)=f(xy)

,

(en konsekvens av Taylor-seriens formel och definitionen av exponentialfunktionen ), för att erhålla

{\begin{aligned}e^{D^{2}}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }} }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{ \sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(xy)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\ end{aligned}}

för att på så sätt erhålla följande formella uttryck för Weierstrass-transformen W ,

$W=e^{D^{2}}~,$

där operatören till höger ska förstås som agerande på funktionen f ( x ) as

e^{D^{2}}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {D^{2k}f(x)}{k!}}~ .

Ovanstående formella härledning överskuggar detaljer om konvergens, och formeln W = e ^{D ²} är alltså inte allmängiltig; det finns flera funktioner f som har en väldefinierad Weierstrasstransform, men för vilka e ^{D ²} f ( x ) inte kan definieras meningsfullt.

Ändå är regeln fortfarande ganska användbar och kan till exempel användas för att härleda Weierstrass-transformerna av polynom, exponential- och trigonometriska funktioner som nämnts ovan.

Den formella inversen av Weierstrass-transformen ges alltså av

W^{-1}=e^{-D^{2}}~.

Återigen, denna formel är inte universellt giltig men kan fungera som en guide. Det kan visa sig vara korrekt för vissa klasser av funktioner om den högra operatören är korrekt definierad.

Man kan alternativt försöka invertera Weierstrass-transformen på ett något annat sätt: givet den analytiska funktionen

F(x)=\summa _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}~,

tillämpa W ⁻¹ för att erhålla

f(x)= W^{-1}[F(x)]=\summa _{n=0}^{\infty }a_{n}W^{-1}[x^{n}]=\summa _{n= 0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x/2)

återigen genom att använda en fundamental egenskap hos (fysikernas) hermitpolynomen $H n$ .

Återigen, denna formel för f ( x ) är i bästa fall formell, eftersom man inte kontrollerade om den slutliga serien konvergerar. Men om till exempel f ∈ L ² ( R ), så räcker det med kunskap om alla derivator av F vid x = 0 för att ge koefficienterna a _n ; och att på så sätt rekonstruera $f$ som en serie hermitpolynom .

En tredje metod för att invertera Weierstrass-transformen utnyttjar dess koppling till Laplace-transformen som nämns ovan, och den välkända inversionsformeln för Laplace-transformen. Resultatet anges nedan för utdelningar.

Generaliseringar

Vi kan använda faltning med den Gaussiska kärnan ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2 }}{4t}}}}$ (med något $t > 0$ ) istället för ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-{\ frac {x^{2}}{4}}}}$ , vilket definierar en operator $W t$ , den generaliserade Weierstrass-transformen.

För små värden på $, t är W t [f]$ mycket nära $f$ men jämn. Ju större $t$ , desto mer utvärderar denna operator och ändrar $f$ . Fysiskt $W t$ att följa värme (eller diffusions) ekvationen för $t$ tidsenheter, och detta är additivt,

W_{s}\circ W_{t}=W_{s+t},

motsvarande att "diffundera för

t

tidsenheter, sedan

s

tidsenheter, motsvarar att sprida för

s + t

tidsenheter". Man kan utöka detta till

t = 0

genom att sätta

W 0

som identitetsoperator (dvs. faltning med Dirac delta-funktionen ), och dessa bildar sedan en enparameters semigrupp av operatorer.

Kärnan ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}} }}$ som används för den generaliserade Weierstrass-transformen kallas ibland Gauss–Weierstrass-kärnan och är Greens funktion för diffusionsekvationen $(\partial _ {t}-D^{2})(e^{tD^{2}}f(x))=0$ på $R$ .

$W t$ kan beräknas från $W$ : givet en funktion $f (x)$ $, t (x) = f (x\sqrtt);$ definiera en ny funktion f sedan $W t [f] (x) = W [f t] (x / \sqrt t)$ , en konsekvens av substitutionsregeln .

Weierstrass-transformen kan också definieras för vissa klasser av distributioner eller "generaliserade funktioner". Till exempel är Weierstrass-transformen av Dirac-deltat den Gaussiska ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2} /4}}$ .

I detta sammanhang kan rigorösa inversionsformler bevisas, t.ex.

f(x)=\lim _{r\ till \infty }{\frac {1}{i{\sqrt {4\pi }}}}\int _{x_{0}-ir}^{x_{0}+ir}F(z)e^{ \frac {(xz)^{2}}{4}}\;dz

där

x 0

är ett fast reellt tal för vilket

0 F (x)

finns, sträcker sig integralen över den vertikala linjen i det komplexa planet med reell del

x 0

, och gränsen ska tas i betydelsen fördelningar.

Dessutom kan Weierstrass-transformen definieras för real- (eller komplexa) värderade funktioner (eller distributioner) definierade $på Rn$ . Vi använder samma faltningsformel som ovan men tolkar integralen som att den sträcker sig över hela $R n$ och uttrycket $(x - y) 2$ som kvadraten på den euklidiska längden av vektorn $x - y$ ; faktorn framför integralen måste justeras så att Gauss får en total integral på 1.

Mer allmänt kan Weierstrass-transformen definieras på vilket Riemann-grenrör som helst : värmeekvationen kan formuleras där (med hjälp av grenrörets Laplace–Beltrami-operator ), och Weierstrass-transformen $W [f]$ ges sedan genom att följa lösningen av värmeekvationen för en tidsenhet, med början med den initiala "temperaturfördelningen" $f$ .

Relaterade transformationer

Om man betraktar faltning med kärnan $1/(π(1 + x 2))$ istället för med en Gauss, erhåller man Poisson-transformen som jämnar ut och medelvärderar en given funktion på ett sätt som liknar Weierstrass-transformen.

Se även