Womersley nummer

Womersley -talet ( $\alpha$ eller ${\text{Wo}}$ ) är ett dimensionslöst tal inom biovätskemekanik och biovätskedynamik . Det är ett dimensionslöst uttryck för den pulserande flödesfrekvensen i förhållande till viskösa effekter . Den är uppkallad efter John R. Womersley (1907–1958) för hans arbete med blodflödet i artärer . Womersley-numret är viktigt för att behålla dynamisk likhet när man skalar ett experiment. Ett exempel på detta är att skala upp det vaskulära systemet för experimentell studie. Womersley-talet är också viktigt för att bestämma tjockleken på gränsskiktet för att se om ingångseffekter kan ignoreras.

Denna kvadratrot av detta tal kallas också för Stokes-tal , ${\displaystyle {\text{Stk}}={\sqrt {\text{Wo}}}},$ på grund av det pionjärarbete som utförts av Sir George Stokes på Stokes andra problem .

Härledning

Womersley-talet, vanligtvis betecknat $\alpha$ , definieras av relationen

$$\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {\text{transient tröghet force}}{\text{viskös kraft}}}={\frac {\rho \omega U}{\mu UL^{-2}}}={\frac {\omega L^{2}}{\mu \rho ^{-1}}}={\frac {\omega L^{2}}{\nu }}\,,}$$

där $L$ är en lämplig längdskala (till exempel radien för ett rör), $\omega$ är vinkelfrekvensen för svängningarna, och $\nu$ , $\rho$ , $\mu$ är den kinematiska viskositeten , densiteten och den dynamiska viskositeten för vätskan. Womersley-numret skrivs normalt i maktlös form

$$\alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.$$

I det kardiovaskulära systemet är pulsationsfrekvensen, densiteten och den dynamiska viskositeten konstant, men den Karakteristiska längden , som i fallet med blodflödet är kärldiametern, ändras med tre storleksordningar (OoM) mellan aorta och fina kapillärer. Womersley-talet ändras alltså på grund av variationerna i kärlstorlek över kärlsystemet. Womersley-talet för mänskligt blodflöde kan uppskattas enligt följande: $\alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.$

Nedan är en lista över uppskattade Womersley-tal i olika mänskliga blodkärl:

Fartyg	Diameter (m)	$\alpha$
Aorta	0,025	13,83
Artär	0,004	2.21
Arteriole	3 × 10 −5	0,0166
Kapillär	8 × 10 −6	4,43 × 10 −3
Venule	2 × 10 −5	0,011
Vener	0,005	2,77
Vena cava	0,03	16.6

Det kan också skrivas i termer av det dimensionslösa Reynolds-talet (Re) och Strouhal-numret (St):

$$\alpha =\left(2\pi \,\mathrm {Re} \,\mathrm {St} \right)^{1/2}\,.$$

Womersley-talet uppstår i lösningen av de linjäriserade Navier–Stokes-ekvationerna för oscillerande flöde (förmodas vara laminärt och inkompressibelt) i ett rör. Det uttrycker förhållandet mellan den transienta eller oscillerande tröghetskraften och skjuvkraften. När $\alpha$ är liten (1 eller mindre), betyder det att pulsationsfrekvensen är tillräckligt låg för att en parabolisk hastighetsprofil hinner utvecklas under varje cykel, och flödet kommer att vara mycket nästan i fas med trycket gradient, och kommer att ges till en bra approximation av Poiseuilles lag , med användning av den momentana tryckgradienten. När $\alpha$ är stor (10 eller fler), betyder det att pulsationsfrekvensen är tillräckligt stor för att hastighetsprofilen är relativt platt eller pluggliknande, och medelflödet släpar efter tryckgradienten med cirka 90 grader. Tillsammans med Reynolds-numret styr Womersley-numret dynamisk likhet.

Gränslagrets tjocklek $\delta$ som är associerad med den transienta accelerationen är omvänt relaterad till Womersley-talet. Detta kan ses genom att känna igen Womersley-talet som kvadratroten av Stokes-talet .

$$\delta =\left(L/\alpha \right)=\left({\frac {L}{\sqrt {\mathrm {Stk} }}}\höger),$$

där $L$ är en karakteristisk längd.

Biovätskemekanik

I ett flödesdistributionsnätverk som går från ett stort rör till många små rör (t.ex. ett blodkärlsnätverk) är frekvensen, densiteten och dynamiska viskositeten (vanligtvis) desamma i hela nätverket, men rörradien ändras. Därför är Womersley-talet stort i stora kärl och litet i små kärl. När kärldiametern minskar med varje delning blir Womersley-talet snart ganska litet. Womersley-siffrorna tenderar till 1 i nivå med de terminala artärerna. I arteriolerna, kapillärerna och venolerna är Womersley-talen mindre än ett. I dessa områden blir tröghetskraften mindre viktig och flödet bestäms av balansen mellan viskösa spänningar och tryckgradienten. Detta kallas mikrocirkulation .

Några typiska värden för Womersley-talet i det kardiovaskulära systemet för en hund vid en hjärtfrekvens på 2 Hz är:

• Stigande aorta – 13.2
• Sjunkande aorta – 11,5
• Abdominal aorta - 8
• Femoral artär – 3,5
• Halspulsådern – 4.4
• Arterioler – 0,04
• Kapillärer – 0,005
• Venoler – 0,035
• Inferior vena cava – 8,8
• Huvudlungartär – 15

Det har hävdats att universella biologiska skalningslagar (makt-lagsförhållanden som beskriver variation av kvantiteter såsom ämnesomsättning, livslängd, längd, etc., med kroppsmassa) är en konsekvens av behovet av energiminimering, den fraktala karaktären av vaskulär karaktär . nätverk, och övergången från högt till lågt Womersley-talflöde när man går från stora till små kärl.