Ring av polynomfunktioner

I matematik ger ringen av polynomfunktioner på ett vektorrum V över ett fält k en koordinatfri analog till en polynomring . Det betecknas med k [ V ]. Om V är ändlig dimensionell och ses som en algebraisk variant , då är k [ V ] exakt koordinatringen för V.

Den explicita definitionen av ringen kan ges enligt följande. Om $k[t_{1},\dots ,t_{n}]$ är en polynomring, då kan vi se $t_{i}$ som koordinatfunktioner på $k^{n}$ ; dvs $t_{i}(x)=x_{i}$ när $x=(x_{1},\dots ,x_{n}).$ Detta föreslår följande: givet ett vektorrum V , låt k [ V ] vara den kommutativa k -algebra som genereras av det dubbla rummet $V^{*}$ , som är en underring av ringen för alla funktioner $V\to k$ . Om vi fixar en grund för V och skriver $t_{i}$ för dess dubbla bas, så består k [ V ] av polynom i $t_{i}$ .

Om k är oändlig är k [ V ] den symmetriska algebra för det dubbla rummet $V^{*}$ .

I applikationer definierar man också k [ V ] när V definieras över något delfält av k (t.ex. k är det komplexa fältet och V är ett reellt vektorrum.) Samma definition gäller fortfarande.

I hela artikeln antas för enkelhets skull basfältet k vara oändligt.

Relation med polynomring

Låt $A=K[x]$ vara mängden av alla polynom över ett fält K och B vara mängden av alla polynomfunktioner i en variabel över K . Både A och B är algebror över K som ges av standardmultiplikation och addition av polynom och funktioner. Vi kan mappa varje $f$ i A till ${\hat {f}}$ i B med regeln ${\hat {f} }(t)=f(t)$ . En rutinkontroll visar att avbildningen $f\mapsto {\hat {f}}$ är en homomorfism av algebran A och B . Denna homomorfism är en isomorfism om och endast om K är ett oändligt fält. Till exempel, om K är ett ändligt fält, låt $p(x)=\prod \limits _{t\in K}(xt)$ . p är ett polynom som inte är noll i K [ x ], men $p(t)=0$ för alla t i K , så ${\hat {p}}=0$ är nollfunktionen och vår homomorfism är inte en isomorfism (och faktiskt, algebrorna är inte isomorfa, eftersom algebra för polynom är oändlig medan polynomfunktionernas algebra är ändlig).

Om K är oändlig välj då ett polynom f så att ${\hat {f}}=0$ . Vi vill visa att detta innebär att $f=0$ . Låt $\deg f=n$ och låt $t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}$ vara n + 1 distinkta element av K . Då $f(t_{i})=0$ för $0\leq i\leq n$ och genom Lagrange-interpolation har vi $f=0$ . Därför är mappningen $f\mapsto {\hat {f}}$ injektiv . Eftersom denna kartläggning är tydligt surjektiv är den bijektiv och därmed en algebraisomorfism av A och B.

Symmetriska multilinjära kartor

Låt k vara ett oändligt fält med karakteristiken noll (eller åtminstone mycket stort) och V ett ändligt dimensionellt vektorrum.

Låt $S^{q}(V)$ beteckna vektorrummet för multilinjära funktionaler $\textstyle \lambda :\prod _{1}^{q }V\to k$ som är symmetriska; $\lambda (v_{1},\dots ,v_{q})$ är samma för alla permutationer av ${\displaystyle v_{i}}:$ s.

Vilken λ som helst i $S^{q}(V)$ ger upphov till en homogen polynomfunktion f av graden q : vi låter bara $f(v)=\lambda (v,\dots ,v).$ För att se att f är en polynomfunktion, välj en bas $e_{i},\, 1\leq i\leq n$ av V och $t_{i}$ dess dubbla. Sedan

\lambda (v_{1},\dots ,v_{q})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{q}=1}^{n}\lambda (e_{i_{1 }},\dots ,e_{i_{q}})t_{i_{1}}(v_{1})\cdots t_{i_{q}}(v_{q})

,

vilket innebär att f är ett polynom i t _i :en.

Således finns det en väldefinierad linjär karta :

\phi :S^{q}(V)\to k[V]_{q},\,\phi (\lambda )(v)=\lambda (v,\cdots ,v).

Vi visar att det är en isomorfism. Genom att välja en bas som tidigare kan varje homogen polynomfunktion f av grad q skrivas som:

f=\sum _{i_{1},\dots ,i_{q}=1} ^{n}a_{i_{1}\cdots i_{q}}t_{i_{1}}\cdots t_{i_{q}}

där $a_{i_{1}\cdots i_{q}}$ är symmetriska i $i_{1},\dots ,i_{q}$ . Låta

\psi (f)(v_{1},\dots ,v_{q})=\sum _{i_{1},\cdots ,i_{q}=1}^{n}a_{i_{ 1}\cdots i_{q}}t_{i_{1}}(v_{1})\cdots t_{i_{q}}(v_{q}).

Tydligen är $\phi \circ \psi$ identiteten; i synnerhet är φ surjektiv. För att se att φ är injektiv, anta att φ(λ) = 0. Tänk

{\ displaystyle \phi (\lambda )(t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q})=\lambda (t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_ {q},...,t_{1}v_{1}+\cdots +t_{q}v_{q})}

,

vilket är noll. Koefficienten för t ₁ t ₂ … t _q i uttrycket ovan är q ! gånger X( vi , … _, vq ) _; det följer att λ = 0.

Notera: φ är oberoende av ett val av bas; så ovanstående bevis visar att ψ också är oberoende av en grund, faktumet inte a priori uppenbart.

Exempel: En bilinjär funktion ger upphov till en kvadratisk form på ett unikt sätt och varje kvadratisk form uppstår på detta sätt.

Taylor-seriens expansion

Givet en jämn funktion, lokalt, kan man få en partiell derivata av funktionen från dess Taylor- serieexpansion och omvänt kan man återställa funktionen från serieexpansionen. Detta faktum fortsätter att gälla för polynomfunktioner på ett vektorrum. Om f är i k [ V ], så skriver vi: för x , y i V ,

f(x+y)=\summa _{n=0}^{\infty }g_{n}(x,y)

där g _n (x, y) är homogena av grad n i y , och endast ändligt många av dem är icke-noll. Vi lät sedan

(P_{y}f)(x)=g_{1}(x,y),

vilket resulterar i den linjära endomorfismen P _y av k [ V ]. Det kallas polarisationsoperatorn. Vi har då, som utlovat:

Sats — För varje f i k [V] och x , y i V ,

f(x+y)=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}P_{y}^{n}f(x)

.

₀₀ Bevis: Vi noterar först att ( P _y f ) ( x ) är koefficienten för t i f ( x + t y ); med andra ord, eftersom g ( x , y ) = g ( x , 0) = f ( x ),

P_{y}f(x)=\left.{d \over dt}\right|_{t=0}f(x+ty)

där den högra sidan är per definition,

\left.{f(x+ty)-f(x) \over t}\right|_{t=0}.

Satsen följer av detta. Till exempel, för n = 2, har vi:

P_{y}^{2}f(x)=\left.{\partial \over \partial t_{1}}\right|_{t_{1}=0}P_{y}f(x +t_{1}y)=\left.{\partial \over \partial t_{1}}\right|_{t_{1}=0}\left.{\partial \over \partial t_{2}} \right|_{t_{2}=0}f(x+(t_{1}+t_{2})y)=2!g_{2}(x,y).

Det allmänna fallet är liknande. $\square$

Operatörsprodukt algebra

När polynomen inte värderas över ett fält k , utan över någon algebra, kan man definiera ytterligare struktur. Således kan man till exempel betrakta ringen av funktioner över GL(n,m) istället för för k = GL(1,m) . ^{[ förtydligande behövs ]} I det här fallet kan man införa ett ytterligare axiom.

Operatörens produktalgebra är en associativ algebra av formen

A^{i}(x)B^{j}(y)=\ summa _{k}f_{k}^{ij}(x,y,z)C^{k}(z)

Strukturkonstanterna $f_{k}^{ij}(x,y,z)$ måste vara envärdiga funktioner snarare än sektioner av någon vektorbunt . Fälten (eller operatorerna) $A^{i}(x)$ krävs för att spänna över ringen av funktioner . I praktiska beräkningar krävs vanligtvis att summorna är analytiska inom någon konvergensradie ; typiskt med en konvergensradie på $|xy|$ . Således kan ringen av funktioner anses vara ringen av polynomfunktioner.

Ovanstående kan anses vara ett ytterligare krav som ställs på ringen; det kallas ibland bootstrap . Inom fysiken är ett specialfall av operatörens produktalgebra känt som operatörens produktexpansion .

Se även

Anteckningar

Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Foundations of Differential Geometry, vol. 2 (ny upplaga), Wiley-Interscience (publicerad 2004) .