't Hooft loop

Inom kvantfältteorin är ' t Hooft-slingan en magnetisk analog till Wilson-slingan för vilken rumsslingor ger upphov till tunna slingor av magnetiskt flöde associerade med magnetiska virvlar . De spelar rollen som en störningsparameter för Higgs-fasen i ren gauge-teori . Konsistensförhållanden mellan elektriska och magnetiska laddningar begränsar möjliga 't Hooft-slingor som kan användas, på samma sätt som Dirac- kvantiseringsvillkoret begränsar uppsättningen tillåtna magnetiska monopoler . De introducerades först av Gerard 't Hooft 1978 i samband med möjliga faser som mätte teorier medger.

Definition

Det finns ett antal sätt att definiera 't Hooft-linjer och loopar. För tidsliknande kurvor $C$ är de ekvivalenta med mätarkonfigurationen som härrör från världslinjen som spåras ut av en magnetisk monopol. Dessa är singulära mätfältskonfigurationer på linjen så att deras rumsliga skiva har ett magnetfält vars form närmar sig den för en magnetisk monopol

$B^{i}\xrightarrow {r\rightarrow 0} {\frac {x^{i}}{4\pi r^{3 }}}Q(x),$

där i Yang–Mills teori $Q(x)$ är det allmänt Lie algebra värderade objektet som specificerar den magnetiska laddningen. 't Hooft-linjer kan också infogas i banintegalen genom att kräva att mätfältsmåttet endast kan löpa över konfigurationer vars magnetfält har ovanstående form.

Mer generellt kan 't Hooft-slingan definieras som den operator vars effekt är likvärdig med att utföra en modifierad gauge-transformation $\Omega$ som är singular på slingan $C$ på ett sådant sätt att alla andra loop $C'$ parametriserad av $s\in [0,1]$ med ett slingrande nummer $l$ runt $C$ uppfyller

$\Omega (s=1)=e^{i2\pi l/N}\Omega (s=0).$

Dessa modifierade gauge-transformationer är inte sanna gauge-transformationer eftersom de inte lämnar åtgärden invariant . För temporala loopar skapar de ovannämnda fältkonfigurationer medan de för rumsliga loopar istället skapar loopar av färgmagnetiskt flöde, kallade centervirvlar . Genom att konstruera sådana mättransformationer kan en explicit form för 't Hooft-slingan härledas genom att introducera Yang–Mills konjugat momentumoperator

$\Pi _{i}^{a}(x)=-i{\frac {\delta }{\delta A_{i}^{a}(x)}}.$

Om slingan $C$ omsluter en yta $\Sigma$ , så är en explicit form av 't Hooft loopoperatorn

$T[C]=e^{i\int d^{3}xA_{i}^{a}(\Sigma ,x)\Pi _{i}^{a}(x)}.$

Med Stokes sats kan detta skrivas om på ett sätt som visar att det mäter det elektriska flödet genom ${\displaystyle \Sigma } ,$ analogt med hur Wilsonslingan mäter det magnetiska flödet genom den inneslutna ytan.

Det finns en nära relation mellan 't Hooft- och Wilson-loopar där de ges två loopar $C$ och $C'$ som har länknummer $l$ , sedan 't Hooft-loopen $T[C]$ och Wilson loop $W[C']$ uppfyller

$T[C]W[C']=z^{l}W[C']T[C],$

där $z$ är ett element i mitten av mätgruppen. Denna relation kan ses som ett kännetecken för 't Hooft-slingor. Kommuteringsegenskaperna mellan dessa två slingoperatorer används ofta i topologisk fältteori där dessa operatorer bildar en algebra .

Disorder operatör

't Hooft-slingan är en störningsoperator eftersom den skapar singulariteter i mätfältet, med deras förväntade värde som skiljer den oordnade fasen av ren Yang-Mills-teorin från den ordnade begränsningsfasen . På samma sätt som Wilson-slingan kan förväntansvärdet för 't Hooft-slingan följa antingen områdeslagen

$\langle T[C]\rangle \sim e^{-aA[C]},$

där $A[C]$ är området som omges av loop och $a$ är en konstant, eller så kan den följa omkretslagen

$\langle T[C]\rangle \sim e^{-bL[C]},$

där $L[C]$ är längden på slingan och $b$ är en konstant.

På basis av kommuteringsrelationen mellan 't Hooft- och Wilson-slingorna kan fyra faser identifieras för ${\text{SU}}(N)$ mätteorier som dessutom innehåller skalärer i representationer invariant under mitten $\mathbb {Z} _{N}$ symmetri . De fyra faserna är

• Inspärrning: Wilson-slingor följer områdeslagen medan 't Hooft-slingor följer perimeterlagen.
• Higgs-fas: Wilson-slingor följer omkretslagen medan 't Hooft-slingor följer områdeslagen.
• Inspärrning tillsammans med en delvis Higgsed fas: båda följer områdeslagen.
• Blandad fas: båda följer omkretslagen.

I den tredje fasen är mätargruppen endast delvis uppdelad till en mindre icke-abelisk undergrupp . Den blandade fasen kräver att gauge-bosonerna är masslösa partiklar och förekommer inte för ${\text{SU}}(N)$ teorier, men liknar fasen för abelsk teori är Coulomb-fasen.

Eftersom 't Hooft-operatörer är skapande operatörer för centervirvlar, spelar de en viktig roll i centervirvelscenariot för inneslutning. I denna modell är det dessa virvlar som leder till arealagen för Wilson-slingan genom de slumpmässiga fluktuationerna i antalet topologiskt länkade virvlar.

Avgiftsbegränsningar

I närvaro av både 't Hooft-linjer och Wilson-linjer kräver en teori konsistensförhållanden liknande Dirac-kvantiseringsvillkoret som uppstår när både elektriska och magnetiska monopoler är närvarande. För en mätgrupp $G={\tilde {G}}/H$ där ${\tilde {G}}$ är den universella täckande gruppen med en Lie algebra ${ \displaystyle {\mathfrak {g}}}$ och $H$ är en undergrupp av mitten, då är uppsättningen av tillåtna Wilson-linjer i en-till-en-överensstämmelse med representationerna av $G$ . Detta kan formuleras mer exakt genom att introducera vikterna ${\boldsymbol {\mu }}$ för Lie-algebra, som spänner över viktgittret $\Lambda _{w}({\ mathfrak {g}})$ . Betecknar $\Lambda _{w}^{G}\subset \Lambda _{w}$ som gitter som sträcks av vikterna associerade med algebra för $G$ snarare än ${\mathfrak { g}}$ , är Wilson-linjerna i en-till-en-överensstämmelse med gitterpunkterna $\Lambda _{w}^{G}/W$ gitter där $W$ är Weyl-gruppen.

Den Lie algebra värderade laddningen av 't Hooft-linjen kan alltid skrivas i termer av rang $r$ Cartan subalgebra ${\boldsymbol {H}}$ som $Q ={\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {H}}$ , där ${\boldsymbol {m}}$ är en $r$ -dimensionell laddningsvektor. På grund av Wilson-linjerna måste 't Hooft-laddningen uppfylla det generaliserade Dirac-kvantiseringsvillkoret ${\displaystyle e^{i{\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {H}}}=1} ,$ vilket måste gälla för alla representationer av Lie-algebra.

Det generaliserade kvantiseringsvillkoret är ekvivalent med kravet som ${\boldsymbol {m}}\cdot {\boldsymbol {\mu }}\in 2\pi \mathbb {Z}$ gäller för alla viktvektorer. För att få uppsättningen av vektorer ${\boldsymbol {m}}$ som uppfyller detta villkor måste man överväga rötter ${\boldsymbol {\alpha }}$ som är adjoint representation viktvektorer. Medrötter, definierade med rötter med ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}^{\vee }=2{\boldsymbol {\alpha }}/{\boldsymbol {\alpha }}^{2}} , spänner över$ co- rotgitter $\Lambda _{\text{co-root}}({\mathfrak {g}})$ . Dessa vektorer har den användbara egenskapen att ${\boldsymbol {\alpha }}^{\vee }\cdot {\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {Z}$ vilket betyder att de enda magnetiska laddningarna som tillåts för 't Hooft-linjerna är de som finns i co-root gittret

${\boldsymbol {m}}\in 2\pi \Lambda _{\text{co-root}}({\mathfrak {g}}).$

Detta skrivs ibland i termer av Langlands dubbla algebra ${\mathfrak {g}}^{\vee }$ av ${\mathfrak {g}}$ med ett viktgitter ${ \displaystyle \Lambda _{mw}}$ , i vilket fall 't Hooft-linjerna beskrivs av $\Lambda _{mw}/W$ .

Mer allmänna klasser av dyoniska linjeoperatörer, med både elektriska och magnetiska laddningar, kan också konstrueras. Kallas ibland Wilson–'t Hooft-linjeoperatorer, de definieras av par av laddningar $(\lambda _{e},\lambda _{m})\ i \Lambda _{w}\times \Lambda _{mw}$ fram till identifieringen att för alla $w\in W$ gäller att

$(\lambda _{e},\lambda _{m})\sim (w\lambda _{e},w\lambda _{m}).$

Linjeoperatorer spelar en roll för att indikera skillnader i spårviddsteorier av formen $G={\tilde {G}}/H$ som skiljer sig åt med den mittersta undergruppen $H$ . Om de inte är kompakterade skiljer sig dessa teorier inte i lokal fysik och ingen mängd lokala experiment kan härleda teorins exakta mätgrupp. Trots detta skiljer sig teorierna åt i sina globala egenskaper, som att ha olika uppsättningar av tillåtna linjeoperatorer. Till exempel i ${\text{SU}}(N)$ mätteorier, Wilson-slingor är märkta med $\Lambda _{w}({\mathfrak {g}})$ medan ' t Hooftlinjer efter $\Lambda _{\text{co-root}}({\mathfrak {g}})$ . Men i ${\text{SU}}(N)/\mathbb {Z} _{N}$ är gittren omvända där nu Wilson-linjerna bestäms av $\Lambda _{\text{co-root}}$ medan 't Hooft-linjerna bestäms av $\Lambda _{w}$ .