Översättningsyta

I matematik är en translationsyta en yta som erhålls från att identifiera sidorna av en polygon i det euklidiska planet genom translationer. En ekvivalent definition är en Riemann-yta tillsammans med en holomorf 1-form .

Dessa ytor uppstår i dynamiska system där de kan användas för att modellera biljard , och i Teichmüllers teori . En särskilt intressant underklass är Veech-ytor (uppkallade efter William A. Veech ) som är de mest symmetriska.

Definitioner

Geometrisk definition

En translationsyta är det utrymme som erhålls genom att parvis identifiera sidorna av en samling plana polygoner genom att överföra sidorna.

Här är en mer formell definition. Låt $P_{1},\ldots ,P_{m}$ vara en samling av (inte nödvändigtvis konvexa) polygoner i det euklidiska planet och anta att för varje sida $s_ {i}$ av alla $P_{k}$ finns det en sida $s_{j}$ av någon $P_{l}$ med $j \not =i$ och $s_{j}=s_{i}+{\vec {v}}_{i}$ för någon vektor som inte är noll ${\vec {v}}_{i}$ (och så att ${\vec {v}}_{j}=-{\vec {v}}_{i }$ Betrakta utrymmet som erhålls genom att identifiera alla $s_{i}$ med deras motsvarande $s_{j}$ genom kartan $x\mapsto x+ {\vec {v}}_{i}$ .

Det kanoniska sättet att konstruera en sådan yta är som följer: börja med vektorerna ${\vec {w}}_{1},\ldots ,{\vec {w}}_ {n}$ och en permutation $\sigma$ på $\{1,\ldots ,n\}$ , och bildar de streckade linjerna $L=x,x+{\vec {w}}_{1},\ldots ,x+{\vec {w}}_{1} +\cdots +{\vec {w}}_{n}$ och $L'=x,x+{\vec {w}}_{\sigma (1)},\ldots ,x+{\vec {w}}_{\sigma (1)}+\cdots +{\ vec {w}}_{\sigma (n)}$ med början vid en godtyckligt vald punkt. I det fall då dessa två linjer bildar en polygon (dvs. de skär sig inte utanför sina ändpunkter) finns det en naturlig sidoparning.

Kvotutrymmet är en sluten yta. Den har en platt måttenhet utanför uppsättningen $\Sigma$ bilder av hörnen. Vid en punkt i ${\displaystyle \Sigma } är$ summan av vinklarna för polygonerna runt de hörn som avbildas till den en positiv multipel av $2\pi$ , och måtten är singular om inte vinkeln är exakt $2\pi$ .

Analytisk definition

Låt $S$ vara en översättningsyta enligt definitionen ovan och $\Sigma$ uppsättningen av singulära punkter. Genom att identifiera det euklidiska planet med det komplexa planet får man koordinatdiagram på $S\setminus \Sigma$ med värden i $\mathbb {C}$ . Dessutom är förändringarna av diagram holomorfa kartor, mer exakt kartor av formen $z\mapsto z+w$ för vissa $w\in \mathbb {C}$ . Detta ger $S\setminus \Sigma$ strukturen hos en Riemannyta, som sträcker sig till hela ytan $S$ enligt Riemanns sats om borttagbara singulariteter . Dessutom beror differentialen $dz$ där $z:U\to \mathbb {C}$ är ett diagram definierat ovan, inte på diagrammet. Således limmas dessa skillnader som definieras på diagramdomäner samman för att ge en väldefinierad holomorf 1-form $\omega$ på $S$ . De hörn av polygonen där konvinklarna inte är lika med $2\pi$ är nollor av $\omega$ (en konvinkel på $2k\pi$ motsvarar en ordningen noll $(k-1)$ ).

I den andra riktningen, givet ett par $(X,\omega )$ där $X$ är en kompakt Riemann-yta och $\omega$ en holomorf 1-form kan man konstruera en polygon genom att använda de komplexa talen ${\textstyle \int _{\gamma _{j}}\omega }$ där $\gamma _{j}$ är osammanhängande banor mellan nollorna i $\omega$ som utgör en integrerad grund för den relativa kohomologin.

Exempel

Det enklaste exemplet på en translationsyta erhålls genom att limma de motsatta sidorna av ett parallellogram. Det är en platt torus utan singulariteter.

Om $P$ är en vanlig $4g$ -gon så är översättningsytan som erhålls genom att limma motsatta sidor av släktet $g$ med en enda singular punkt, med vinkel $(2g-1)2\pi$ .

Om $P$ erhålls genom att sätta sida till sida en samling kopior av enhetskvadraten så kallas varje översättningsyta som erhålls från ${\displaystyle P} en$ kvadratisk yta . Kartan från ytan till den platta torusen som erhålls genom att identifiera alla kvadrater är en grenad täckning med grenpunkter singulariteterna (konvinkeln vid en singularitet är proportionell mot graden av förgrening).

Riemann–Roch och Gauss–Bonnet

Antag att ytan $X$ är en sluten Riemann-yta av släktet $g$ och att $\omega$ är en holomorf 1-form som inte är noll på $X$ , med nollor av beställ $d_{1},\ldots ,d_{m}$ . Då antyder Riemann-Roch-satsen det

$\sum _{j=1}^{m}d_{j}=2g-2.$

Om översättningsytan $(X,\omega )$ representeras av en polygon $P$ så kan triangulering av den och summera vinklar över alla hörn göra det möjligt att återställa formeln ovan (med hjälp av relationen mellan konvinklar och nollordning), på samma sätt som i beviset för Gauss–Bonnet-formeln för hyperboliska ytor eller beviset för Eulers formel från Girards teorem .

Översättningsytor som folierade ytor

Om $(X,\omega )$ är en translationsyta finns en naturlig uppmätt foliation på $X$ . Om det erhålls från en polygon är det bara bilden av vertikala linjer, och måttet på en båge är bara den euklidiska längden av det horisontella segmentet homotopiskt till bågen. Foliationen erhålls också av nivålinjerna för den imaginära delen av en (lokal) primitiv för $\omega$ och måttet erhålls genom att integrera den reella delen.

Modulutrymmen

Strata

Låt ${\mathcal {H}}$ vara uppsättningen av översättningsytor av släktet $g$ (där två sådana $(X, \omega ),(X',\omega ')$ anses lika om det finns en holomorf diffeomorfism $\phi :X\to X'$ så att ${ \displaystyle \phi ^{*}\omega '=\omega }$ ). Låt ${\mathcal {M}}_{g}$ vara modulutrymmet för Riemann-ytor av släktet $g$ ; det finns en naturlig karta ${\displaystyle {\mathcal {H}}\to {\mathcal {M}}_{g}} som$ avbildar en översättningsyta till den underliggande Riemannytan. Detta förvandlar ${\mathcal {H}}$ till ett lokalt trivialt fiberknippe över modulutrymmet.

Till en kompakt översättningsyta $(X,\omega )$ associeras data $(k_{1},\ldots ,k_{m} )$ där $k_{1}\leq k_{2}\leq \cdots$ är ordningen på nollorna i $\omega$ . Om $\alpha =(k_{1},\ldots ,k_{m})$ är vilken partition som helst på $2g-2$ så stratum ${\mathcal {H}}(\alpha )$ är delmängden av ${\mathcal {H}}$ av översättningsytor som har en holomorf form vars nollor matchar partitionen.

Stratum ${\mathcal {H}}(\alpha )$ är naturligtvis ett komplext kretslopp med komplex dimension $2g+m-1$ (observera att ${\mathcal {H}}(0)$ är modulutrymmet för tori, som är välkänt för att vara en orbifold; i högre släkte är misslyckandet med att vara ett mångfald ännu mer dramatiskt). Lokala koordinater ges av

$(X,\omega )\mapsto \left(\int _{\gamma _{1}}\omega ,\ldots , \int _{\gamma _{n}}\omega \right)$

där $n=\dim(H_{1}(S,\{x_{1} ,\ldots ,x_{m}\}))=2g+m-1$ och $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{k}$ är som ovan en symbolisk grund för detta utrymme.

Masur-Veech volymer

Stratum ${\mathcal {H}}(\alpha )$ tillåter en ${\mathbb {C} }^{*}$ -åtgärd och därmed en verklig och komplex projektivisering ${{\mathcal {H}}(\alpha )}\to {\mathcal {H}}_{1}(\alpha )\to {\mathcal {H}}_{2}(\alpha )$ . Den verkliga projektiviseringen tillåter en naturlig sektion ${\mathcal {H}}_{1}(\alpha )\till {\mathcal {H}}(\alpha )$ om vi definierar det som utrymmet för översättningsytor av område 1.

Förekomsten av ovanstående periodkoordinater gör det möjligt att förse stratum ${\mathcal {H}}(\alpha )$ med en integral affin struktur och därmed en naturlig volymform $\nu$ . Vi får också en volymform $\nu _{1}(\alpha )$ på ${\mathcal {H}}_{1}(\alpha )$ genom sönderdelning av $\nu$ . Masur-Veech volymen $Vol(\alpha )$ är den totala volymen av ${\mathcal {H}}_{1}(\alpha )$ för $\nu _{1}(\alpha )$ . Denna volym visade sig vara ändlig oberoende av William A. Veech och Howard Masur .

På 90-talet utvärderade Maxim Kontsevich och Anton Zorich dessa volymer numeriskt genom att räkna gitterpunkterna för ${\mathcal {H}}(\alpha )$ . De observerade att $Vol(\alpha )$ borde ha formen $\pi ^{2g}$ gånger ett rationellt tal. Från denna observation förväntade de sig förekomsten av en formel som uttrycker volymerna i termer av skärningsnummer på modulrum i kurvor.

Alex Eskin och Andrei Okounkov gav den första algoritmen för att beräkna dessa volymer. De visade att de genererande serierna av dessa tal är q-expansions av beräkningsbara kvasimodulära former. Med hjälp av denna algoritm kunde de bekräfta den numeriska observationen av Kontsevich och Zorich.

Mer nyligen visade Chen, Möller, Sauvaget och don Zagier att volymerna kan beräknas som skärningstal på en algebraisk komprimering av ${\mathcal {H}}_{2}(\alpha )$ . För närvarande är problemet fortfarande öppet att utöka denna formel till skikt av halvöversättningsytor.

SL ₂ (R)-aktionen

Om $(X,\omega )$ är en översättningsyta som erhålls genom att identifiera ytorna på en polygon $P$ och $g\in \ mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ sedan är översättningsytan $g\cdot (X,\omega )$ den som är associerad med polygonen $g(P)$ . Detta definierade en kontinuerlig åtgärd av $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ på modulutrymmet ${\mathcal {H}}$ som bevarar skikten ${\mathcal {H}}(\alpha )$ . Denna åtgärd går ner till en åtgärd på ${\mathcal {H}}_{1}(\alpha )$ som är ergodisk med avseende på $\nu _{1}$ .

Halvöversättningsytor

Definitioner

En halvtranslationsyta definieras på samma sätt som en translationsyta men tillåter limkartorna att ha en icke-trivial linjär del som är ett halvt varv. Formellt definieras en translationsyta geometriskt genom att ta en samling polygoner i det euklidiska planet och identifiera ansikten med kartor av formen $z\mapsto \pm z+w$ (en "halvöversättning" "). Observera att ett ansikte kan identifieras med sig själv. Den geometriska strukturen som erhålls på detta sätt är en platt metrik utanför ett ändligt antal singulära punkter med konvinklar positiva multiplar av $\pi$ .

Liksom i fallet med översättningsytor finns det en analytisk tolkning: en halvöversättningsyta kan tolkas som ett par $(X,\phi )$ där $X$ är en Riemann-yta och $\phi$ en kvadratisk differential på $X$ . För att gå från den geometriska bilden till den analytiska bilden tar man helt enkelt den kvadratiska differentialen definierad lokalt av $(dz)^{2}$ (som är invariant under halvöversättningar), och för den andra riktningen man tar den Riemannska metriken inducerad av $\phi$ , som är jämn och platt utanför nollorna i $\phi$ .

Relation med Teichmüllers geometri

Om $X$ är en Riemann-yta så identifieras vektorrymden för kvadratiska differentialer på $X$ naturligt med tangentrymden till Teichmüller-rymden vid vilken punkt som helst ovanför $X$ . Detta kan bevisas genom analytiska metoder med Bers inbäddning . Halvöversättningsytor kan användas för att ge en mer geometrisk tolkning av detta: om $(X,g),(Y,h)$ är två punkter i Teichmüller-rymden då med Teichmüllers kartläggningssats finns det två polygoner $P,Q$ vars ytor kan identifieras genom halvöversättningar för att ge plana ytor med underliggande Riemann-ytor som är isomorfa till $X,Y$ respektive, en affin karta $f$ av planet som skickar $P$ till $Q$ som har den minsta distorsionen bland de kvasikonformella mappningarna i sin isotopiklass, och som är isotopisk till $h\circ g^{-1}$ .

Allt bestäms unikt upp till skalning om vi ber att $f$ ska ha formen $f_{s}$ , där ${\displaystyle f_{t}:(x,y)\mapsto (e^{t}x,e^{-t}y)} , för vissa$ s $\displaystyle s>0}$ ; vi betecknar med $X_{t}$ Riemannytan erhållen från polygonen $f_{t}(P)$ . Nu förenas vägen $t\mapsto (X_{t},f_{t}\circ g)$ i Teichmüller-rymden $(X, g)$ till $(Y,h)$ , och differentiering av den vid $t=0$ ger en vektor i tangentrymden; eftersom $(Y,g)$ var godtycklig får vi en bijektion.

I själva verket är vägarna som används i denna konstruktion Teichmüller-geodesik. Ett intressant faktum är att medan den geodetiska strålen som är associerad med en plan yta motsvarar en uppmätt foliation, och därmed riktningarna i tangentrymden identifieras med Thurston- gränsen , konvergerar Teichmüller geodetiska strålen associerad med en plan yta inte alltid till motsvarande punkt på gränsen, även om nästan alla sådana strålar gör det.

Veech ytor

Veech-gruppen

Om $(X,\omega )$ är en översättningsyta är dess Veech-grupp den fuchsiska gruppen som är bilden i $\mathrm {PSL} _{2 }(\mathbb {R} )$ av undergruppen $\mathrm {SL} (X,\omega )\subset \mathrm {SL} _{2 }(\mathbb {R} )$ av transformationer $g$ så att $g\cdot (X,\omega )$ är isomorf (som en översättningsyta) till $(X,\omega )$ . På motsvarande sätt $\mathrm {SL} (X,\omega )$ gruppen av derivator av affina diffeomorfismer $(X,\ omega )\to (X,\omega )$ (där affin definieras lokalt utanför singulariteterna, med avseende på den affina struktur som induceras av översättningsstrukturen). Veech-grupper har följande egenskaper:

• De är diskreta undergrupper i $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ ;
• De är aldrig kokompakta.

Veech-grupper kan antingen genereras ändligt eller inte.

Veech ytor

En Veech-yta är per definition en translationsyta vars Veech-grupp är ett gitter i ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )} ,$ motsvarande dess verkan på hyperbolen planet medger en fundamental domän av ändlig volym. Eftersom den inte är kokompakt måste den då innehålla paraboliska element.

Exempel på Veech-ytor är de fyrkantiga kakelytorna, vars Veech-grupper är jämförbara med den modulära gruppen $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )$ . Fyrkanten kan ersättas av vilket parallellogram som helst (de erhållna translationsytorna är exakt de som erhålls som förgrenade höljen av en platt torus). Faktum är att Veech-gruppen är aritmetisk (vilket innebär att den är jämförbar med den modulära gruppen) om och bara om ytan är belagd med parallellogram.

Det finns Veech-ytor vars Veech-grupp inte är aritmetisk, till exempel ytan som erhålls från två regelbundna pentagoner limmade längs en kant: i detta fall är Veech-gruppen en icke-aritmetisk Hecke-triangelgrupp. Å andra sidan finns det fortfarande vissa aritmetiska begränsningar på Veech-gruppen för en Veech-yta: dess spårfält är till exempel ett talfält som är helt verkligt .

Geodesiskt flöde på översättningsytor

Geodesik

En geodetik i en translationsyta (eller en halvtranslationsyta) är en parametriserad kurva som är, utanför de singulära punkterna, lokalt bilden av en rät linje i det euklidiska rummet parametriserad av båglängd. Om en geodetik kommer fram till en singularitet måste den stanna där. Således är en maximal geodesik en kurva definierad på ett slutet intervall, vilket är hela den reella linjen om den inte möter någon singulär punkt. En geodetisk är sluten eller periodisk om dess bild är kompakt, i vilket fall det är antingen en cirkel om den inte möter någon singularitet, eller en båge mellan två (eventuellt lika) singulariteter. I det senare fallet kallas geodetiken en sadelförbindelse .

Om $(X,\omega )$$\theta \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ (eller $\theta \in \mathbb {R} /\pi \mathbb {Z}$ i fallet med en halvöversättningsyta) då är geodesiken med riktningstheta väldefinierade på $X$ : de är de kurvorna $c$ som uppfyller $\omega ({\overset {\cdot }{c}})=e^{i\theta }$ (eller $\phi ({\overset {\cdot }{c}})=e^{i\theta }$ i fallet med en halvöversättningsyta $(X,\phi )$ ). Det geodetiska flödet på $(X,\omega )$ med riktning $\theta$ är flödet $\phi _{t}$ på $X$ där $t\mapsto \phi _{t}(p)$ är den geodetiska som börjar på $p$ med riktningen $\theta$ om $p$ är inte singular.

Dynamiska egenskaper

På en platt torus har det geodetiska flödet i en given riktning egenskapen att det är antingen periodiskt eller ergodiskt . I allmänhet är detta inte sant: det kan finnas riktningar där flödet är minimalt (vilket betyder att varje bana är tät i ytan) men inte ergodisk. Å andra sidan, på en kompakt translationsyta behåller flödet från det enklaste fallet av den platta torusen egenskapen att den är ergod i nästan alla riktningar.

En annan naturlig fråga är att upprätta asymptotiska uppskattningar för antalet slutna geodesiker eller sadelkopplingar av en given längd. På en platt torus $T$ finns det inga sadelanslutningar och antalet slutna geodesiker med längd $\leq L$ motsvarar $L^{2 }/\operatörsnamn {volym} (T)$ . I allmänhet kan man bara få gränser: om $(X,\omega )$ är en kompakt översättningsyta av släktet $g$ så finns det konstanter (beroende endast på släktet) $c_{1},c_{2}$ så att både $N_{cg}(L)$ för sluten geodesik och $N_{sc}(L)$ av sadelanslutningar med längd $\leq L$ uppfyller

${\frac {c_{1}L^{2}}{\operatörsnamn {volym} (X,\omega )}}\leq N_{\mathrm {cg} }(L),N_{\mathrm { sc} }(L)\leq {\frac {c_{2}L^{2}}{\operatörsnamn {volym} (X,\omega )}}.$

Om man begränsar sig till ett probabilistiskt resultat är det möjligt att få bättre uppskattningar: givet ett släkte $g$ , en partition $\alpha$ av $g$ och en ansluten komponent ${\mathcal {C}}$ i stratum ${\mathcal {H}}(\alpha )$ det finns konstanter $c_{\mathrm {cg} }c_{\ mathrm {sc} }$ så att för nästan varje $(X,\omega )\in {\mathcal {C}}$ gäller den asymptotiska motsvarigheten:

$N_{\mathrm {cg} }(L)\sim {\frac {c_{\mathrm {cg} }L^{ 2}}{\operatörsnamn {volym} (X,\omega )}}$ , $N_{\mathrm {sc} }(L)\sim {\frac {c_{\mathrm {sc} }L^{2}}{\operatörsnamn {volym} (X,\omega )}}.$

Konstanterna $c_{\mathrm {cg} },c_{\mathrm {sc} }$ kallas Siegel–Veech-konstanter . Genom att använda ergodiciteten för $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ -verkan på ${\mathcal {H}}(\ alpha )$ , visades det att dessa konstanter explicit kan beräknas som förhållanden för vissa Masur-Veech-volymer.

Veech dikotomi

Det geodetiska flödet på en Veech-yta uppför sig mycket bättre än i allmänhet. Detta uttrycks via följande resultat, kallad Veech-dikotomi :

Låt $(X,\omega )$ vara en Veech-yta och $\theta$ en riktning. Då är antingen alla banor som trotsas över $\mathbb {R}$ periodiska eller så är flödet i riktningen $\theta$ ergodiskt.

Relation med biljard

Om $P_{0}$ är en polygon i det euklidiska planet och $\theta \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z}$ en riktning dit är ett kontinuerligt dynamiskt system som kallas biljard . Banan för en punkt inuti polygonen definieras enligt följande: så länge den inte vidrör gränsen fortsätter den i en rät linje med enhetshastighet; när den vidrör det inre av en kant studsar den tillbaka (dvs. dess riktning ändras med en ortogonal reflektion i kantens vinkelrät), och när den vidrör en vertex stannar den.

Detta dynamiska system är ekvivalent med det geodetiska flödet på en plan yta: dubbla bara polygonen längs kanterna och sätt en platt metrisk överallt utom vid hörnen, som blir singulära punkter med konvinkel två gånger vinkeln för polygonen vid motsvarande vertex. Denna yta är inte en översättningsyta eller en halvöversättningsyta, men i vissa fall är den relaterad till en. Nämligen, om alla vinklar av polygonen $P_{0}$ är rationella multiplar av $\pi$ finns det förgrenad täckning av denna yta som är en translationsyta, som kan konstrueras från en förening av kopior av $P_{0}$ . Dynamiken i biljardflödet kan sedan studeras genom det geodetiska flödet på translationsytan.

Till exempel är biljarden i en kvadrat på detta sätt relaterad till biljarden på den platta torusen konstruerad av fyra kopior av kvadraten; biljarden i en liksidig triangel ger upphov till den platta torusen konstruerad av en hexagon. Biljarden i en "L"-form konstruerad av kvadrater är relaterad till det geodetiska flödet på en kvadratisk yta; biljarden i triangeln med vinklarna $\pi /5,\pi /5,3\pi /5$ är relaterad till Veech-ytan konstruerad av två reguljära pentagoner konstruerade ovan.

Relation med intervallutbytestransformationer

Låt $(X,\omega )$ vara en translationsyta och $\theta$ en riktning, och låt $\phi _{t}$ vara det geodetiska flödet på $(X,\omega )$ med riktning $\theta$ . Låt $I$ vara ett geodesiskt segment i riktningen ortogonal mot $\theta$ , och definiera den första återkomsten, eller Poincaré-kartan $\sigma :I\to I$ som följer: $\sigma (p)$ är lika med $\phi _{t}(p)$ där $\phi _ {s}(p)\not \in I$ för $0<s<t$ . Då är denna karta en intervallutbytestransformation och den kan användas för att studera dynamiken i det geodetiska flödet.

Anteckningar

•    Hubert, Pascal; Schmidt, Thomas A. (2006), "An introduction to Veech-ytor" (PDF) , Handbook of dynamic systems. Vol. 1B , Handbook of Dynamical Systems, vol. 1, Elsevier BV, Amsterdam, s. 501–526, doi : 10.1016/S1874-575X(06)80031-7 , ISBN 9780444520555 , MR 2186246
• Gutkin, Eugene; Domare, Chris. (2000), "Affina avbildningar av översättningsytor: geometri och aritmetik", Duke Math. J. , 103 (3): 191–213, doi : 10.1215/S0012-7094-00-10321-3
•    Masur, Howard (2006), "Ergodisk teori om översättningsytor", Handbok i dynamiska system. Vol. 1B , Handbook of Dynamical Systems, vol. 1, Elsevier BV, Amsterdam, s. 527–547, doi : 10.1016/S1874-575X(06)80032-9 , ISBN 9780444520555 , MR 2186247
•     Veech, WA (1989), "Teichmüller curves in moduli space, Eisenstein series and an application to triangular billiards", Inventiones Mathematicae , 97 (3): 553–583, Bibcode : 1989InMat..97..553V , doi : 01/70 BF01388890 , ISSN 0020-9910 , MR 1005006 , S2CID 189831945
• Zorich, Anton (2006). "Platta ytor". I Cartier, P.; Julia, B.; Moussa, P.; Vanhove, P. (red.). Gränser i talteori, fysik och geometri. Volym 1: På slumpmässiga matriser, zetafunktioner och dynamiska system . Springer-Verlag. arXiv : math/0609392 . Bibcode : 2006math......9392Z .