Abel-Ruffinis sats

Ej att förväxla med Abels teorem .

Inom matematiken säger Abel -Ruffini-satsen (även känd som Abels omöjlighetssats ) att det inte finns någon lösning i radikaler på allmänna polynomekvationer av grad fem eller högre med godtyckliga koefficienter . Här generellt att ekvationens koefficienter ses och manipuleras som obestämda .

Teoremet är uppkallat efter Paolo Ruffini , som gjorde ett ofullständigt bevis 1799, (som förfinades och färdigställdes 1813 och accepterades av Cauchy) och Niels Henrik Abel , som gav ett bevis 1824.

Abel–Ruffinis sats syftar också på det något starkare resultatet att det finns ekvationer av grad fem och högre som inte kan lösas av radikaler. Detta följer inte av Abels uttalande av satsen, utan är en följd av hans bevis, eftersom hans bevis bygger på att vissa polynom i ekvationens koefficienter inte är nollpolynomet. Detta förbättrade uttalande följer direkt av Galois teori § Ett icke-lösbart kvintexempel . Galois teori innebär också det

$x^{5}-x-1=0$

är den enklaste ekvationen som inte kan lösas i radikaler, och att nästan alla polynom av grad fem eller högre inte kan lösas i radikaler.

Omöjligheten att lösa i grad fem eller högre står i kontrast till fallet med lägre grad: man har den kvadratiska formeln , den kubiska formeln och den kvartsformeln för grader två, tre respektive fyra.

Sammanhang

Polynomekvationer av grad två kan lösas med den andragradsformel som varit känd sedan antiken . Likaså hittades den kubiska formeln för grad tre och den kvartsformel för grad fyra under 1500-talet. På den tiden var ett grundläggande problem om ekvationer av högre grad kunde lösas på liknande sätt.

Det faktum att varje polynomekvation med positiv grad har lösningar, möjligen icke-verkliga , hävdades under 1600-talet, men bevisades fullständigt först i början av 1800-talet. Detta är den grundläggande satsen för algebra , som inte ger något verktyg för att beräkna exakt lösningarna, även om Newtons metod tillåter att approximera lösningarna till vilken noggrannhet som helst.

Från 1500-talet till början av 1800-talet var det huvudsakliga problemet med algebra att söka efter en formel för lösningarna av polynomekvationer av grad fem och högre, därav namnet "algebrans grundläggande teorem". Detta innebar en lösning i radikaler , det vill säga ett uttryck som endast involverar ekvationens koefficienter och operationerna addition , subtraktion , multiplikation , division och n: te rotextraktion .

Abel-Ruffini-satsen bevisar att detta är omöjligt. Denna omöjlighet innebär dock inte att en specifik ekvation av någon grad inte kan lösas i radikaler. Tvärtom, det finns ekvationer av vilken grad som helst som kan lösas i radikaler. Detta är fallet med ekvationen $x^{n}-1=0$ för alla n , och ekvationerna definierade av cyklotomiska polynom , vars lösningar kan uttryckas i radikaler.

Abels bevis för satsen innehåller inte uttryckligen påståendet att det finns specifika ekvationer som inte kan lösas av radikaler. Ett sådant påstående är inte en konsekvens av Abels uttalande av satsen, eftersom påståendet inte utesluter möjligheten att "varje speciell kvintisk ekvation kan vara löslig, med en speciell formel för varje ekvation." Men förekomsten av specifika ekvationer som inte kan lösas i radikaler verkar vara en konsekvens av Abels bevis, eftersom beviset använder det faktum att vissa polynom i koefficienterna inte är nollpolynomet, och givet ett ändligt antal polynom, är värden på variablerna där inget av polynomen tar värdet noll.

Strax efter Abels publicering av sitt bevis introducerade Évariste Galois en teori, nu kallad Galois-teori som gör det möjligt att avgöra, för varje given ekvation, om den är lösbar i radikaler (detta är teoretiskt, eftersom detta beslut i praktiken kan behöva enorma beräkningar som kan vara svårt, även med kraftfulla datorer ). Detta beslut görs genom att introducera hjälppolynom, kallade resolvents , vars koefficienter beror polynomiellt på de för det ursprungliga polynomet. Polynomet är lösbart i radikaler om och endast om något resolvent har en rationell rot.

Bevis

Beviset för Abel-Ruffini-teoremet går före Galois teori . Galois-teorin tillåter dock en bättre förståelse av ämnet, och moderna bevis är i allmänhet baserade på det, medan de ursprungliga bevisen för Abel-Ruffini-satsen fortfarande presenteras i historiska syften.

Bevisen baserade på Galois teori omfattar fyra huvudsteg: karakterisering av lösbara ekvationer i termer av fältteori ; användningen av Galois-överensstämmelsen mellan underfält i ett givet fält och undergrupperna i dess Galois-grupp för att uttrycka denna karakterisering i termer av lösbara grupper ; beviset att den symmetriska gruppen inte är lösbar om dess grad är fem eller högre; och förekomsten av polynom med en symmetrisk Galois-grupp.

Algebraiska lösningar och fältteori

En algebraisk lösning av en polynomekvation är ett uttryck som involverar de fyra grundläggande aritmetiska operationerna (addition, subtraktion, multiplikation och division) och rotextraktioner . Ett sådant uttryck kan ses som en beskrivning av en beräkning som utgår från koefficienterna för ekvationen som ska lösas och fortsätter genom att beräkna några tal, efter varandra.

Vid varje steg i beräkningen kan man överväga det minsta fältet som innehåller alla tal som hittills har beräknats. Detta fält ändras endast för stegen som involverar beräkningen av en n : te rot.

Så, en algebraisk lösning producerar en sekvens

$F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{k}$

av fält, och element $x_{i}\in F_{i}$ så att $F_{i}=F_{i-1 }(x_{i})$ för $i=1,\ldots ,k,$ med $x_{i}^{n_ {i}}\in F_{i-1}$ för något heltal $n_{i}>1.$ En algebraisk lösning av den initiala polynomekvationen existerar om och endast om det finns en sådan sekvens av fält så att $F_{k}$ innehåller en lösning.

För att ha normala tillägg, som är grundläggande för teorin, måste man förfina sekvensen av fält enligt följande. Om $F_{i-1}$ inte innehåller alla $n_{i}$ -te rötter av enhet , introducerar man fältet $K_{i}$ som utökar $F_{i-1}$ med en primitiv rot av enhet , och man omdefinierar $\displaystyle F_{i}}$ som $K_{i}(x_{i}).$

Så om man utgår från en lösning i termer av radikaler, får man en ökande sekvens av fält så att den sista innehåller lösningen, och var och en är en normal förlängning av den föregående med en Galois-grupp som är cyklisk .

Omvänt, om man har en sådan sekvens av fält, är ekvationen lösbar i termer av radikaler. För att bevisa detta räcker det att bevisa att en normal förlängning med en cyklisk Galois-grupp kan byggas från en rad radikala förlängningar .

Galois korrespondens

Galois -korrespondensen upprättar en en-till-en-överensstämmelse mellan subtilläggen av en normal fälttillägg $F/E$ och undergrupperna i Galois-gruppen i tillägget. Denna korrespondens mappar ett fält K såsom $E\subseteq K\subseteq F$ till Galois-gruppen $\operatorname {Gal} (F/K)$ i automorfismer av F som lämnar K fixerad, och omvänt mappar en undergrupp H av $\operatorname {Gal} (F/E)$ till fältet för elementen i F som fixeras av H .

Det föregående avsnittet visar att en ekvation är lösbar i termer av radikaler om och endast om Galois-gruppen i dess delande fältet (det minsta fältet som innehåller alla rötter) är lösbart , det vill säga den innehåller en sekvens av undergrupper så att var och en är normal i den föregående, med en kvotgrupp som är cyklisk . (Lösbara grupper definieras vanligen med abelska istället för cykliska kvotgrupper, men grundsatsen för finita abelska grupper visar att de två definitionerna är ekvivalenta).

Så för att bevisa Abel-Ruffinis sats återstår det att bevisa att den symmetriska gruppen $S_{5}$ inte är lösbar och att det finns polynom med symmetrisk Galois-grupp.

Lösbara symmetriska grupper

För n > 4 har den symmetriska gruppen ${\mathcal {S}}_{n}$ av grad n endast den alternerande gruppen ${\mathcal {A}}_{n}$ som en icke-trivial normal undergrupp (se Symmetrisk grupp § Normala undergrupper ). För n > 4 är den alternerande gruppen ${\mathcal {A}}_{n}$ inte abelsk och enkel (det vill säga den har ingen icke-trivial normal undergrupp). Detta innebär att både ${\mathcal {A}}_{n}$ och ${\mathcal {S}}_{n}$ inte är lösbara för n > 4 . Således är Abel-Ruffini-satsen ett resultat av förekomsten av polynom med en symmetrisk Galois-grupp; detta kommer att visas i nästa avsnitt.

Å andra sidan, för n ≤ 4 är den symmetriska gruppen och alla dess undergrupper lösbara. På något sätt förklarar detta förekomsten av kvadratiska , kubiska och kvartsformler , eftersom ett huvudresultat av Galois teori är att en polynomekvation har en lösning i radikaler om och bara om dess Galois-grupp är lösbar (termen "lösbar grupp" tar dess ursprung från detta teorem).

Polynom med symmetriska Galois-grupper

Allmän ekvation

Den allmänna eller generiska polynomekvationen av grad n är ekvationen

$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n- 1}x+a_{n}=0,$

där $a_{1},\ldots ,a_{n}$ är distinkta obestämda . Detta är en ekvation definierad över fältet F $\displaystyle F=\mathbb {Q} (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ av de rationella bråken i $a_{1},\ldots ,a_{n}$ med rationella talkoefficienter . Den ursprungliga Abel-Ruffini-satsen hävdar att för n > 4 är denna ekvation inte lösbar i radikaler. Med tanke på de föregående avsnitten är detta ett resultat av det faktum att Galois-gruppen över F i ekvationen är den symmetriska gruppen ${\mathcal {S}}_{n}$ (denna Galois-grupp är gruppen av fältautomorfismerna för ekvationens delningsfält som fixerar elementen i F , där delningsfältet är det minsta fältet som innehåller alla rötter till ekvationen) .

För att bevisa att Galois-gruppen är ${\mathcal {S}}_{n},$ är det enklare att börja från rötterna. Låt $x_{1},\ldots ,x_{n}$ vara nya obestämda, syftade till att vara rötterna, och betrakta polynomet

$P(x)=x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_{n}=(x-x_{1}) \cdots (x-x_{n}).$

Låt $H=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n})$ vara fältet för de rationella bråken i $x_{1},\ldots ,x_{n},$ och $K=\mathbb {Q} (b_{1}, \ldots ,b_{n})$ vara dess underfält genererat av koefficienterna för $P(x).$ Permutationerna av $x_{i}}$ displaystyle inducerar automorfismer av H . Vietas formler antyder att varje element i K är en symmetrisk funktion av $x_{i},$ och är alltså fixerad av alla dessa automorfismer. Det följer att Galois-gruppen $\operatorname {Gal} (H/K)$ är den symmetriska gruppen ${\mathcal {S}}_{n}.$

Grundsatsen för symmetriska polynom innebär att $b_{i}$ är algebraisk oberoende , och därmed att kartan som skickar varje $a_{i}$ till motsvarande $b_ {i}$ är en fältisomorfism från F till K . Detta innebär att man kan betrakta $P(x)=0$ som en generisk ekvation. Detta avslutar beviset på att Galois-gruppen i en allmän ekvation är den symmetriska gruppen, och bevisar därmed den ursprungliga Abel-Ruffini-satsen, som hävdar att den allmänna polynomekvationen av grad n inte kan lösas i radikaler för n > 4 .

Explicit exempel

Se även: Galois teori § Ett icke-lösbart kvintexempel

Ekvationen $x^{5}-x-1=0$ är inte lösbar i radikaler, vilket kommer att förklaras nedan.

Låt q vara $x^{5}-x-1$ . Låt G vara dess Galois-grupp, som agerar troget på uppsättningen av komplexa rötter av q . Genom att numrera rötterna kan man identifiera G med en undergrupp av den symmetriska gruppen ${\mathcal {S}}_{5}$ . Eftersom $q{\bmod {2}}$ faktorer som $(x^{2}+x+1)( x^{3}+x^{2}+1)$ i ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]} innehåller$ gruppen G en permutation g som är en produkt av disjunkta cykler av längderna 2 och 3 (i allmänhet, när ett moniskt heltalspolynom reducerar modulo ett primtal till en produkt av distinkta moniska irreducerbara polynom, ger faktorernas grader längden på de disjunkta cyklerna i någon permutation som tillhör Galois-gruppen) ; då G även $g^{3}$ , vilket är en transponering . Eftersom $q{\bmod {3}}$ är irreducerbar i $\mathbb {F} _{3}[x]$ visar samma princip att G innehåller en 5 -cykel . Eftersom 5 är primtal, genererar varje transponering och 5-cykel i ${\mathcal {S}}_{5}$ hela gruppen; se Symmetrisk grupp § Generatorer och relationer . Alltså $G={\mathcal {S}}_{5}$ . Eftersom gruppen ${\mathcal {S}}_{5}$ inte är lösbar, är ekvationen $x^{5}-x-1=0$ inte lösbar i radikaler.

Cayleys beslutsamhet

Testa om en specifik quintic är lösbar i radikaler kan göras med hjälp av Cayleys resolvent . Detta är ett univariat polynom av grad sex vars koefficienter är polynom i koefficienterna för en generisk kvintik. En specifik irreducerbar quintic är lösbar i radikaler om och bara, när dess koefficienter är substituerade i Cayleys resolvent, det resulterande sextiska polynomet har en rationell rot.

Historia

Runt 1770 började Joseph Louis Lagrange grundarbetet som förenade de många olika knep som hade använts fram till den punkten för att lösa ekvationer, och relaterade dem till teorin om grupper av permutationer , i form av Lagrange-upplösningsmedel . Detta innovativa arbete av Lagrange var en föregångare till Galois teori, och dess misslyckande med att utveckla lösningar för ekvationer av femte och högre grad antydde att sådana lösningar kan vara omöjliga, men det gav inte avgörande bevis. Den första person som anade att problemet med att lösa quintics av ​​radikaler kan vara omöjligt att lösa var Carl Friedrich Gauss , som skrev 1798 i avsnitt 359 i sin bok Disquisitiones Arithmeticae (som skulle publiceras först 1801) att "det råder lite tvivel att detta problem inte så mycket trotsar moderna analysmetoder som att det föreslår det omöjliga”. Nästa år, i sin avhandling , skrev han "Efter att många geometrars arbete lämnat lite hopp om att någonsin komma fram till upplösningen av den allmänna ekvationen algebraiskt, verkar det mer och mer troligt att denna upplösning är omöjlig och motsägelsefull." Och han tillade "Kanske blir det inte så svårt att med all stränghet bevisa omöjligheten för den femte graden. Jag ska lägga fram mina undersökningar av detta mer utförligt på ett annat ställe." Egentligen publicerade Gauss inget annat om detta ämne.

Paolo Ruffini , Teoria generale delle equazioni , 1799

Satsen bevisades nästan först av Paolo Ruffini 1799. Han skickade sitt bevis till flera matematiker för att få det erkänt, bland dem Lagrange (som inte svarade) och Augustin-Louis Cauchy , som skickade honom ett brev där det stod: "Din memoar om den allmänna lösningen av ekvationer är ett arbete som jag alltid har trott bör hållas i minnet av matematiker och som, enligt min mening, definitivt bevisar den algebraiska olösligheten hos allmänna ekvationer av högre än fjärde graden." Men generellt sett ansågs inte Ruffinis bevis vara övertygande. Abel skrev: "Den första och, om jag inte misstar mig, den enda som före mig har försökt bevisa omöjligheten av den algebraiska lösningen av allmänna ekvationer är matematikern Ruffini. Men hans memoarer är så komplicerade att det är mycket svårt att avgöra giltigheten av hans argument. Det förefaller mig som om hans argument inte är helt tillfredsställande."

Beviset var också, som det upptäcktes senare, ofullständigt. Ruffini antog att alla radikaler som han hade att göra med kunde uttryckas från polynomets rötter med enbart fältoperationer; i moderna termer antog han att radikalerna tillhörde polynomets splittringsfält. För att se varför detta verkligen är ett extra antagande, överväg till exempel polynomet $P(x)=x^{3}-15x-20$ . Enligt Cardanos formel kan en av dess rötter (alla faktiskt) uttryckas som summan av en kubrot på $10+5i$ med en kubrot på $10-5i$ . Å andra sidan, eftersom $P(-3)<0$ , $P(-2)>0$ , ${\ displaystyle P(-1)<0}$ , och $P(5)>0$ , rötterna $r_{1}$ , $r_{2}$ , och $r_{3}$ av $P(x)$ är alla reella och därför är fältet $\mathbf {Q } (r_{1},r_{2},r_{3})$ är ett underfält av $\mathbf {R}$ . Men då kan siffrorna $10\pm 5i$ inte tillhöra $\mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_ {3})$ . Medan Cauchy antingen inte märkte Ruffinis antagande eller kände att det var ett mindre sådant, tror de flesta historiker att beviset inte var fullständigt förrän Abel bevisade teoremet om naturliga irrationaliteter, som hävdar att antagandet gäller i fallet med allmänna polynom. Abel–Ruffini-satsen tillskrivs därför i allmänhet Abel, som publicerade ett korrektur komprimerat till bara sex sidor 1824. (Abel antog en mycket kortfattad stil för att spara papper och pengar: beviset trycktes på hans egen bekostnad.) En mer utarbetad stil. versionen av beviset skulle publiceras 1826.

Att bevisa att de allmänna kvintiska (och högre) ekvationerna var olösliga av radikaler löste inte saken helt, eftersom Abel-Ruffini-satsen inte ger nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för att säga exakt vilka kvintiska (och högre) ekvationer som är olösliga av radikaler. Abel arbetade på en fullständig karaktärisering när han dog 1829.

Enligt Nathan Jacobson , "bevisen från Ruffini och Abel [...] ersattes snart av kronan på denna forskningslinje: Galois upptäckter i ekvationsteorin." År 1830 lämnade Galois (vid 18 års ålder) in en memoarbok till vetenskapsakademin i Paris om sin teori om radikalers lösbarhet, som slutligen avvisades 1831 eftersom den var alltför kortfattad och för att ge ett villkor i termer av rötterna till ekvationen istället för dess koefficienter. Galois var medveten om bidragen från Ruffini och Abel, sedan han skrev "Det är en vanlig sanning, idag, att den allmänna ekvationen för grad som är större än 4 inte kan lösas av radikaler... denna sanning har blivit vanlig (genom hörsägen) trots det faktum att geometrar har ignorerat bevisen från Abel och Ruffini..." Galois dog sedan 1832 och hans tidning Mémoire sur les conditions de resolubilité des équations par radicaux förblev opublicerad till 1846, då den publicerades av Joseph Liouville åtföljd av några av sina egna förklaringar. Före denna publicering tillkännagav Liouville Galois resultat för akademin i ett tal han höll den 4 juli 1843. En förenkling av Abels bevis publicerades av Pierre Wantzel 1845. När Wantzel publicerade det var han redan medveten om Galois bidrag. och han nämner att, medan Abels bevis endast är giltigt för allmänna polynom, kan Galois tillvägagångssätt användas för att tillhandahålla ett konkret polynom av grad 5 vars rötter inte kan uttryckas i radikaler från dess koefficienter.

1963 upptäckte Vladimir Arnold ett topologiskt bevis på Abel-Ruffini-teoremet, som fungerade som utgångspunkt för topologisk Galois-teori .