Biot nummer

Biottalet ( Bi ) är en dimensionslös storhet som används i värmeöverföringsberäkningar , uppkallad efter den franske fysikern Jean-Baptiste Biot ( 1774–1862) från 1700- talet. Biot-talet är förhållandet mellan det termiska motståndet för ledning inuti en kropp och motståndet för konvektion vid kroppens yta. Detta förhållande indikerar om temperaturen inuti en kropp varierar avsevärt i rymden när kroppen värms eller kyls över tiden av ett värmeflöde vid dess yta.

I allmänhet är problem som involverar små biottal (mycket mindre än 1) analytiskt enkla, som ett resultat av nästan enhetliga temperaturfält inuti kroppen. Biottal av storleksordningen ett eller större indikerar svårare problem med ojämna temperaturfält inuti kroppen.

Biot-numret förekommer i ett antal värmeöverföringsproblem , inklusive transient värmeledning och fenvärmeöverföringsberäkningar .

Definition

Biotnumret definieras som:

\mathrm {Bi} ={\frac {h}{k}}L

var:

${k}$ är kroppens värmeledningsförmåga [W/(m·K)]
${h}$ är en konvektiv värmeöverföringskoefficient [W/(m ² ·K)]
${L}$ är en karakteristisk längd [m] av den betraktade geometrin.

( Biot-numret ska inte förväxlas med Nusselt-numret , som använder vätskans värmeledningsförmåga snarare än kroppens.)

Den karakteristiska längden i de flesta relevanta problem blir den värmekarakteristiska längden, dvs förhållandet mellan kroppsvolymen och den uppvärmda (eller kylda) ytan på kroppen:

L={\frac {V}{A_{\mathrm {Q} }}}

Här används underskriften Q , för värme , för att beteckna att ytan som ska beaktas endast är den del av den totala ytan genom vilken värmen passerar.

Den fysiska betydelsen av Biot-tal kan förstås genom att föreställa sig värmeflödet från en liten het metallsfär som plötsligt är nedsänkt i en pool, till den omgivande vätskan. Värmeflödet upplever två motstånd: det första för ledning i den fasta metallen (som påverkas av både storleken och sammansättningen av sfären), och det andra för konvektion vid sfärens yta. Om det termiska motståndet för vätske/sfär-gränsytan överstiger det termiska motstånd som erbjuds av metallsfärens inre, kommer Biot-talet att vara mindre än ett. För system där det är mycket mindre än en, kan det inre av sfären antas vara en enhetlig temperatur, även om denna temperatur kan förändras med tiden när värme passerar in i sfären från ytan. Ekvationen för att beskriva denna förändring i (relativt enhetlig) temperatur inuti objektet är en enkel exponentiell som beskrivs av Newtons kyllag .

Däremot kan metallsfären vara stor, så att den karakteristiska längden är stor och Biot-talet är större än ett. Nu blir termiska gradienter inom sfären viktiga, även om sfärmaterialet är en bra ledare. På motsvarande sätt, om sfären är gjord av ett dåligt ledande (värmeisolerande) material, såsom trä eller frigolit, kommer det inre motståndet mot värmeflöde att överstiga det för konvektion vid vätske/sfär-gränsen, även för en mycket mindre sfär. I det här fallet, återigen, kommer Biot-talet att vara större än ett.

Ansökningar

Värdet på Biot-numret kan indikera tillämpligheten (eller otillämpligheten) av vissa metoder för att lösa problem med övergående värmeöverföring. Till exempel innebär ett biottal mindre än cirka 0,1 att värmeledning inuti kroppen ger mycket lägre termiskt motstånd än värmekonvektionen vid ytan, så att temperaturgradienter är försumbara inuti kroppen (sådana kroppar är ibland märkta "termiskt tunna" ). I denna situation kan den enkla kapacitansmodellen användas för att utvärdera en kropps övergående temperaturvariation. Motsatsen är också sant: ett Biot-tal större än cirka 0,1 indikerar att termiskt motstånd i kroppen inte är försumbart, och mer komplexa metoder behövs för att analysera värmeöverföring till eller från kroppen (sådana kroppar kallas ibland "termiskt tjocka") .

Värmeledning för ändligt biottal

När Biot-talet är större än 0,1 eller så måste värmeekvationen lösas för att bestämma det tidsvarierande och rumsligt olikformiga temperaturfältet inom en kropp. Analytiska metoder för att hantera dessa problem, som kan finnas för enkla geometriska former och enhetlig materialvärmekonduktivitet, beskrivs i artikeln om värmeekvationen . Exempel på verifierade analytiska lösningar tillsammans med exakta numeriska värden finns tillgängliga. Ofta är sådana problem för svåra att göra utom numeriskt, med användning av en datormodell för värmeöverföring.

Värmeledning för Bi ≪ 1

Som nämnts visar ett Biot-tal mindre än cirka 0,1 att ledningsmotståndet inuti en kropp är mycket mindre än värmekonvektion vid ytan, så att temperaturgradienter är försumbara inuti kroppen. I det här fallet modellen med klumpkapacitans för transient värmeöverföring användas. (Ett Biot-tal mindre än 0,1 indikerar i allmänhet att mindre än 3 % fel kommer att finnas när du använder modellen med klumpkapacitans.)

Den enklaste typen av lösning med klumpad kapacitet, för en stegvis förändring av vätsketemperaturen, visar att en kropps temperatur sjunker exponentiellt i tiden ("Newtonsk" kylning eller uppvärmning) eftersom kroppens inre energi är direkt proportionell mot kroppens temperatur , och skillnaden mellan kroppstemperaturen och fluidtemperaturen är linjärt proportionell mot hastigheten för värmeöverföring in i eller ut ur kroppen. Att kombinera dessa samband med termodynamikens första lag leder till en enkel linjär differentialekvation av första ordningen. Motsvarande lösning med klumpad kapacitet kan skrivas

{\frac {T-T_{\infty }}{T_{0}-T_{\infty }}}=e^{-t/\ tau }

där τ = ρ c V/(h A _Q ) är kroppens termiska tidskonstant , ρ är massdensiteten (kg/m ³ ), och c _p är specifik värmekapacitet (J/kg-K).

Studiet av värmeöverföring i mikroinkapslade fasförändringsslam är en applikation där Biot-talet är användbart. För den dispergerade fasen av den mikroinkapslade fasförändringsuppslamningen, det mikroinkapslade fasförändringsmaterialet i sig, beräknas Biot-talet vara under 0,1 och därför kan det antas att termiska gradienter inom den dispergerade fasen är försumbara.

Massöverföringsanalog

En analog version av biotnumret (vanligtvis kallat "massöverföringsbiotnumret", eller $\mathrm {Bi} _{m}$ ) används också i massdiffusionsprocesser:

\mathrm {Bi} _{m}={\frac {k_{c}}{D}}L

var:

${k_{c}}$ : konvektiv massöverföringskoefficient (analogt med h för värmeöverföringsproblemet)
$D$ : massdiffusion (analogt med k för värmeöverföringsproblem)
${L}$ : karakteristisk längd

Se även