Ändring av variabler (PDE)

För förändring av variabler för integration, se integration genom substitution .

Ofta kan en partiell differentialekvation reduceras till en enklare form med en känd lösning genom en lämplig förändring av variabler .

Artikeln diskuterar förändring av variabel för PDE nedan på två sätt:

1. genom exempel;
2. genom att ge teorin om metoden.

Förklaring med exempel

Till exempel följande förenklade form av Black–Scholes PDE

${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1} {2}}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+S{\frac {\partial V}{\partial S}}-V= 0.$

är reducerbar till värmeekvationen

${\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2} }}$

genom förändring av variabler:

$V(S,t)=v(x(S),\tau (t))$

$x(S)=\ln(S)$

$\tau (t)={\frac {1}{2}}(Tt )$

$v(x,\tau )=\exp(-(1) /2)x-(9/4)\tau )u(x,\tau )$

i dessa steg:

• Byt ut $V(S,t)$ med $v(x(S),\tau (t))$ och tillämpa kedjeregel för att få

${\frac {1}{2}}\left(-2v(x(S),\tau )+2{ \frac {\partial \tau }{\partial t}}{\frac {\partial v}{\partial \tau }}+S\left(\left(2{\frac {\partial x}{\partial S }}+S{\frac {\partial ^{2}x}{\partial S^{2}}}\right){\frac {\partial v}{\partial x}}+S\left({\ frac {\partial x}{\partial S}}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}\right)\right)=0.$

• Byt ut $x(S)$ och $\tau (t)$ med $\ln(S)$ och ${\frac {1}{2}}(Tt)$ för att få

${\frac {1}{2}}\left(-2v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(Tt))-{\frac {\partial v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(Tt))}{\partial \tau }}+{\frac {\partial v(\ln(S),{\ frac {1}{2}}(Tt))}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}v(\ln(S),{\frac {1}{2}}(Tt ))}{\partial x^{2}}}\right)=0.$

• Byt ut $\ln(S)$ och ${\frac { 1}{2}}(Tt)$ med $x(S)$ och $\tau (t)$ och dividera båda sidorna med ${\frac {1}{2}}$ för att få

$-2v-{\frac {\partial v}{\partial \tau }}+{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}=0.$

• Ersätt $v(x,\tau )$ av $\exp(-(1/2) )x-(9/4)\tau )u(x,\tau )$ och dividera med $-\exp(- (1/2)x-(9/4)\tau )$ för att ge värmeekvationen.

Råd om tillämpning av förändring av variabel på PDE ges av matematikern J. Michael Steele :

"Det finns inget särskilt svårt med att ändra variabler och omvandla en ekvation till en annan, men det finns ett element av trötthet och komplexitet som bromsar oss. Det finns inget universellt botemedel mot denna melasseffekt, men beräkningarna verkar gå snabbare om man följer en väldefinierad plan. Om vi ​​vet att $V(S,t)$ uppfyller en ekvation (som Black–Scholes ekvation) är vi garanterade att vi kan dra nytta av ekvation i härledningen av ekvationen för en ny funktion $v(x,t)$ definierad i termer av det gamla om vi skriver det gamla V som en funktion av det nya v och skriver det nya $\tau$ och x som funktioner av de gamla t och S. Denna ordning sätter allt i kedjeregelns direkta eldlinje: partialderivatorna ${\frac {\ partiell V}{\partial t}}$ , ${\frac {\partial V}{\partial S}}$ och ${\frac {\partial ^ {2}V}{\partial S^{2}}}$ är lätta att beräkna och i slutet är den ursprungliga ekvationen redo för omedelbar användning."

Teknik i allmänhet

Antag att vi har en funktion $u(x,t)$ och en förändring av variablerna $x_{1},x_{2}$ så att det finns funktioner $a(x,t),b(x,t)$ så att

$x_{1}=a(x,t)$

$x_{2}=b(x,t)$

och fungerar $e(x_{1},x_{2}),f(x_{1},x_{2})$ så att

$x=e(x_{1},x_{2})$

$t=f(x_{1}, x_{2})$

och dessutom sådan att

$x_{1}=a(e(x_{1},x_{2}),f(x_{ 1},x_{2}))$

$x_{2}=b(e(x_{1}, x_{2}),f(x_{1},x_{2}))$

och

$x=e(a(x,t),b(x,t))$

$t=f(a(x,t),b(x,t))$

Med andra ord, det är bra att det finns en bijektion mellan den gamla uppsättningen av variabler och den nya, annars måste man

• Begränsa tillämplighetsområdet för korrespondensen till ett ämne på det verkliga planet vilket är tillräckligt för en lösning av det praktiska problemet (där det återigen måste vara en bijektion), och
• Räkna upp (noll eller mer ändlig lista) av undantag (poler) där annars-bijektionen misslyckas (och säg varför dessa undantag inte begränsar tillämpligheten av lösningen av den reducerade ekvationen till den ursprungliga ekvationen)

Om en bijektion inte existerar kommer lösningen till den reducerade formekvationen i allmänhet inte att vara en lösning av den ursprungliga ekvationen.

Vi diskuterar förändring av variabel för PDE:er. En PDE kan uttryckas som en differentialoperator som appliceras på en funktion. Antag att ${\mathcal {L}}$ är en differentialoperator så att

${\mathcal {L}}u(x,t)=0$

Sen är det också så att

${\mathcal {L}}v(x_{1},x_{2})=0$

var

$v(x_{1},x_{2})=u(e(x_ {1},x_{2}),f(x_{1},x_{2}))$

och vi arbetar enligt följande för att gå från ${\mathcal {L}}u(x,t)=0$ till ${\mathcal {L}}v(x_{1},x_{2})=0:$

• Tillämpa kedjeregeln på ${\mathcal {L}}v(x_{1}(x,t),x_{2 }(x,t))=0$ och expandera ut och ge ekvationen $e_{1}$ .
• Ersätt $a(x,t)$ med $x_{1}(x,t)$ och $b( x,t)$ för $x_{2}(x,t)$ i $e_{1}$ och expandera ut för att ge ekvationen $e_{2 }$ .
• Ersätt förekomster av $x$ med $e(x_{1},x_{2})$ och $t$ med $f(x_{1},x_{2})$ för att ge ${\mathcal {L}}v(x_{1},x_{2}) =0$ , som kommer att vara fri från $x$ och $t$ .

I samband med PDE definierar och förklarar Weizhang Huang och Robert D. Russell de olika möjliga tidsberoende transformationerna i detaljer.

Aktionsvinkelkoordinater

Ofta kan teori fastställa förekomsten av en förändring av variabler, även om formeln i sig inte kan uttryckligen anges. För ett integrerbart Hamiltonskt system med dimension $n$ , med ${\dot {x}}_{i}=\partial H/\partial p_{j}$ och ${\displaystyle {\dot {p}}_{j}=-\partial H/\partial x_{j}} ,$ det finns $n$ integraler $I_{i}$ . Det finns en förändring av variabler från koordinaterna $\{x_{1},\dots ,x_{n},p_{1},\ prickar ,p_{n}\}$ till en uppsättning variabler $\{I_{1},\dots I_{n},\varphi _ {1},\dots ,\varphi _{n}\}$ , där rörelseekvationerna blir ${\dot {I}}_{i}=0$ , ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{i}=\omega _{i}(I_{1},\dots ,I_{n})} ,$ där funktionerna $\omega _{1},\dots ,\omega _{n}}$$I_{1} ,\dots ,I_{n}$ är okända, men beror endast på . Variablerna $I_{1},\dots ,I_{n}$ är åtgärdskoordinaterna, variablerna $\varphi _{1},\ prickar ,\varphi _{n}$ är vinkelkoordinaterna. Systemets rörelse kan alltså visualiseras som rotation på torii. Som ett särskilt exempel, betrakta den enkla harmoniska oscillatorn, med ${\dot {x}}=2p$ och ${\dot {p}}=-2x$ , med Hamiltonian $H(x,p)=x^{2}+p^{2}$ . Detta system kan skrivas om som ${\dot {I}}=0$ , ${\dot {\varphi }}=1$ , där $I$ och $\varphi$ är de kanoniska polära koordinaterna: $I=p^{2}+q^{2}$ och $\tan(\varphi )=p/x$ . Se VI Arnold , "Matematiska metoder för klassisk mekanik", för mer information.