Alcubierre köra

Tvådimensionell visualisering av en Alcubierre-enhet, som visar de motsatta regionerna av expanderande och sammandragande rumtid som förskjuter den centrala regionen

Alcubierre -drevet ( [alˈkubie:re] ) är en spekulativ warp- drivningsidé enligt vilken en rymdfarkost skulle kunna uppnå skenbart snabbare än ljuset färd genom att dra ihop utrymmet framför det och expandera utrymmet bakom det, under antagandet att en konfigurerbar energi -densitetsfält lägre än vakuum (det vill säga negativ massa ) kan skapas. Alcubierre-drevet föreslogs av teoretisk fysiker Miguel Alcubierre 1994 och är baserat på en lösning av Einsteins fältekvationer . Eftersom dessa lösningar är metriska tensorer , kallas Alcubierre-drevet även Alcubierre metriskt .

Objekt kan inte accelerera till ljusets hastighet inom normal rumtid ; istället förskjuter Alcubierre-enheten rymden runt ett objekt så att objektet skulle anlända till sin destination snabbare än ljus skulle göra i normala rymden utan att bryta några fysiska lagar .

Även om det mått som Alcubierre föreslagit överensstämmer med Einsteins fältekvationer, är det inte nödvändigtvis möjligt att bygga en sådan enhet. Den föreslagna mekanismen för Alcubierre-drevet innebär en negativ energitäthet och kräver därför exotisk materia eller manipulation av mörk energi . Om exotisk materia med de korrekta egenskaperna inte kan existera, kan enheten inte konstrueras. I slutet av sin ursprungliga artikel hävdade dock Alcubierre (efter ett argument utvecklat av fysiker som analyserade genomkörbara maskhål ) att Casimir-vakuumet mellan parallella plattor kunde uppfylla kravet på negativ energi för Alcubierre-drevet. En del forskning har hävdat att ett sådant koncept är möjligt med rent positiv energi med hjälp av " soliton "-vågor.

En annan möjlig fråga är att, även om Alcubierre-metriken är förenlig med Einsteins ekvationer, innehåller generell relativitetsteori inte kvantmekanik . Vissa fysiker har presenterat argument för att antyda att en teori om kvantgravitation (som skulle inkludera båda teorierna) skulle eliminera de lösningar i generell relativitetsteori som tillåter bakåtgående tidsresor (se kronologiskyddsförmodan ) och därmed göra Alcubierre-drevet ogiltigt.

Historia

1994 föreslog Miguel Alcubierre en metod för att ändra rymdens geometri genom att skapa en våg som skulle få rymdstrukturen framför ett rymdskepp att dra ihop sig och utrymmet bakom det att expandera. Fartyget skulle sedan åka på denna våg inuti ett område med platt rymd, känd som en varpbubbla , och skulle inte röra sig inom denna bubbla utan istället bäras med sig när själva regionen rör sig på grund av drivningens handlingar. Den lokala hastigheten i förhållande till den deformerade rymdtiden skulle vara subluminal, men hastigheten med vilken ett rymdskepp skulle kunna röra sig skulle vara superluminal, vilket skulle göra det möjligt att flyga mellan stjärnorna, till exempel ett besök i Proxima Centauri inom några dagar .

Alcubierre metrisk

Alcubierre -måttet definierar warp-drive spacetime . Det är en Lorentzisk mångfald som, om den tolkas i sammanhanget av allmän relativitet , tillåter en varpbubbla att dyka upp i tidigare platt rymdtid och röra sig bort med en effektivare hastighet än ljuset. Det inre av bubblan är en tröghetsreferensram och invånarna upplever ingen ordentlig acceleration. Denna transportmetod involverar inte föremål i rörelse med högre hastigheter än ljuset med avseende på innehållet i varpbubblan; det vill säga en ljusstråle i varpbubblan skulle fortfarande alltid röra sig snabbare än skeppet. Eftersom objekt i bubblan inte rör sig (lokalt) snabbare än ljus, är den matematiska formuleringen av Alcubierre-metriken förenlig med de konventionella påståendena från relativitetslagarna (nämligen att ett föremål med massa inte kan uppnå eller överstiga ljusets hastighet ) och konventionella relativistiska effekter såsom tidsutvidgning skulle inte tillämpas som de skulle göra med konventionell rörelse vid nära ljushastigheter.

En förlängning av Alcubierre-metriken som eliminerar expansionen av volymelementen och istället förlitar sig på förändringen i avstånd längs färdriktningen är matematikern José Natário. I hans metrik drar rumtiden ihop sig mot skeppets fört och expanderar i riktningen vinkelrät mot rörelsen, vilket betyder att bubblan faktiskt "glider" genom rymden, grovt sett genom att "skjuta undan rymden".

Alcubierre-enheten förblir ett hypotetiskt koncept med till synes svåra problem, även om mängden energi som krävs inte längre anses vara ouppnåeligt stor. Dessutom hävdar Alexey Bobrick och Gianni Martire att i princip kan en klass av subluminala, sfäriskt symmetriska varpdrivningsrymdtider konstrueras baserat på fysiska principer som för närvarande är kända för mänskligheten, såsom positiv energi.

Matematik

Med den allmänna relativitetsteoriens ADM -formalism beskrivs rymdtiden genom en foliation av rymdliknande hyperytor med konstant koordinattid t , med metriken i följande allmänna form:

$ds^{2}=-\left( \alpha ^{2}-\beta _{i}\beta ^{i}\right)\,dt^{2}+2\beta _{i}\,dx^{i}\,dt+\gamma _ {ij}\,dx^{i}\,dx^{j},$

var

• α är lapse-funktionen som ger rätt tidsintervall mellan närliggande hyperytor,
• β ⁱ är skiftvektorn som relaterar de rumsliga koordinatsystemen på olika hyperytor,
• y _ij är ett positivt-definitivt mått på var och en av hyperytorna.

Den speciella form som Alcubierre studerade definieras av:

${\begin{aligned}\alpha &= 1,\\\beta ^{x}&=-v_{s}(t)f{\big (}r_{s}(t){\big )},\\\beta ^{y}&=\ beta ^{z}=0,\\\gamma _{ij}&=\delta _{ij},\end{aligned}}$

var

${\begin{aligned}v_{s}(t)&={\frac {dx_{s }(t)}{dt}},\\r_{s}(t)&={\sqrt {{\big (}x-x_{s}(t){\big )}^{2}+y ^{2}+z^{2}}},\\f(r_{s})&={\frac {\tanh {\big (}\sigma (r_{s}+R){\big )} -\tanh {\big (}\sigma (r_{s}-R){\big )}}{2\tanh(\sigma R)}},\end{aligned}}$

med godtyckliga parametrar R > 0 och σ > 0 . Alcubierres specifika form av metriken kan alltså skrivas:

$ds^{2}=\left(v_{s}(t)^{2}f{\big (}r_{s}(t){\big )}^{2}-1\right) \,dt^{2}-2v_{s}(t)f{\big (}r_{s}(t){\big )}\,dx\,dt+dx^{2}+dy^{2 }+dz^{2}.$

Med denna speciella form av metriken kan det visas att energitätheten uppmätt av observatörer vars 4-hastighet är normal mot hyperytorna ges av:

$-{\frac {c^{4}}{8\pi G }}{\frac {v_{s}^{2}\left(y^{2}+z^{2}\right)}{4g^{2}r_{s}^{2}}}\left ({\frac {df}{dr_{s}}}\right)^{2},$

där g är determinanten för den metriska tensorn .

Därför, eftersom energitätheten är negativ, behöver man exotisk materia för att resa snabbare än ljusets hastighet. Existensen av exotisk materia är inte teoretiskt utesluten; att generera och upprätthålla tillräckligt med exotisk materia för att utföra bedrifter som att resa snabbare än lätt (och för att hålla "strupen" på ett maskhål öppen ) anses vara opraktisk. Enligt författaren Robert Low är det inom ramen för allmän relativitetsteori omöjligt att konstruera en varpdrift i frånvaro av exotisk materia.

Anslutning till mörk energi och mörk materia

Se även: Negativ massa

Astrofysikern Jamie Farnes från University of Oxford har föreslagit en teori, publicerad i den peer-reviewed vetenskapliga tidskriften Astronomy & Astrophysics , som förenar mörk energi och mörk materia till en enda mörk vätska , och som förväntas kunna testas med nya vetenskapliga instrument som kan av att vara konstruerad omkring 2030. Farnes fann att Albert Einstein hade utforskat idén om gravitationsmässigt frånstötande negativa massor samtidigt som han utvecklade ekvationerna för allmän relativitet , en idé som leder till en "vacker" hypotes där kosmos har lika stora mängder positiva och negativa egenskaper. . Farnes teori förlitar sig på negativa massor som beter sig identiskt med fysiken i Alcubierre-drevet, vilket ger en naturlig lösning för den nuvarande "krisen i kosmologi" på grund av en tidsvariabel Hubble-parameter .

Eftersom Farnes teori tillåter en positiv massa (dvs ett fartyg) att nå en hastighet som är lika med ljusets hastighet, har den kallats "kontroversiell". Om teorin är korrekt, som har diskuterats mycket i den vetenskapliga litteraturen, skulle den förklara mörk energi, mörk materia, tillåta stängda tidsliknande kurvor (se tidsresor ), och föreslå att en Alcubierre-drift är fysiskt möjlig med exotisk materia .

Fysik

När det gäller vissa specifika effekter av speciell relativitet, såsom Lorentz-kontraktion och tidsutvidgning , har Alcubierre-metriken några uppenbarligen märkliga aspekter. Speciellt har Alcubierre visat att ett fartyg som använder en Alcubierre-drift färdas på en geodetisk fritt fall även när varpbubblan accelererar: dess besättning skulle vara i fritt fall medan den accelererar utan att uppleva accelererande g- krafter . Enorma tidvattenkrafter skulle emellertid finnas nära kanterna på den platta rymdvolymen på grund av den stora rymdkrökningen där, men en lämplig specifikation av metriken skulle hålla tidvattenkrafterna mycket små inom den volym som fartyget upptar.

Den ursprungliga warp-drive-metriken och enkla varianter av den råkar ha ADM-formen , som ofta används för att diskutera initialvärdesformuleringen av allmän relativitet. Detta kan förklara den utbredda missuppfattningen att denna rumtid är en lösning av fältekvationen för allmän relativitet. Mätvärden i ADM-form är anpassade till en viss familj av tröghetsobservatörer, men dessa observatörer är inte riktigt fysiskt åtskilda från andra sådana familjer. Alcubierre tolkade sin "varpbubbla" i termer av en sammandragning av rymden framför bubblan och en expansion bakom, men denna tolkning kan vara missvisande, eftersom sammandragningen och expansionen faktiskt hänvisar till den relativa rörelsen hos närliggande medlemmar av familjen ADM-observatörer .

I den allmänna relativitetsteorien specificerar man ofta först en rimlig fördelning av materia och energi, och hittar sedan geometrin för rumtiden som är associerad med den; men det är också möjligt att köra Einsteins fältekvationer i den andra riktningen, först specificera en metrik och sedan hitta den energi-momentumtensor som är associerad med den, och detta är vad Alcubierre gjorde när han byggde sin metrik. Denna praxis innebär att lösningen kan bryta mot olika energiförhållanden och kräva exotiskt material . Behovet av exotisk materia väcker frågor om huruvida man kan fördela materien i en initial rymdtid som saknar en varpbubbla på ett sådant sätt att bubblan skapas vid ett senare tillfälle, även om vissa fysiker har föreslagit modeller av dynamiska varpdrivna rumtider i vilken en varpbubbla bildas i ett tidigare plant utrymme. Dessutom, enligt Serguei Krasnikov , kräver generering av en bubbla i ett tidigare plant utrymme för en enkelriktad FTL-resa att man tvingar den exotiska materien att röra sig i lokala snabbare än ljushastigheter, något som skulle kräva förekomsten av tachyoner , även om Krasnikov också noterar att när rymdtiden inte är platt från början, skulle ett liknande resultat kunna uppnås utan tachyoner genom att i förväg placera vissa enheter längs färdvägen och programmera dem att träda i drift vid förutbestämda ögonblick och att fungera på ett förutbestämt sätt. Vissa föreslagna metoder undviker problemet med takyonisk rörelse, men skulle förmodligen generera en naken singularitet längst fram i bubblan. Allen Everett och Thomas Roman kommenterar Krasnikovs fynd ( Krasnikov-rör) :

[Fyndet] betyder inte att Alcubierre-bubblor, om det var möjligt att skapa dem, inte skulle kunna användas som ett medel för superluminal resa. Det betyder bara att de åtgärder som krävs för att ändra måtten och skapa bubblan måste vidtas i förväg av någon observatör vars framåtljuskon innehåller hela bubblans bana.

Om man till exempel skulle vilja resa till Deneb (2 600 ljusår bort) och anlända mindre än 2 600 år i framtiden enligt externa klockor, skulle det krävas att någon redan hade påbörjat arbetet med att förvränga rymden från jorden till Deneb kl. minst 2 600 år sedan:

Ett rymdskepp lämpligt placerat med avseende på bubbelbanan skulle då kunna välja att gå in i bubblan, snarare som en passagerare som fångar en passerande vagn, och därmed göra den superluminala resan ... som Krasnikov påpekar, kausalitetsöverväganden hindrar inte besättningen från ett rymdskepp från att arrangera, genom sina egna handlingar, att genomföra en rundresa från jorden till en avlägsen stjärna och tillbaka på en godtyckligt kort tid, mätt med klockor på jorden, genom att ändra måtten längs vägen för deras utresa.

Svårigheter

Metriken för denna form har betydande svårigheter eftersom alla kända warp-drive rymdtidsteorier bryter mot olika energiförhållanden . Icke desto mindre kan en varpdrift av Alcubierre-typ realiseras genom att utnyttja vissa experimentellt verifierade kvantfenomen, såsom Casimir- effekten , som leder till stress-energitensorer som också bryter mot energiförhållandena, såsom negativ massa-energi , när de beskrivs i kvantfältteoriernas sammanhang.

Mass-energibehov

Om vissa kvantojämlikheter som Ford och Roman gissar håller, kan energikraven för vissa varpdrifter vara både olämpligt stora och negativa. Till exempel kan energiekvivalenten −10 ⁶⁴ kg krävas för att transportera ett litet rymdskepp över Vintergatan – en mängd storleksordningar större än den uppskattade massan av det observerbara universum . Motargument till dessa uppenbara problem har också erbjudits, även om energikraven fortfarande i allmänhet kräver en typ III-civilisation på Kardashev-skalan .

Chris Van Den Broeck från Katholieke Universiteit Leuven i Belgien försökte 1999 ta itu med de potentiella problemen. Genom att dra ihop den 3+1-dimensionella ytan av bubblan som transporteras av drivenheten, samtidigt som den utökade den tredimensionella volymen inuti, kunde Van Den Broeck minska den totala energi som behövs för att transportera små atomer till mindre än tre solmassor . Senare under 2003, genom att modifiera Van den Broeck-måttet något, Serguei Krasnikov den nödvändiga totala mängden negativ massa till några milligram. Van Den Broeck detaljerade detta genom att säga att den totala energin kan minskas dramatiskt genom att hålla själva varpbubblans yta mikroskopiskt liten, samtidigt som den expanderar den rumsliga volymen inuti bubblan. Van Den Broeck drar dock slutsatsen att de energitätheter som krävs fortfarande är ouppnåeliga, liksom den lilla storleken (några storleksordningar över Planck- skalan ) på de rumtidsstrukturer som behövs.

2012 tillkännagav fysikern Harold White och medarbetare att en modifiering av exotisk materias geometri kan minska massenergibehovet för ett makroskopiskt rymdskepp från motsvarande planet Jupiter till rymdfarkosten Voyager 1 (ca 700 kg) eller mindre , och uppgav sin avsikt att utföra småskaliga experiment för att bygga varpfält. White föreslog att varpbubblans extremt tunna vägg skulle förtjockas, så att energin fokuseras i en större volym, men den totala toppenergitätheten är faktiskt mindre. I en platt 2D-representation blir ringen av positiv och negativ energi, initialt mycket tunn, en större, suddig torus (munkform). Men eftersom denna mindre energiska varpbubbla också tjocknar mot det inre området, lämnar den mindre platt utrymme för rymdfarkosten, som måste vara mindre. Dessutom, om intensiteten av rymdvarpen kan svängas över tiden, minskas energin som krävs ännu mer. Enligt White kunde en modifierad Michelson-Morley-interferometer testa idén: ett av benen på interferometern skulle tyckas ha en något annorlunda längd när testenheterna var strömsatta. Alcubierre har uttryckt skepsis mot experimentet och sagt: "av vad jag förstår finns det inget sätt att det kan göras, förmodligen inte på århundraden om alls".

År 2021 beskrev fysikern Erik Lentz hur varpdrifter som kommer från känd och välbekant rent positiv energi kunde existera – varpbubblor baserade på superluminala självförstärkande "soliton"-vågor. Han hävdade också att han kommer att arbeta med att minska det (positiva) energibehovet.

Placering av materia

Krasnikov föreslog att om tachyoniskt material inte kan hittas eller användas, kan en lösning vara att ordna så att massor längs fartygets väg sätts i rörelse på ett sådant sätt att det erforderliga fältet produceras. Men i det här fallet kan Alcubierre-drivfartyget bara resa rutter som, precis som en järnväg, först har utrustats med den nödvändiga infrastrukturen. Piloten inuti bubblan är orsaksmässigt bortkopplad från sina väggar och kan inte utföra någon åtgärd utanför bubblan: bubblan kan inte användas för den första resan till en avlägsen stjärna eftersom piloten inte kan placera infrastrukturen framför bubblan under "transport". Att till exempel resa till Vega (som är 25 ljusår från jorden) kräver att man ordnar allt så att bubblan som rör sig mot Vega med en superluminal hastighet skulle dyka upp; sådana arrangemang kommer alltid att ta mer än 25 år.

Coule har hävdat att scheman, som det som Alcubierre föreslagit, är omöjliga eftersom material som placeras på vägen för den avsedda vägen för ett farkost måste placeras i superluminal hastighet – att konstruktionen av en Alcubierre-enhet kräver en Alcubierre-enhet även om den metrik som tillåter det är fysiskt meningsfullt. Coule hävdar vidare att en analog invändning kommer att gälla varje föreslagen metod för att konstruera en Alcubierre-drivenhet.

Överlevnadsförmåga inuti bubblan

En artikel av José Natário (2002) hävdar att besättningsmedlemmar inte kunde kontrollera, styra eller stoppa fartyget i dess varpbubbla eftersom fartyget inte kunde skicka signaler till bubblans framsida.

En artikel från 2009 av Carlos Barceló, Stefano Finazzi och Stefano Liberati använder kvantteori för att hävda att Alcubierre-driften vid hastigheter som är snabbare än ljuset är omöjlig, främst eftersom extremt höga temperaturer orsakade av Hawking-strålning skulle förstöra allt inuti bubblan vid superluminala hastigheter och destabilisera själva bubblan; artikeln hävdar också att dessa problem saknas om bubbelhastigheten är subluminal, även om drivningen fortfarande kräver exotisk materia.

Skadlig effekt på destinationen

Brendan McMonigal, Geraint F. Lewis och Philip O'Byrne har hävdat att om ett Alcubierre-drivet fartyg bromsade ner från superluminal hastighet, skulle partiklarna som dess bubbla hade samlat i transit släppas ut i energiska utbrott som liknar den oändligt blåskiftade strålningen hypotesen inträffar vid den inre händelsehorisonten av ett Kerr svart hål ; framåtriktade partiklar skulle därmed vara tillräckligt energiska för att förstöra vad som helst på destinationen direkt framför fartyget.

vägg tjocklek

Mängden negativ energi som krävs för en sådan framdrivning är ännu inte känd. Pfenning och Allen Everett från Tufts menar att en varpbubbla som rör sig med 10 gånger ljusets hastighet måste ha en väggtjocklek på högst 10–32 ^meter – nära den begränsande Planck-längden , 1,6 × 10–35 ^meter . I Alcubierres ursprungliga beräkningar skulle en bubbla makroskopiskt stor nog att omsluta ett skepp på 200 meter kräva en total mängd exotisk materia som är större än massan av det observerbara universum, och att spänna den exotiska materien till ett extremt tunt band på 10–32 ^meter är anses opraktiskt. Liknande begränsningar gäller för Krasnikovs superluminala tunnelbana . Chris Van den Broeck konstruerade en modifiering av Alcubierres modell som kräver mycket mindre exotisk materia men placerar skeppet i en krökt rumtids-"flaska" vars hals är cirka 10 −32 ^meter .

Kausalitetsbrott och semiklassisk instabilitet

Beräkningar av fysikern Allen Everett visar att varpbubblor kan användas för att skapa stängda tidsliknande kurvor i den allmänna relativitetsteorin, vilket innebär att teorin förutspår att de kan användas för tidsresor bakåt . Även om det är möjligt att fysikens grundläggande lagar kan tillåta stängda tidsliknande kurvor, kronologiskyddsförmodan att i alla fall där den klassiska relativitetsteorin tillåter dem, skulle kvanteffekter ingripa för att eliminera möjligheten, vilket gör dessa rumtider omöjliga att förverkliga . En möjlig typ av effekt som skulle åstadkomma detta är en uppbyggnad av vakuumfluktuationer på gränsen till den region av rymdtid där tidsresor först skulle bli möjlig, vilket gör att energitätheten blir tillräckligt hög för att förstöra systemet som annars skulle bli en tidsmaskin . Vissa resultat i semiklassisk gravitation verkar stödja gissningen, inklusive en beräkning som specifikt handlar om kvanteffekter i warp-drive spacetimes som antydde att warp-bubblor skulle vara semiklassiskt instabila, men i slutändan kan gissningen bara avgöras av en fullständig teori om kvantgravitation .

Alcubierre diskuterar kort några av dessa frågor i en serie föreläsningsbilder som läggs ut på nätet, där han skriver: "akta dig: i relativitetsteori kan vilken metod som helst för att resa snabbare än ljus i princip användas för att resa tillbaka i tiden (en tidsmaskin)". I nästa bild tar han upp förmodan om kronologiskydd och skriver: "Förmodningen har inte bevisats (det skulle inte vara en gissning om den hade det), men det finns goda argument för dess fördel baserade på kvantfältteori. gissningar förbjuder inte resor snabbare än ljus. Den säger bara att om det finns en metod för att resa snabbare än ljus och man försöker använda den för att bygga en tidsmaskin, kommer något att gå fel: den ackumulerade energin kommer att explodera, eller det kommer att skapa ett svart hål."

Relation till Star Trek warp drive

Star Trek TV-serier och filmer använder termen "warp drive" för att beskriva deras metod för att resa snabbare än ljus. Varken Alcubierre-teorin, eller något liknande, existerade när serien skapades – termen "warp drive" och det allmänna konceptet har sitt ursprung i John W. Campbells science fiction-roman Islands of Space från 1931 . Alcubierre uppgav i ett e-postmeddelande till William Shatner att hans teori var direkt inspirerad av termen som användes i showen och citerar "'warp drive' av science fiction" i sin artikel från 1994. En USS Alcubierre dyker upp i Star Trek bordsrollspel Star Trek Adventures .

Se även

• EmDrive
• Exakta lösningar i den allmänna relativitetsteorien (för mer om i vilken mening Alcubierre-rumtiden är en lösning)
• IXS Enterprise
• Quantum vakuum thruster
• Reaktionslös körning
• Framdrivning av rymdfarkoster
• Unruh effekt

Anteckningar

•   Hiscock, William A. (1997). "Kvanteffekter i Alcubierre warp drive spacetime". Klassisk och kvantgravitation . 14 (11): L183–L188. arXiv : gr-qc/9707024 . Bibcode : 1997CQGra..14L.183H . doi : 10.1088/0264-9381/14/11/002 . S2CID 1884428 .
•   Lobo, Francisco SN; Visser, Matt (2004). "Fundamentala begränsningar för 'warp drive' spacetimes". Klassisk och kvantgravitation . 21 (24): 5871–5892. arXiv : gr-qc/0406083 . Bibcode : 2004CQGra..21.5871L . doi : 10.1088/0264-9381/21/24/011 . S2CID 119010055 .

externa länkar

• "Idéer baserade på vad vi skulle vilja uppnå" . NASA. Arkiverad från originalet den 9 april 2013 . Hämtad 2 juli 2008 . Den beskriver konceptet i lekmannatermer
• "Kan vi resa snabbare än ljuset? med Dr. Miguel Alcubierre" . YouTube . Händelsehorisont. 6 juni 2019. (värd av John Michael Godier )
• Ett kort videoklipp av de hypotetiska effekterna av warp-enheten.
• Marcelo B. Ribeiros sida om Warp Drive Theory
•   González-Díaz, Pedro (14 juli 2000). "Warp Drive Space-Time". Fysisk granskning D . American Physical Society . 62 (4): 044005. arXiv : gr-qc/9907026 . Bibcode : 2000PhRvD..62d4005G . doi : 10.1103/PhysRevD.62.044005 . S2CID 59940462 .