Vorticitetsekvation

Virvelekvationen för vätskedynamik beskriver utvecklingen av vorticiteten ω för en partikel av en vätska när den rör sig med sitt flöde ; det vill säga den lokala rotationen av vätskan (i termer av vektorkalkyl är detta krullningen av flödeshastigheten ). Den styrande ekvationen är:

${\begin{aligned}{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{ \partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}\\&=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u} -{ \boldsymbol {\omega }}(\nabla \cdot \mathbf {u} )+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nabla \times \left( {\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}\right)+\nabla \times \left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)\end{aligned} }$

där D / Dt är materialderivatoperatorn , u är flödeshastigheten , ρ är den lokala vätskedensiteten , p är det lokala trycket , τ är den viskösa spänningstensorn och B representerar summan av de yttre kroppskrafterna . Den första källtermen på höger sida representerar virvelsträckning .

Ekvationen är giltig i frånvaro av några koncentrerade vridmoment och linjekrafter för en komprimerbar , Newtonsk vätska . I fallet med inkompressibelt flöde (dvs lågt Mach-tal ) och isotropa vätskor, med konservativa kroppskrafter, förenklas ekvationen till vorticitetstransportekvationen :

${\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\left({\boldsymbol {\omega }}\ cdot \nabla \right)\mathbf {u} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}$

där ν är den kinematiska viskositeten och $\nabla ^{2}$ är Laplace-operatorn . Under det ytterligare antagandet om tvådimensionellt flöde förenklas ekvationen till:

${\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}$

Fysisk tolkning

• Termen D ω / Dt på vänster sida är materialderivatan av virvelvektorn ω . Den beskriver hastigheten för förändring av virveln hos den rörliga vätskepartikeln. Denna förändring kan tillskrivas ostadighet i flödet ( ∂ ω / ∂ t , den instabila termen ) eller på grund av vätskepartikelns rörelse när den rör sig från en punkt till en annan ( konvektionstermen ( u ∙ ∇) ω , ) .
• Termen ( ω ∙ ∇) u på höger sida beskriver sträckningen eller lutningen av virveln på grund av flödeshastighetsgradienterna. Observera att ( ω ∙ ∇) u är en vektorkvantitet, eftersom ω ∙ ∇ är en skalär differentialoperator, medan ∇ u är en tensorstorhet med nio element.
• Termen ω (∇ ∙ u ) beskriver sträckning av vorticitet på grund av flödeskompressibilitet. Det följer av Navier-Stokes ekvation för kontinuitet , nämligen
  $${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{ \partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)&=0\\\Longleftrightarrow \nabla \cdot \mathbf {u} &=-{\frac {1}{\ rho }}{\frac {d\rho }{dt}}={\frac {1}{v}}{\frac {dv}{dt}}\end{aligned}}$$
  där v = 1 / ρ är den specifika volymen av fluidelementet. Man kan tänka på ∇ ∙ u som ett mått på flödeskompressibilitet. Ibland ingår det negativa tecknet i termen.
• Termen 1 / ρ ² ∇ ρ × ∇ p är den barokliniska termen . Den står för förändringarna i virveln på grund av skärningspunkten mellan densitet och tryckytor.
• Termen ∇ × ( ∇ ∙ τ / ρ ) , står för spridningen av virveln på grund av de viskösa effekterna.
• Termen ∇ × B ger förändringar på grund av yttre kroppskrafter. Dessa är krafter som sprids över ett tredimensionellt område av vätskan, såsom gravitation eller elektromagnetiska krafter . (Till skillnad från krafter som bara verkar över en yta (som drag mot en vägg) eller en linje (som ytspänning runt en menisk ).

Förenklingar

• Vid konservativa kroppskrafter är ∇ × B = 0 .
• För en barotropisk vätska är ∇ ρ × ∇ p = 0 . Detta gäller även för en vätska med konstant densitet (inklusive inkompressibel vätska) där ∇ ρ = 0 . Observera att detta inte är detsamma som ett inkompressibelt flöde , för vilket den barotropiska termen inte kan försummas.
• För inviscid vätskor är viskositetstensorn τ noll.

Sålunda förenklar vorticitetsekvationen för en inviscid, barotrop vätska med konservativa kroppskrafter till

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right) =\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)\cdot \nabla \mathbf {u}$

Alternativt, vid inkompressibel, inviscid vätska med konservativa kroppskrafter,

${\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}={\frac {\ partiell {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u}$

För en kort genomgång av ytterligare fall och förenklingar, se även. För virvelekvationen i turbulensteori, i samband med flöden i oceaner och atmosfär, hänvisas till.

Härledning

Vorticitetsekvationen kan härledas från Navier–Stokes ekvation för bevarande av rörelsemängd . I frånvaro av några koncentrerade vridmoment och linjekrafter erhåller man:

${\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={ \frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho } }\nabla p+{\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}+{\frac {\mathbf {B} }{\rho }}$

Nu definieras virvel som krökningen av flödeshastighetsvektorn; att ta curl of momentum ger den önskade ekvationen. Följande identiteter är användbara för att härleda ekvationen:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}&=\nabla \times \mathbf {u} \\\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} &=\nabla \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)-\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\\\nabla \times \left(\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\right)&=-{\boldsymbol {\omega }}\left (\nabla \cdot \mathbf {u} \right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} -\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right){\boldsymbol {\omega }}\\[4pt]\nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}&=0\\[4pt]\nabla \times \nabla \phi &=0\end{ Justerat}}$

där $\phi$ är vilket skalärt fält som helst.

Tensor notation

Vorticitetsekvationen kan uttryckas i tensornotation med Einsteins summeringskonvention och Levi-Civita-symbolen e _ijk :

${\begin{aligned}{\frac { D\omega _{i}}{Dt}}&={\frac {\partial \omega _{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial \omega _{i} }{\partial x_{j}}}\\&=\omega _{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}-\omega _{i}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{j}}}+e_{ijk}{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x_ {j}}}{\frac {\partial p}{\partial x_{k}}}+e_{ijk}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac { 1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{km}}{\partial x_{m}}}\right)+e_{ijk}{\frac {\partial B_{k}}{\ partiell x_{j}}}\end{aligned}}$

I specifika vetenskaper

Atmosfärsvetenskap

Inom atmosfärsvetenskaperna kan virvelekvationen anges i termer av luftens absoluta virvel i förhållande till en tröghetsram, eller av virvlingen i förhållande till jordens rotation. Den absoluta versionen är

$_ {\frac {d\eta }{dt}}=-\eta \nabla _{\text{h}}\cdot \mathbf {v} _{\text{h}}-\left({\frac {\ partiell w}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial z }}\right)-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {k} \cdot \left(\nabla _{\text{h}}p\ gånger \nabla _{\text {h}}\rho \right)}$

Här är η den polära ( z ) komponenten av virveln, ρ är den atmosfäriska densiteten , u , v och w är komponenterna av vindhastighet , och ∇ _h är den 2-dimensionella (dvs. endast horisontell komponent) del .

Se även

• Vorticity
• Barotrop vorticitetsekvation
• Vortexsträckning
• Hamburgare vortex

Vidare läsning

•   Manna, Utpal; Sritharan, S.S. (2007). "Lyapunov-funktioner och lokal dissipativitet för vorticitetsekvationen i Lp- ^. och Besov-utrymmen" Differentialekvationer och integralekvationer . 20 (5): 581–598. doi : 10.57262/die/1356039440 . S2CID 50701138 .
• Barbu, V.; Sritharan, S.S. (2000). " M -Accretive Quantization of the Vorticity Equation" (PDF) . I Balakrishnan, A.V. (red.). Semi-grupper av operatörer: teori och tillämpningar . Boston: Birkhauser. s. 296–303.
• Krigel, A.M. (1983). "Vortex evolution". Geofysisk och astrofysisk vätskedynamik . 24 (3): 213–223. Bibcode : 1983GApFD..24..213K . doi : 10.1080/03091928308209066 .