Tau-funktion (integrerbara system)

Tau-funktioner är en viktig ingrediens i den moderna teorin om integrerbara system , och har många tillämpningar inom en mängd andra domäner. De introducerades ursprungligen av Ryogo Hirota i hans direkta metod för soliton-ekvationer, baserat på att uttrycka dem i en likvärdig bilinjär form. Termen Tau function , eller $\tau$ -function , användes först systematiskt av Mikio Sato och hans elever i det specifika sammanhanget av Kadomtsev–Petviashvili (eller KP) ekvation och relaterade integrerbara hierarkier. Det är en central ingrediens i teorin om solitoner . Tau-funktioner uppträder också som matrismodellpartitionsfunktioner i spektralteorin för slumpmässiga matriser , och kan också tjäna som genererande funktioner , i betydelsen kombinatorik och uppräkningsgeometri , särskilt i förhållande till modulutrymmen på Riemann-ytor, och uppräkning av grenade beläggningar , eller så kallade Hurwitz-nummer .

I Hamilton-Jacobi- metoden till Liouvilles integrerbara Hamilton-system spelar Hamiltons huvudfunktion , utvärderad på de plana ytorna av en komplett uppsättning Poisson-pendlingsinvarianter, en roll som liknar τ { $displaystyle \tau }$ -funktionen, och fungerar både som en komplett lösning av Hamilton-Jacobis ekvation och en kanonisk genererande funktion för att linjärisera koordinater.

Definition av Tau-funktioner

Det finns två föreställningar om $\tau$ -funktioner, båda introducerade av Sato- skolan. Den första är den för isomonodromiska $\tau$ -funktioner . Den andra är $\tau$ -funktioner av typen Sato - Segal -Wilson för integrerbara hierarkier, såsom KP-hierarkin, som parametriseras av linjära operatorer som uppfyller isospektrala deformationsekvationer av Lax -typ.

En $\tau$ -funktion av isospektral typ definieras som en lösning av Hirotas bilinjära ekvationer, från vilka den linjära operatorn som genomgår isospektral evolution kan rekonstrueras unikt. Geometriskt, i Sato och Segal -Wilson mening, är det värdet av determinanten för en Fredholm integral operator , tolkad som den ortogonala projektionen av ett element av ett lämpligt definierat (oändligt dimensionellt) Grassmann grenrör på ursprunget , när det elementet utvecklas. under den linjära exponentiella verkan av en maximal abelisk undergrupp av den allmänna linjära gruppen. Det uppstår typiskt som en partitionsfunktion , i betydelsen statistisk mekanik , kvantmekanik med många kroppar eller kvantfältteori , eftersom det underliggande måttet genomgår en linjär exponentiell deformation.

Hirota bilinjär restrelation för KP Tau-funktioner

En KP ( Kadomtsev–Petviashvili ) $\tau$ -funktion $\tau (\mathbf {t} )$ är en funktion av ett oändligt antal KP-flödesvariabler $\mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )$ som uppfyller följande bilinjära formella restekvation

$\mathrm { res} _{z=0}\left(e^{\sum _{i=1}^{\infty }(\delta t_{i})z^{i}}\tau ({\bf {t} }-[z^{-1}])\tau ({\bf {s}}+[z^{-1}])\right)dz\equiv 0,$

 

 

 

 

()

identiskt i ${\displaystyle \delta t_{j}}-$ variablerna, där $\mathrm {res} _{z=0}$ är $z^{ -1}$ koefficient i den formella Laurent-expansionen som är ett resultat av att expandera alla faktorer som Laurent-seriens i $z$ , och

${\bf {s}}:={\bf {t}}+(\delta t_{1},\delta t_{2},\cdots ),\quad [z^{-1}]: =(z^{-1},{\tfrac {z^{-2}}{2}},\cdots {\tfrac {z^{-j}}{j}},\cdots ).$

Kadomtsev-Petviasjvili ekvation

Om $är {\displaystyle \tau (t_{1},t_{2},t_{3},\dots \dots )}$ en KP $\ tau$ -funktion som uppfyller Hirota-restekvationen ( 1 ) och vi identifierar de tre första flödesvariablerna som

$t_{1}=x,\quad t_{2}=y,\quad t_{3}=t,$

det följer att funktionen

$u(x,y,t):=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log \left(\tau (x,y,t,t_{4},\dots)\right)$

uppfyller den $2+1$ dimensionella olinjära partiella differentialekvationen

$3u_{yy}=\left(4u_{t}-6uu_{x}-u_{xxx}\right) _{x},$

 

 

 

 

()

känd som Kadomtsev-Petviashvili (KP) ekvation , som spelar en framträdande roll i plasmafysik och i havsvågor på grunt vatten.

Att ta ytterligare logaritmiska derivator av $ger$ en oändlig sekvens funktioner som uppfyller ytterligare system av icke-linjära autonoma PDE:er, var och en involverar partiella derivator av ändlig ordning med avseende på ett ändligt antal av KP-flödesparametrarna ${\bf {t}} =(t_{1},t_{2},\dots )$ . Dessa är gemensamt kända som KP-hierarkin .

Formell Baker-Akhiezer-funktion och KP-hierarkin

Om vi ​​definierar den (formella) Baker-Akhiezer-funktionen $\Psi (z,\mathbf {t} )$ med Satos formel

$\Psi (z,\mathbf {t} ):=e^ {\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}z^{i}}{\frac {\tau (\mathbf {t} -[z^{-1}])}{\tau (\mathbf {t} )}}$

och expandera den som en formell serie i potenserna av variabeln $z$

$\Psi (z,\mathbf {t} )= e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}z^{i}}(1+\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}(\mathbf { t} )z^{-j}),$

detta uppfyller en oändlig sekvens av kompatibla evolutionsekvationer

${\frac {\partial \Psi }{\partial t_{i}}}={\mathcal {D}} _{i}\Psi ,\quad i,j,=1,2,\dots ,$

 

 

 

 

()

där ${\mathcal {D}}_{i}$ är en linjär vanlig differentialoperator av graden $i$ i variabeln $x:=t_{1}$ , med koefficienter som är funktioner av flödesvariablerna ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )} ,$ definierad enligt följande

${\mathcal {D}}_{i}:={\big (}{\mathcal {L}}^{i}{\big )}_{+}$

där ${\mathcal {L}}$ är den formella pseudo-differentialoperatorn

${\mathcal {L}}=\partial +\sum _{j=1}^{\ infty }u_{j}(\mathbf {t} )\partial ^{-j}={\mathcal {W}}\circ \partial \circ {\mathcal {W}}^{-1}$

med ${\displaystyle \partial :={\frac {\partial }{\partial x}}} ,$ där

${\mathcal {W}}:=1+\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}( \mathbf {t} )\partial ^{-j}$

är vågoperatorn och $i}{\big )}_{+}}$ anger projektionen till delen av ${\ displaystyle {\mathcal {L}}^{i}}$ som innehåller rent icke-negativa potenser av $\partial$ ; dvs till differentialoperatordelen av ${\mathcal {L}}^{i}$ .

Pseudodifferentialoperatorn ${\mathcal {L}}$ uppfyller det oändliga systemet av isospektrala deformationsekvationer

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t_{i}}}=[{ \mathcal {D}}_{i},{\mathcal {L}}],\quad i,=1,2,\dots$

 

 

 

 

()

och kompatibilitetsvillkoren för både systemet ( 3 ) och ( 4 ) är

${\frac {\partial {\mathcal {D}}_ {i}}{\partial t_{j}}}-{\frac {\partial {\mathcal {D}}_{j}}{\partial t_{i}}}+[{\mathcal {D}} _{i},{\mathcal {D}}_{j}]=0,\quad i,j,=1,2,\dots$

Detta är ett kompatibelt oändligt system av olinjära partiella differentialekvationer, känt som KP (Kadomtsev-Petviashvili) hierarkin , för funktionerna $\{u_{j}(\mathbf {t } )\}_{j\in \mathbf {N} }$ , med avseende på mängden $\mathbf {t} =(t_{1},t_{ 2},\dots )$ av oberoende variabler, som var och en endast innehåller ett ändligt antal ${\displaystyle u_{j}},$ och derivator endast med avseende på de tre oberoende variablerna $(x,t_{i},t_{j})$ . Det första icke-triviala fallet av dessa är Kadomtsev-Petviashvili-ekvationen ( 2 ).

Således tillhandahåller varje KP $\tau$ -funktion en lösning, åtminstone i formell mening, av detta oändliga system av olinjära partiella differentialekvationer.

Fuchsiska isomonodromiska system: Isomonodromiska Tau-funktioner

Betrakta det överbestämda systemet av första ordningens matrispartiella differentialekvationer

${\partial \Psi \over \partial z}-\summa _{i=1}^{n}{N_{i } \over z-\alpha _{i}}\Psi =0,\quad$

 

 

 

 

()

${\partial \Psi \over \partial \alpha _{i}}+{N_{i} \over z-\alpha _{i} }\Psi =0,$

 

 

 

 

()

där $\{N_{i}\}_{i=1,\dots ,n}$ är en uppsättning av $n$${\ displaystyle r\times r}$ spårlösa matriser, $\{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}$ en uppsättning av ${ \displaystyle n}$ komplexa parametrar och $z$ en komplex variabel, och $\Psi (z,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})$ är en inverterbar $r\times r$ matrisvärderad funktion av $z$ och $\{\alpha _ {i}\}_{i=1,\dots ,n}$ . Dessa är de nödvändiga och tillräckliga villkoren för den baserade monodrominpresentationen av fundamentalgruppen $\pi _{0}({\bf {P}} ^{1}\backslash \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n})$ av Riemann-sfären punkterad vid punkterna ${\ displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}} som$ motsvarar den rationella kovariansderivatoperatorn

${\partial \over \partial z}-\summa _{i=1}^{n}{N_{i} \över z-\ alfa _{i}}$

att vara oberoende av parametrarna $\{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}$ ; dvs att förändringar i dessa parametrar inducerar en isomonodrom deformation . Kompatibilitetsvillkoren för detta system är Schlesinger-ekvationerna

${\partial N_{i} \over \partial \alpha _{j}}={[N_{ i},N_{j}] \över \alpha _{i}-\alpha _{j}}\quad {\text{ för }}i\neq j,$

${\partial N_{i} \over \partial \alpha _{i}}=-\summa _{1\leq j\leq n,j\neq i}{[N_{i},N_{j }] \över \alpha _{i}-\alpha _{j}}.$

Definierar de $n$ -funktionerna

$H_{i}={\frac {1 }{2}}\summa _{1\leq j\leq n,j\neq i}{{\rm {Tr}}(N_{i}N_{j}) \över \alpha _{i}-\ alfa _{j}},\quad i=1,\dots ,n,$

Schlesinger -ekvationerna innebär att differentialformen

$\omega :=\summa _{i=1}^{n}H_{i}d\alpha _{i}$

på utrymmet för parametrar är stängt:

$d\omega =0$

och därmed lokalt exakt. Därför, åtminstone lokalt, finns det en funktion $\tau (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$ av parametrarna, definierade inom en multiplikativ konstant, sådan att

$\omega =d\mathrm {ln} \tau$

Funktionen $\tau (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$ kallas den isomonodromiska $\tau$ -funktionen associerad till den grundläggande lösningen $\Psi$ för systemet ( 5 ), ( 6 ). För icke-fuchsiska system, med högre ordningspoler, inkluderar de generaliserade monodromidata Stokes-parametrar och anslutningsmatriser , och det finns ytterligare isomonodromiska deformationsparametrar associerade med den lokala asymptotiken, men de isomonodromiska $\tau$ -funktionerna kan definieras på ett liknande sätt genom att använda differentialer på det utökade parameterutrymmet.

Fermioniska VEV (vacuum expectation value) representationer

Det fermioniska Fock-utrymmet ${\mathcal {F}}$ , är ett semi-oändligt exteriört produktutrymme

${\mathcal {F}}=\Lambda ^{\infty /2}{\mathcal {H}}=\oplus _{n\in \ mathbf {Z} }{\mathcal {F}}_{n}$

definieras på ett (separerbart) Hilbert-utrymme ${\mathcal {H}}$ med baselement $\{e_{i}\}_{i\in \mathbf {Z } }$ och dubbla baselement $\{e^{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }$ för ${\mathcal {H} }^{*}$ .

De fria fermioniska skapande och förintelseoperatorerna $\{\psi _{j},\psi _{j}^{\dolk }\}_{j\in \mathbf {Z} }$ fungerar som endomorfismer på ${\mathcal {F}}$ via exteriör och inre multiplikation med baselementen

$\psi _{i}:=e_{i}\wedge ,\quad \psi _{i}^{\ dolk }:=i_{e^{i}},\quad i\in \mathbf {Z} ,$

och tillfredsställa de kanoniska anti-kommuteringsrelationerna

$[\psi _{i},\psi _{k}]_{+}=[\psi _{i}^{\dolk },\psi _{k}^{\dolk }]_{ +}=0,\quad [\psi _{i},\psi _{k}^{\dolk }]_{+}=\delta _{ij}.$

Dessa genererar den standardfermioniska representationen av Clifford-algebra på den direkta summan ${\displaystyle {\mathcal {H}}+{\mathcal {H}}^{*}} ,$ motsvarande skalärprodukten

$Q(u+\mu ,w+\nu ):=\ nu (u)+\mu (v),\quad u,v\in {\mathcal {H}},\ \mu ,\nu \in {\mathcal {H}}^{*}$

med Fock space ${\mathcal {F}}$ som irreducerbar modul. Ange vakuumtillståndet i nollfermionladdningssektorn ${\mathcal {F}}_{0}$ , som

$|0\rangle :=e_{-1}\wedge e_{-2}\wedge \cdots$ ,

vilket motsvarar Dirac-havet av tillstånd längs det reella heltalsgittret där alla negativa heltalsplatser är upptagna och alla icke-negativa är tomma.

Detta förintas av följande operatörer

$\psi _{-j}|0\rangle =0,\quad \psi _{j-1}^{\dolk }|0\rangle =0,\quad j=0,1,\dots$

Det dubbla fermioniska Fock rymdvakuumtillståndet, betecknat $\langle 0|$ , förintas av de adjoint-operatorer som agerar till vänster

$\langle 0|\psi _{-j}^{\dolk }=0,\quad \langle 0|\psi _{j-1}|0=0,\ quad j=0,1,\dots$

Normal ordning $:L_{1},\cdots L_{m}:$ av en produkt av linjära operatorer (dvs finita eller oändliga linjära kombinationer av skapande och förintelseoperatorer) definieras så att dess vakuumförväntningsvärde (VEV) försvinner

$\langle 0|:L_{1},\cdots L_{m}:|0\rangle =0.$

Speciellt för en produkt $L_{1}L_{2}$ av ett par $(L_{1},L_{2})$ av linjära operatorer

$:L_{1}L_{2}:=L_{1}L_{2}-\langle 0|L_{1}L_{2}|0\rangle .$

Den fermioniska laddningsoperatorn C $\displaystyle C}$ definieras som

$C=\sum _{i\in \mathbf {Z} }:\psi _{i}\psi _{i}^{\dolk }:$

Delutrymmet ${\mathcal {F}}_{n}\subset {\mathcal {F}}$ är egenrymden för $C$ som består av alla egenvektorer med egenvärde $n$

$C|v;n\rangle =n|v;n\rangle ,\quad \forall |v;n\rangle \in {\mathcal {F}}_{n}$ .

Den vanliga ortonormala basen $\{|\lambda \rangle \}$ för nollfermionladdningssektorn ${\mathcal {F}}_{0}$ är märkt med heltalspartitioner ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{\ell (\lambda )})} ,$ där ${ \displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{\ell (\lambda )}}$ är en svagt minskande sekvens av $\ell (\lambda )$ positiva heltal, som kan på motsvarande sätt representeras av ett Young-diagram , som visas här för partitionen $(5,4,1)$ .

Ungt diagram av partitionen (5, 4, 1)

En alternativ notation för en partition $\lambda$ består av Frobenius- indexen $(\alpha _{1},\dots \alpha _{ r}|\beta _{1},\dots \beta _{r})$ , där $\alpha _{i}$ anger armlängden ; dvs antalet $\lambda _{i}-i$ av rutor i Young-diagrammet till höger om den ${\displaystyle i}:$ e diagonalrutan, $\beta _{ i}$ anger benlängden , dvs antalet rutor i Young-diagrammet under den ${\displaystyle i}:$ e diagonalrutan, för $i=1,\dots ,r$ , där $r$ är Frobenius-rangen , vilket är antalet diagonala element.

Grundelementet $|\lambda \rangle$ ges sedan genom att verka på vakuumet med en produkt av $r$ par av skapande och förintelseoperatorer, märkta av Frobenius-indexen

$|\lambda \rangle =(-1)^{\sum _{j=1}^{r}\beta _{j}}\prod _{k=1}^{r}{\big ( }\psi _{\alpha _{k}}\psi _{-\beta _{k}-1}^{\dolk }{\big )}|0\rangle .$

Heltalen $\{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,r}$ indikerar, i förhållande till Dirachavet, det ockuperade icke- negativa platser på heltalsgittret medan $\{-\beta _{i}-1\}_{i=1,\dots ,r}$ indikerar de obesatta negativa heltalsplatserna. Motsvarande diagram, som består av oändligt många ockuperade och obebodda platser på heltalsgittret som är en ändlig störning av Dirachavet, kallas ett Maya-diagram .

Fallet för partitionen null (emptyset) $|\emptyset \rangle =|0\rangle$ ger vakuumtillståndet och den dubbla basen $\langle \mu |\}$ definieras av

$\langle \mu |\lambda \rangle =\delta _{\lambda ,\mu }$

Då kan vilken KP $\tau$ -funktion som helst uttryckas som en summa

$\tau _{w}(\mathbf {t} )=\summa _{\lambda }\pi _{\lambda }( w)s_{\lambda }(\mathbf {t} )$

där $\mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots ,\dots )$ är KP-flödesvariablerna, $s_{\lambda }(\mathbf {t} )$ är Schur-funktionen som motsvarar partitionen $\lambda$ , sett som en funktion av de normaliserade potenssummavariablerna

$t_{i}:=[\mathbf {x} ]_{i}:={ \frac {1}{i}}\sum _{a=1}^{n}x_{a}^{i}\quad i=1,2,\dots$

i termer av en extra (ändlig eller oändlig) sekvens av variabler $\mathbf {x} :=(x_{1},\dots ,x_{N})$ och de konstanta koefficienterna $\pi _{\lambda }(w)$ kan ses som Plockarkoordinaterna för ett element $w\in \mathrm {Gr} _{{\mathcal {H}}_{+}}({\mathcal {H}})$ av den oändligt dimensionella Grassmannian som består av omloppsbanan, under verkan av den allmänna linjära gruppen $\mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})$ , av delrummet ${\displaystyle {\mathcal {H}}_ {+}=\mathrm {span} \{e_{-i}\}_{i\in \mathbf {N} }\subset {\mathcal {H}}} av Hilbertrymden H {\displaystyle$ { $mathcal {H}}}$ .

Detta motsvarar, enligt Bose-Fermi-korrespondensen , ett nedbrytbart element

$|\tau _{w}\rangle =\summa _{\lambda }\pi _{\lambda }(w)|\lambda \rangle$

av Fock-rymden ${\mathcal {F}}_{0}$ som fram till projektivisering är bilden av det Grassmanniska elementet $w\in \mathrm { Gr} _{{\mathcal {H}}_{+}}({\mathcal {H}})$ under Plucker-kartan

${\mathcal {Pl}}:\mathrm {span} (w_{1},w_{2},\dots )\longrightarrow [w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots ]=[|\tau _{w}\rangle ],$

där $(w_{1},w_{2},\dots )$ är en bas för delutrymmet $w\subset {\mathcal {H}}$ och $[\cdots ]$ betecknar projektivisering av ett element av ${\mathcal {F}}$ .

Pluckerkoordinaterna $\{\pi _{\lambda }(w)\}$ uppfyller en oändlig uppsättning bilinjära relationer, Plucker-relationerna , definierar Plücker-inbäddningen i projekteringen $\mathbf {P} ({\mathcal {F}})$ i det fermioniska Fock-utrymmet, som är ekvivalenta med Hirota bilinjära restrelationen ( 1 ).

Om $w=g({\mathcal {H}}_{+})$ för ett gruppelement $g\in \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})$ med fermionisk representation ${\hat {g}}$ , sedan $\tau$ -funktionen $\tau _{ w}(\mathbf {t} )$ kan uttryckas som det fermioniska vakuumtillståndets förväntade värde (VEV):

$\tau _{w}(\mathbf {t} )=\langle 0|{\hat {\gamma }}_{+}(\mathbf {t} ){\hat {g}}| 0\rangle ,$

var

$\Gamma _{+}=\{{\hat {\gamma }}_{ +}(\mathbf {t} )=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}J_{i}}\}\subset \mathrm {Gl} ({\mathcal {H }})$

är den abelska undergruppen av $\mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})$ som genererar KP-flödena, och

$J_{i}:=\summa _{j\in \mathbf {Z} }\psi _{j} \psi _{j+i}^{\dolk },\quad i=1,2\dots$

är de ""nuvarande"" komponenterna.

Multisoliton-lösningar

Om vi ​​väljer $3N$ komplexa konstanter $\{\alpha _{k},\beta _{k},\gamma _{k}\}_{k=1,\dots ,N}$ med $\alpha _{k},\beta _{k}$ är alla distinkta, ${ \displaystyle \gamma _{k}\neq 0}$ , och definiera funktionerna

$y_{k}({\ bf {t}}):=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\alpha _{k}^{i}}+\gamma _{k}e^{\ summa _{i=1}^{\infty }t_{i}\beta _{k}^{i}}\quad k=1,\dots ,N,$

vi kommer fram till den Wronskianska determinantformeln

$\tau _{{\vec {\alpha }},{\vec {\beta }},{\vec {\gamma }}}^{(N)}({\bf {t}}): ={\begin{vmatrix}y_{1}({\bf {t}})&y_{2}({\bf {t}})&\cdots &y_{N}({\bf {t}})\ \y_{1}'({\bf {t}})&y_{2}'({\bf {t}})&\cdots &y_{N}'({\bf {t}})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(N-1)}({\bf {t}})&y_{2}^{(N-1)}({\bf {t }})&\cdots &y_{N}^{(N-1)}({\bf {t}})\\\end{vmatrix}}.$

vilket ger den allmänna $N$ -solitonlösningen .

Thetafunktionslösningar associerade med algebraiska kurvor

Låt $X$ vara en kompakt Riemann-yta av släktet $g$ och fixera en kanonisk homologibas $a_{1},\ prickar ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}$ av $H_{1}(X,\mathbf {Z} )$ med skärningsnummer

$a_{i}\circ a_{j}=b_{i}\circ b_{j}=0,\quad a_{i}\circ b_{j}=\delta _{ij},\quad 1 \leq i,j\leq g.$

Låt $\{\omega _{i}\}_{i=1,\dots ,g}$ vara en grund för mellanrummet ${\ displaystil H^{1}(X)}$ av holomorfa differentialer som uppfyller standardnormaliseringsvillkoren

$\oint _{a_{i}}\omega _{j}=\delta _{ij},\quad \oint _{b_{j}}\omega _{j}=B_{ij},$

där $B$ är Riemann-matrisen av perioder. Matrisen $B$ tillhör Siegels övre halva utrymme

$\mathbf {S} _{g}=\left\{B\in \mathrm {Mat} _{g\times g}(\mathbf {C} )\ \colon \ B^{T}=B ,\ {\text{Im}}(B){\text{ är positivt definitivt}}\right\}.$

Riemann { $\displaystyle \theta }$ -funktionen $\displaystyle B}$ på $\mathbf {C} ^{g}$ som motsvarar periodmatrisen B är definierad att vara

$\theta (Z|B):=\summa _{N\in \mathbb {Z} ^{g}}e^{i\pi (N,BN)+2i\pi (N,Z)} .$

Välj en punkt $p_{\infty }\in X$ , en lokal parameter $\zeta$ i närheten av $p_{\infty }$ med $\zeta (p_{\infty })=0$ och en positiv divisor av grad $g$

${\mathcal {D}}:=\sum _{i=1}^{g}p_{i},\quad p_{i}\in X.$

För varje positivt heltal $k\in \mathbf {N} ^{+}$ låt $\Omega _{k}$ vara den unika meromorfa differentialen av det andra slaget som kännetecknas av följande betingelser:

• Den enda singulariteten för $\Omega _{k}$ är en pol av ordningen $k+1$ vid $p=p_{\infty }$ med försvinnande rester .
• Expansionen av $\Omega _{k}$ runt $p=p_{\infty }$ är

  $\Omega _{k}=d(\zeta ^{-k})+\sum _{j=1}^{\infty }Q_{ij}\zeta ^{j}d\ zeta$ .

• $\Omega _{k}$ är normaliserad till att ha försvinnande $a$ -cykler:

  $\oint _{a_{i}}\Omega _{ j}=0.$

Beteckna med $\mathbf {U} _{k}\i \mathbf {C} ^{g}$ vektorn för $b$ -cykler av $\Omega _{k}$ :

$(\mathbf {U} _{k})_{j}:=\oint _{b_{j}}\Omega _{k}.$

Beteckna bilden av ${\mathcal {D}}$ under Abel- kartan ${\mathcal {A}}:{\mathcal {S}}^{ g}(X)\to \mathbf {C} ^{g}$

$\mathbf {E} :={\mathcal {A}}( {\mathcal {D}})\in \mathbf {C} ^{g},\quad \mathbf {E} _{j}={\mathcal {A}}_{j}({\mathcal {D} }):=\summa _{j=1}^{g}\int _{p_{0}}^{p_{i}}\omega _{j}$

med godtycklig baspunkt $p_{0}$ .

Då är följande en KP $\tau$ -funktion:

$\tau _{(X,{\mathcal {D}},p_{\infty },\zeta )}(\mathbf {t} ):=e^{-{1 \over 2}\summa _ {ij}Q_{ij}t_{i}t_{j}}\theta \left(\mathbf {E} +\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}\mathbf {U} _ {k}{\Big |}B\höger).$

Matrismodellpartitionen fungerar som KP Tau-funktioner

Låt $d\mu _{0}(M)$ vara Lebesgue-måttet på det $N^{2}$ dimensionsutrymmet ${\mathbf { H} }^{N\ gånger N}$ av $N\ gånger N$ komplexa hermitiska matriser. Låt $\rho (M)$ vara en konjugationsinvariant integrerbar densitetsfunktion

$\rho (UMU^{\dolk })=\rho (M),\quad U\in U(N).$

Definiera en deformationsfamilj av mått

$d\mu _{N,\rho }(\mathbf {t } ):=e^{{\text{ Tr }}(\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}M^{i})}\rho (M)d\mu _{0 }(M)$

för liten $\mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\cdots )$ och låt

$\tau _{N,\rho }({\bf {t}}):=\int _{{\mathbf {H} }^{N\ gånger N}}d\mu _{N,\ rho }({\bf {t}}).$

vara partitionsfunktionen för denna slumpmässiga matrismodell . Då $\tau _{N,\rho }(\mathbf {t} )$ den bilinjära Hirota-restekvationen ( 1 ), och är därför en $\tau$ - funktion av KP-hierarkin.

Tau-funktioner av hypergeometrisk typ. Genereringsfunktion för Hurwitz-tal

Låt $\{r_{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }$ vara en (dubbelt) oändlig följd av komplexa tal. För alla heltalspartitioner $\lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{\ell (\lambda )})$ definiera innehåll produktkoefficient

$r_{\lambda }:=\prod _{(i,j)\in \lambda }r_{ji}$

där produkten är över alla par $(i,j)$ av positiva heltal som motsvarar rutor i Young-diagrammet för partitionen $\lambda$ , sett som positioner för matriselement av motsvarande $\ell (\lambda )\times \lambda _{1}$ matris. Sedan, för varje par av oändliga sekvenser $\mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )$ och $\mathbf {s} =(s_{1},s_{2},\dots )$ av komplexa värden, ses som (normaliserade) potenssummor ${\displaystyle \mathbf {t} =[\mathbf {x} ],\ \mathbf {s} =[\mathbf {y} ]} av den oändliga$ sekvensen av hjälpvariabler $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots )$ och $\mathbf {y} =(y_{ 1},xy2,\dots )$ , definierad av

$t_{j}:={\tfrac {1}{j}}\ summa _{a=1}^{\infty }x_{a}^{j},\quad s_{j}:={\tfrac {1}{j}}\summa _{j=1}^{\ infty }y_{a}^{j},$

funktionen

$\tau ^{r}(\mathbf {t} ,\mathbf {s} ):=\summa _ {\lambda }r_{\lambda }s_{\lambda }(\mathbf {t} )s_{\lambda }(\mathbf {s} )$

är en dubbel KP $\tau$ -funktion, både i $\mathbf {t}$ och $\mathbf {s}$ -variablerna, känd som en $\tau$ funktion av hypergeometrisk typ .

I synnerhet att välja

$r_{j}=r_{j}^{\beta }:=e^{j\beta }$

för någon liten parameter $\beta$ , som betecknar motsvarande innehållsproduktkoefficient som $r_{\lambda }^{\beta }$ och inställningen ${ \displaystyle \mathbf {s} =(1,0,\dots )=:\mathbf {t} _{0}} , den$ resulterande $\tau$ -funktionen kan expanderas ekvivalent som

$\tau ^{r^{\beta }}(\mathbf {t} ,\mathbf {t} _{0})=\summa _{\lambda } \sum _{d=0}^{\infty }{\frac {\beta ^{d}}{d!}}H_{d}(\lambda )p_{\lambda }(\mathbf {t} ),$

 

 

 

 

()

där $H_{d}(\lambda )$ är de enkla Hurwitz-talen som är ${\frac {1}{n!}}$ gånger antalet sätt som ett element $k_{\lambda }\in {\mathcal {S}}_{n}$ i den symmetriska gruppen ${\mathcal {S}}_{n}$ i $n=|\lambda |$ element, med cykellängder lika med delarna av partitionen $\lambda$ , kan faktoriseras som en produkt av $d$$2$ - cykler

$h_{\lambda }=(a_{1}b_{1})\dots (a_{d}b_{d}),$

och

$p_{\lambda }( \mathbf {t} )=\prod _{i=1}^{\ell (\lambda )}p_{\lambda _{i}}(\mathbf {t} ),{\text{ med }}p_{ i}(\mathbf {t} ):=\summa _{a=1}^{\infty }x_{a}^{i}=it_{i}$

är den symmetriska effektsummans funktion. Ekvation ( 7 ) visar alltså att den (formella) KP hypergeometriska $\tau$ -funktionen som motsvarar innehållsproduktens koefficienter $r_{\lambda }^{\beta }$ är en genererande funktion, i kombinatorisk mening, för enkla Hurwitz-tal.

• Dickey, LA (2003), "Soliton Equations and Hamiltonian Systems", Vol. 26 av Advanced Series in Mathematical Physics. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2:a upplagan.
• Harnad, J .; Balogh, F. (2021), "Tau-funktioner och deras tillämpningar", Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, Cambridge, Storbritannien
• Hirota, R. (2004), "The Direct Method in Soliton Theory", Cambridge University Press, Cambridge, Storbritannien
• Jimbo, M .; Miwa, T. (1999), "Solitons: Differential Equations, Symmetries and Infinite Dimensional Algebras", Cambridge University Press, Cambridge, Storbritannien , Cambridge Tracts in Mathematics, 135
• Kodama, Y. (2017), KP Solitons and the Grassmannians: Combinatorics and Geometry of Two-Dimensional Wave Patterns , Springer Briefs in Mathematical Physics, vol. Springer Nature