Binet -ekvationen , härledd av Jacques Philippe Marie Binet , ger formen av en central kraft givet formen av omloppsrörelsen i plana polära koordinater . Ekvationen kan också användas för att härleda formen på omloppsbanan för en given kraftlag, men detta involverar vanligtvis lösningen till en andra ordningens ickelinjär vanlig differentialekvation . En unik lösning är omöjlig vid cirkulär rörelse kring kraftcentrum.
Ekvation
Formen på en bana beskrivs ofta bekvämt i termer av det relativa avståndet
r
{\displaystyle r}
θ
{\displaystyle \theta }
u = 1
/
r
{\displaystyle u=1/r}
θ
{\displaystyle \theta }
specifika rörelsemängden som
h = L
/
m
{\displaystyle h=L/m}
L
{\displaystyle L}
rörelsemängden och
m
{\displaystyle m}
u ( θ )
{\displaystyle u(\theta )}
F (
u
− 1
) = − m
h
2
u
2
(
d
2
u
d
θ
2
+ u
)
.
{\displaystyle F(u^{-1})=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\höger).}
Härledning
Newtons andra lag för en rent central kraft är
F ( r ) = m
(
r ¨
− r
θ ˙
2
)
.
{\displaystyle F(r)=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right).}
Bevarandet av rörelsemängd kräver det
r
2
θ ˙
= h =
konstant
.
{\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=h={\text{konstant}}.}
Derivater av
r
{\displaystyle r}
u = 1
/
r
{\displaystyle u=1/r}
d
u
d
θ
=
d
d
t
(
1 r
)
d
t
d
θ
= −
r ˙
r
2
θ ˙
= −
r ˙
h
d
2
u
d
θ
2
= −
1 h
d
r ˙
d
t
d
t
d
θ
= −
r ¨
h
θ ˙
= −
r ¨
h
2
u
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\ mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta } }=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\ frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\mathrm {d} {\ punkt {r}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h {\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\end{aligned}}}
Genom att kombinera allt ovan kommer vi fram till
F = m
(
r ¨
− r
θ ˙
2
)
= − m
(
h
2
u
2
d
2
u
d
θ
2
+
h
2
u
3
)
= − m
h
2
u
2
(
d
2
u
d
θ
2
+ u
)
{ \displaystyle F=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right)=-m\left(h^{2}u^{2}{\ frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^ {2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}
Den allmänna lösningen är
θ =
∫
r
0
r
d
r
r
2
2 m
L
2
( E − V ) −
1
r
2
+
θ
0
{\displaystyle \theta =\int _{r_{0}}^{r}{\frac {\mathrm { d} r}{r^{2}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}(EV)-{\frac {1}{r^{2}}}}}}} +\theta _{0}}
där
(
r
0
,
θ
0
)
{\displaystyle (r_{0},\theta _{0})}
är den initiala koordinaten för partikeln.
Exempel
Kepler problem
Klassisk
Det traditionella Kepler-problemet med att beräkna omloppsbanan för en omvänd kvadratlag kan avläsas från Binet-ekvationen som lösningen på differentialekvationen
− k
u
2
= − m
h
2
u
2
(
d
2
u
d
θ
2
+ u
)
{\displaystyle -ku^{2}=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\ mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}
d
2
u
d
θ
2
+ u =
k
m
h
2
≡
konstant
> 0.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}} +u={\frac {k}{mh^{2}}}\equiv {\text{konstant}}>0.}
Om vinkeln
θ
{\displaystyle \theta }
periapsis , då är den allmänna lösningen för omloppsbanan uttryckt i (reciproka) polära koordinater
l u = 1 + ε cos θ .
{\displaystyle lu=1+\varepsilon \cos \theta .}
Ovanstående polära ekvation beskriver koniska sektioner , med
l
{\displaystyle l}
-latus rektum (lika med
h
2
/
μ =
h
2
m
/
k
{\displaystyle h^{2}/\mu =h^{2} m/k}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
orbitala excentriciteten .
Relativistisk
Den relativistiska ekvationen som härleds för Schwarzschild-koordinater är
d
2
u
d
θ
2
+ u =
r
s
c
2
2
h
2
+
3
r
s
2
u
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^ {2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}}
där
c
{\displaystyle c}
är
ljusets hastighet och
r
s
{\displaystyle r_{s}}
är
Schwarzschild-radien . Och för
Reissner–Nordström metrisk ska vi få
d
2
u
d
θ
2
+ u =
r
s
c
2
2
h
2
+
3
r
s
2
u
2
−
G
Q
2
4 π
ε
0
c
4
(
c
2
h
2
u + 2
u
3
)
{\displaystyle {\frac { \mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}} +{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left( {\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)}
där
Q
{\displaystyle Q}
är den
elektriska laddningen och
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}}
är
vakuumpermittiviteten .
Omvänt Kepler-problem
Tänk på det omvända Kepler-problemet. Vilken typ av kraftlag producerar en icke-cirkulär elliptisk bana (eller mer allmänt en icke-cirkulär konisk sektion ) runt ellipsens fokus ?
Att differentiera två gånger ovanstående polära ekvation för en ellips ger
l
d
2
u
d
θ
2
= − ε cos θ .
{\displaystyle l\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-\varepsilon \cos \theta .}
Kraftlagen är därför
F = − m
h
2
u
2
(
− ε cos θ
l
+
1 + ε cos θ
l
)
= −
m
h
2
u
2
l
= −
m
h
2
l
r
2
,
{\displaystyle F=-mh^{ 2}u^{2}\left({\frac {-\varepsilon \cos \theta }{l}}+{\frac {1+\varepsilon \cos \theta }{l}}\right)=-{ \frac {mh^{2}u^{2}}{l}}=-{\frac {mh^{2}}{lr^{2}}},}
vilket är den förväntade omvända kvadratlagen. Matcha orbitalen
h
2
/
l = μ
{\displaystyle h^{2}/l=\mu }
till fysiska värden som
GM
{
{\displaystyle GM}
eller
k
e
q
1
q
2
/
m
\displaystyle k_{e} q_{1}q_{2}/m}
återger
Newtons lag för universell gravitation respektive
Coulombs lag .
Den effektiva kraften för Schwarzschild-koordinater är
F = − G M m
u
2
(
1 + 3
(
h u
c
)
2
)
= −
G M m
r
2
(
1 + 3
(
h
r c
)
2
)
.
{\displaystyle F=-GMmu^{2}\left(1+3\left({\frac {hu}{c}}\right)^{2}\right)=-{\frac {GMm}{r ^{2}}}\left(1+3\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right).}
där den andra termen är en omvänd kvartskraft som motsvarar kvadrupoleffekter såsom vinkelförskjutningen av
periapsis (Det kan också erhållas via retarderade potentialer).
I den parametriserade post-newtonska formalismen kommer vi att få
F = −
G M m
r
2
(
1 + ( 2 + 2 γ − β )
(
h
r c
)
2
)
.
{\displaystyle F=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+(2+2\gamma -\beta )\left({\frac {h}{rc}}\right )^{2}\höger).}
där
γ = β = 1
{\displaystyle \gamma =\beta =1}
för den
allmänna relativiteten och
γ = β =
0
{\displaystyle \gamma =\beta =0}
i det klassiska fallet.
Cotes spiraler
En invers kubkraftlag har formen
F ( r ) = −
k
r
3
.
{\displaystyle F(r)=-{\frac {k}{r^{3}}}.}
Formerna på banorna i en omvänd kublag är kända som Cotes-spiraler . Binet-ekvationen visar att banorna måste vara lösningar på ekvationen
d
2
u
d
θ
2
+ u =
k u
m
h
2
= C u .
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {ku}{mh^{2}}}= Cu.}
Differentialekvationen har tre typer av lösningar, i analogi med de olika koniska sektionerna av Keplerproblemet. När
C < 1
{\displaystyle C<1}
epispiralen , inklusive det patologiska fallet med en rak linje när
C =
0
{\displaystyle C=0}
C = 1
{\displaystyle C=1}
hyperboliska spiralen . När
C > 1
{\displaystyle C>1}
Poinsots spiral .
Cirkulär rörelse utanför axeln
Även om Binet-ekvationen inte lyckas ge en unik kraftlag för cirkulär rörelse kring kraftcentrum, kan ekvationen ge en kraftlag när cirkelns centrum och kraftcentrum inte sammanfaller. Betrakta till exempel en cirkulär bana som passerar direkt genom kraftcentrum. En (reciprok) polär ekvation för en sådan cirkulär bana med diametern
D
{\displaystyle D}
D u ( θ ) = sek θ .
{\displaystyle D\,u(\theta )=\sec \theta .}
Att differentiera
u
{\displaystyle u}
pytagoreiska identiteten ger
D
d
2
u
d
θ
2
= sek θ
tan
2
θ +
sek
3
θ = sek θ (
sek
2
θ − 1 ) +
sek
3
θ = 2
D
3
u
3
− D u .
{\displaystyle D\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=\sec \theta \tan ^{2}\theta +\ sek ^{3}\theta =\sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)+\sec ^{3}\theta =2D^{3}u^{3}-D\,u. }
Kraftlagen är således
F = − m
h
2
u
2
(
2
D
2
u
3
− u + u
)
= − 2 m
h
2
D
2
u
5
= −
2 m
h
2
D
2
r
5
.
{\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left(2D^{2}u^{3}-u+u\right)=-2mh^{2}D^{2}u^ {5}=-{\frac {2mh^{2}D^{2}}{r^{5}}}.}
Observera att att lösa det allmänna inversa problemet, dvs att konstruera banorna för en attraktiv
1
/
r
5
{\displaystyle 1/r^{5}}
d
2
u
d
θ
2
+ u = C
u
3
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=Cu^{ 3}}
som är en andra ordningens olinjär differentialekvation.
Se även
