Geometri av siffror

Talgeometri är den del av talteorin som använder geometri för att studera algebraiska tal . Vanligtvis ses en ring av algebraiska heltal som ett gitter i $\mathbb {R} ^{n},$ och studiet av dessa gitter ger grundläggande information om algebraiska tal. Talgeometrin initierades av Hermann Minkowski ( 1910 ).

Bästa rationella approximationer för π (grön cirkel), e (blå diamant), ϕ (rosa avlång), (√3)/2 (grå hexagon), 1/√2 (röd oktagon) och 1/√3 (orange triangel) beräknas från deras fortsatta bråkexpansion, plottad som lutningar y / x med fel från deras sanna värden (svarta streck)

Talens geometri har ett nära samband med andra områden inom matematiken, särskilt funktionsanalys och diofantisk approximation , problemet med att hitta rationella tal som approximerar en irrationell kvantitet .

Minkowskis resultat

Huvudartikel: Minkowskis teorem

Antag att $\Gamma$ är ett gitter i $n$ -dimensionellt euklidiskt rum $\mathbb {R} ^{n}$ och $K$ är en konvex centralt symmetrisk kropp. Minkowskis sats , ibland kallad Minkowskis första sats, säger att om $\operatorname {vol} (K)>2^{n}\operatörsnamn {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )$ , då innehåller $K$ en vektor som inte är noll i $\Gamma$ .

Huvudartikel: Minkowskis andra teorem

Det successiva minimum $\lambda _{k}$ definieras som inf för talen $\lambda$ så att $\lambda K$ innehåller $k$ linjärt oberoende vektorer av $\Gamma$ . Minkowskis sats om successiva minima , ibland kallad Minkowskis andra sats , är en förstärkning av hans första sats och säger att

$\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatörsnamn {vol} (K)\leq 2^{n}\operatörsnamn {vol} (\mathbb {R} ^ {n}/\Gamma ).$

Senare forskning i siffrors geometri

Under 1930-1960 utfördes forskning om siffrors geometri av många talteoretiker (inklusive Louis Mordell , Harold Davenport och Carl Ludwig Siegel) . Under de senaste åren har Lenstra, Brion och Barvinok utvecklat kombinatoriska teorier som räknar upp gitterpunkterna i vissa konvexa kroppar.

Delrumssatsen av WM Schmidt

Huvudartikel: Subspace theorem

Se även: Siegels lemma , volym (matematik) , determinant och Parallelepiped

I talens geometri erhölls delrumssatsen av Wolfgang M. Schmidt 1972. Den anger att om n är ett positivt heltal, och L ₁ ,..., är L _n linjärt oberoende linjära former i n variabler med algebraiska koefficienter och om ε>0 är ett givet reellt tal, så koordinerar heltalspunkterna x i n som inte är noll med

$|L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }$

ligga i ett ändligt antal egentliga delrum av Q ⁿ .

Inflytande på funktionsanalys

Huvudartikel: normerat vektorutrymme

Se även: Banach space och F-space

Minkowskis siffrors geometri hade ett djupgående inflytande på funktionsanalys . Minkowski bevisade att symmetriska konvexa kroppar inducerar normer i ändligt dimensionella vektorrum. Minkowskis sats generaliserades till topologiska vektorrum av Kolmogorov , vars sats säger att de symmetriska konvexa uppsättningarna som är slutna och avgränsade genererar topologin för ett Banach-utrymme .

Forskare fortsätter att studera generaliseringar till stjärnformade uppsättningar och andra icke-konvexa uppsättningar .

Bibliografi

• Matthias Beck, Sinai Robins. Beräkna kontinuerligt diskret: Heltalspunktsuppräkning i polyedrar , Grundutbildningstexter i matematik , Springer, 2007.
•   Enrico Bombieri ; Vaaler, J. (feb 1983). "Om Siegels lemma". Inventiones Mathematicae . 73 (1): 11–32. Bibcode : 1983InMat..73...11B . doi : 10.1007/BF01393823 . S2CID 121274024 .
• Enrico Bombieri & Walter Gubler (2006). Höjder i diofantin geometri . Cambridge UPP
• JWS Cassels . En introduktion till talens geometri . Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (omtryck av Springer-Verlag 1959 och 1971).
• John Horton Conway och NJA Sloane , Sphere Packings, Lattices and Groups , Springer-Verlag, NY, 3:e upplagan, 1998.
• RJ Gardner, Geometric tomography, Cambridge University Press, New York, 1995. Andra upplagan: 2006.
• PM Gruber , Convex and discrete geometri, Springer-Verlag, New York, 2007.
• PM Gruber, JM Wills (redaktörer), Handbook of convex geometri. Vol. A.B, Nord-Holland, Amsterdam, 1993.
• M. Grötschel , Lovász, L. , A. Schrijver : Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization , Springer, 1988
• Hancock, Harris (1939). Utveckling av Minkowskis talgeometri . Macmillan. (Återpublicerad 1964 av Dover.)
• Edmund Hlawka , Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometrisk och analytisk talteori . Universitext. Springer-Verlag, 1991.
•    Kalton, Nigel J .; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), An F-space sampler , London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge: Cambridge University Press, s. xii+240, ISBN 0-521-27585-7 , MR 0808777
• CG Lekkerkererker . Talens geometri . Wolters-Noordhoff, North Holland, Wiley. 1969.
•    Lenstra, AK ; Lenstra, HW Jr .; Lovász, L. (1982). "Faktorering av polynom med rationella koefficienter" (PDF) . Matematiska Annalen . 261 (4): 515–534. doi : 10.1007/BF01457454 . hdl : 1887/3810 . MR 0682664 . S2CID 5701340 .
• Lovász, L. : An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs, and Convexity , CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
• Malyshev, AV (2001) [1994], "Geometry of numbers" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•    Minkowski, Hermann (1910), Geometrie der Zahlen , Leipzig och Berlin: RG Teubner, JFM 41.0239.03 , MR 0249269 , hämtad 2016-02-28
• Wolfgang M. Schmidt . Diofantisk approximation . Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 med smärre korrigeringar])
•    Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diofantiska approximationer och diofantiska ekvationer . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 1467 (2:a uppl.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-54058-X . Zbl 0754.11020 .
• Siegel, Carl Ludwig (1989). Föreläsningar om talens geometri . Springer-Verlag .
• Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
• Anthony C. Thompson, Minkowski geometri, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
• Hermann Weyl . Reduktionsteori för aritmetisk ekvivalens . Trans. Amer. Matematik. Soc. 48 (1940) 126–164. doi : 10.1090/S0002-9947-1940-0002345-2
• Hermann Weyl. Reduktionsteori för aritmetisk ekvivalens. II . Trans. Amer. Matematik. Soc. 51 (1942) 203–231. doi : 10.2307/1989946