Verklig representation

I det matematiska området representationsteorin är en reell representation vanligtvis en representation på ett reellt vektorrum U , men det kan också betyda en representation på ett komplext vektorrum V med en invariant reell struktur , dvs en antilinjär ekvivariant karta

$j\colon V\to V$

som tillfredsställer

$j^{2}=+1.$

De två synpunkterna är ekvivalenta eftersom om U är ett verkligt vektorrum som påverkas av en grupp G (säg), så är V = U ⊗ C en representation på ett komplext vektorrum med en antilinjär ekvivariant karta som ges av komplex konjugation . Omvänt, om V är en sådan komplex representation, så kan U återvinnas som fixpunktsuppsättningen av j (egenrymden med egenvärde 1) .

Inom fysiken , där representationer ofta ses konkret i termer av matriser, är en reell representation en där posterna i matriserna som representerar gruppelementen är reella tal. Dessa matriser kan verka antingen på verkliga eller komplexa kolumnvektorer.

En verklig representation på ett komplext vektorutrymme är isomorf till dess komplexa konjugata representation , men det omvända är inte sant: en representation som är isomorf till dess komplexa konjugat men som inte är verklig kallas en pseudoreal representation . En irreducerbar pseudoreal representation V är nödvändigtvis en kvaternionisk representation : den tillåter en invariant kvaternionisk struktur , dvs en antilinjär ekvivariant karta

$j\colon V\to V$

som tillfredsställer

$j^{2}=-1.$

En direkt summa av reella och kvartjoniska representationer är varken verklig eller kvartjonisk i allmänhet.

En representation på ett komplext vektorrum kan också vara isomorf till den dubbla representationen av dess komplexa konjugat. Detta händer just när representationen tillåter en icke degenererad invariant sesquilinjär form , t.ex. en hermitisk form . Sådana representationer sägs ibland vara komplexa eller (pseudo-)hermitiska.

Frobenius-Schur-indikator

Huvudartikel: Frobenius-Schur-indikator

Ett kriterium (för kompakta grupper G ) för verkligheten av irreducerbara representationer i termer av karaktärsteori är baserat på Frobenius-Schur-indikatorn definierad av

$\int _{g\in G}\chi (g^{2})\,d\mu$

där χ är representationens karaktär och μ är Haarmåttet med μ( G ) = 1. För en finit grupp ges detta av

${1 \over |G|}\summa _{g\in G}\chi (g^{2}).$

Indikatorn kan ha värdena 1, 0 eller −1. Om indikatorn är 1, är representationen verklig. Om indikatorn är noll är representationen komplex (hermitisk), och om indikatorn är −1 är representationen kvarternionisk.

Exempel

All representation av de symmetriska grupperna är verkliga (och faktiskt rationella), eftersom vi kan bygga en komplett uppsättning irreducerbara representationer med hjälp av Young tableaux .

Alla representationer av rotationsgrupperna på udda-dimensionella rum är verkliga, eftersom de alla uppträder som subrepresentationer av tensorprodukter av kopior av den fundamentala representationen, som är verklig.

Ytterligare exempel på reella representationer är spinorrepresentationer av spinngrupperna i dimensionerna 8 k −1, 8 k , och 8 k +1 för k = 1, 2, 3 ... Denna periodicitetsmodulo 8 är känd inom matematiken inte bara i teorin om Clifford algebras , men också i algebraisk topologi , i KO-teorin ; se spinrepresentation .

Anteckningar

•     Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Representationsteori. En första kurs . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 . .
•   Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9 .