Plücker-koordinater

Inom geometri är Plücker-koordinater , som introducerades av Julius Plücker på 1800-talet, ett sätt att tilldela sex homogena koordinater till varje linje i projektiv 3-space , P ³ . Eftersom de uppfyller en kvadratisk begränsning upprättar de en en-till-en-överensstämmelse mellan det 4-dimensionella utrymmet av linjer i P ³ och punkter på en kvadratisk i P ⁵ (projektivt 5-rum). En föregångare och specialfall av Grassmann-koordinater (som beskriver k -dimensionella linjära delrum, eller lägenheter , i ett n -dimensionellt euklidiskt utrymme ), Plücker-koordinater uppstår naturligt i geometrisk algebra . De har visat sig användbara för datorgrafik och kan även utökas till koordinater för skruvar och skiftnycklar i kinematikteorin som används för robotstyrning .

Geometrisk intuition

Förskjutning och moment för två punkter på linjen

En linje $L$ i 3-dimensionell euklidisk rymd bestäms av två distinkta punkter som den innehåller, eller av två distinkta plan som innehåller den. Betrakta det första fallet, med punkterna $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ och $y=(y_{1},y_{2},y_{3})$ . Vektorförskjutningen från $x$ till $y$ är inte noll eftersom punkterna är distinkta och representerar linjens riktning . Det vill säga att varje förskjutning mellan punkter på $L$ är en skalär multipel av $d=yx$ . Om en fysisk partikel med enhetsmassa skulle flytta från $x$ till $y$ , skulle den ha ett ögonblick om ursprunget. Den geometriska ekvivalenten är en vektor vars riktning är vinkelrät mot planet som innehåller $L$ och origo, och vars längd är lika med två gånger arean av triangeln som bildas av förskjutningen och origo. Behandla punkterna som förskjutningar från origo, är momentet m = x × y , där "×" betecknar vektorkorsprodukten . För en fast linje, $L$ , är arean av triangeln proportionell mot längden på segmentet mellan $x$ och $y$ , betraktad som triangelns bas; det ändras inte genom att skjuta basen längs linjen, parallellt med sig själv. Per definition är momentvektorn vinkelrät mot varje förskjutning längs linjen, så d ⋅ m = 0 , där "⋅" betecknar vektorpunktprodukten .

Även om varken $d$ eller $m$ enbart är tillräckliga för att bestämma $L$ , gör paret det tillsammans unikt, upp till en gemensam (icke noll) skalär multipel som beror på avståndet mellan $x$ och $y$ . Det vill säga koordinaterna

( d : m ) = ( d ₁ : d ₂ : d ₃ : m ₁ : m ₂ : m ₃ )

kan anses vara homogena koordinater för L , i den meningen att alla par ( λ d : λ m ), för λ ≠ 0, kan produceras av punkter på L och endast L , och vilket sådant par bestämmer en unik linje så länge som d är inte noll och d ⋅ m = 0. Dessutom sträcker sig detta tillvägagångssätt till att omfatta punkter , linjer och ett plan "i oändligheten", i betydelsen projektiv geometri .

Exempel. Låt x = (2,3,7) och y = (2,1,0). Sedan ( d : m ) = (0:−2:−7:−7:14:−4).

Alternativt, låt ekvationerna för punkterna x i två distinkta plan som innehåller L vara

0 = a + a ⋅ x

0 = b + b ⋅ x .

Då är deras respektive plan vinkelräta mot vektorerna a och b , och riktningen för L måste vara vinkelrät mot båda. Därför kan vi sätta d = a × b , som inte är noll eftersom a och b varken är noll eller parallella (planen är distinkta och skär varandra). Om punkt x uppfyller båda planekvationerna, så uppfyller den också den linjära kombinationen

0	= a ( b + b ⋅ x ) − b ( a + a ⋅ x )
	= ( a b − b a ) ⋅ x .

Det vill säga, m = a b − b a är en vektor vinkelrät mot förskjutningar till punkter på L från origo; det är i själva verket ett moment som överensstämmer med det d som tidigare definierats från a och b .

Bevis 1 : Behöver visa att m = a b − b a = r × d = r × ( a × b ). ^{vad är " r "?}

Utan förlust av allmänhet , låt a ⋅ a = b ⋅ b = 1.

Plan ortogonalt mot linje L och inklusive origo.

Punkt B är ursprunget. Linje L går genom punkt D och är ortogonal mot bildens plan. De två planen passerar genom CD och DE och är båda ortogonala mot bildens plan. Punkterna C och E är de närmaste punkterna på dessa plan till origo B , därför är vinklarna BCD och BED räta och så ligger punkterna B , C , D , E på en cirkel (på grund av en följd av Thales sats ). BD är diametern på den cirkeln.

a := BE/ ||BE||, b := BC/ ||BC||， r := BD, − a = ||BE|| = ||BF||，− b = ||BC|| = ||BG||, m = a b − b a = FG, || d || = || a × b || = synd(FBG)

Vinkel BHF är en rät vinkel på grund av följande argument. Låt $\epsilon :=\angle BEC$ . Eftersom $\Delta BEC\cong \Delta BFG$ (genom sidovinkel-sidekongruens), då $\angle BFG=\epsilon$ . Eftersom $\angle BEC+\angle CED=90^{\circ }$ , låt $\epsilon ':=90^{\circ }-\epsilon =\angle CED$ . Med den inskrivna vinkelsatsen , $\angle DEC=\angle DBC$ , så $\angle DBC=\epsilon '$ . $\angle HBF+\angle BFH+\angle FHB=180^{\circ }$ ; $\epsilon '+\epsilon +\angle FHB=180^{\circ }$ , $\epsilon +\epsilon ' =90^{\circ }$ därför $\angle FHB=90^{\circ }$ . Då DHF vara rät vinkel också.

Vinklarna DCF och DHF är räta vinklar, så de fyra punkterna C, D, H, F ligger på en cirkel, och (vid skärande sekantsats )

||BF|| ||BC|| = ||BH|| ||BD||, det vill säga ab sin(FBG) = ||BH|| || r || sin(FBG), 2(area av triangeln BFG) = ab sin(FBG) = ||BH|| ||FG|| = ||BH|| || r || sin(FBG), || m || = ||FG|| = || r || sin(FBG) = || r || || d ||, kontrollera riktning och m = r × d . ∎

Bevis 2 :

Låt a ⋅ a = b ⋅ b = 1. Detta innebär att

a = −||BE||, b = −||BC||.

Enligt vektortrippelproduktformeln ,

r × ( a × b ) = ( r ⋅ b ) a − ( r ⋅ a ) b

Sedan

r × ( a × b )	=	en \|\| r \|\| \|\| b \|\| cos(∠DBC) − b \|\| r \|\| \|\| en \|\| cos(∠DBE)
	=	en \|\| r \|\| cos(∠DBC) − b \|\| r \|\| cos(∠DBE)
	=	en \|\|BC\|\| − b \|\|BE\|\|
	=	− b a − (− a ) b
	=	a b − b a ∎

När || r || = 0, linjen L passerar origo med riktning d . Om || r || > 0, linjen har riktning d ; planet som inkluderar origo och linjen L har normalvektor m ; linjen tangerar en cirkel på det planet (normalt mot m och vinkelrätt mot bildens plan) centrerad vid origo och med radie || r ||.

₀₀ Exempel. Låt a = 2, a = (−1,0,0) och b = −7, b = (0,7,−2). Sedan ( d : m ) = (0:−2:−7:−7:14:−4).

Även om den vanliga algebraiska definitionen tenderar att skymma sambandet, är ( d : m ) Plücker-koordinaterna för L.

Algebraisk definition

Primala koordinater

I ett tredimensionellt projektivt utrymme $P^{3}$ , låt $L$ vara en linje genom distinkta punkter $x$ och $y$ med homogena koordinater $(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})$ och ${\ displaystyle (y_{0}:y_{1}:y_{2}:y_{3})}$ .

Plücker-koordinaterna $p_{ij}$ definieras enligt följande:

p_{ij}

{}={\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{vmatrix}}=x_{i}y_{j}-x_{j} y_{i}.

(den skevsymmetriska matrisen vars element är p _ij kallas också Plücker-matrisen ) Detta innebär p _ii = 0 och p _ij = − p _ji , vilket reducerar möjligheterna till endast sex (4 välj 2) oberoende storheter. Sextuppeln

(p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{ 12})

bestäms unikt av L upp till en gemensam icke-noll skalfaktor. Dessutom kan inte alla sex komponenter vara noll. Plücker-koordinaterna för L kan således betraktas som homogena koordinater för en punkt i ett 5-dimensionellt projektivt utrymme, vilket antyds av kolonnotationen.

För att se dessa fakta, låt M vara 4×2-matrisen med punktkoordinaterna som kolumner.

M={\begin{bmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\\x_ {2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}}

Plücker-koordinaten p _ij är determinanten för raderna i och j i M . Eftersom x och y är distinkta punkter, är kolumnerna i M linjärt oberoende ; M har rang 2. Låt M′ vara en andra matris, med kolumnerna x′ och y′ ett annat par distinkta punkter på L . Då är kolumnerna i M′ linjära kombinationer av kolumnerna i M ; så för någon 2×2 icke-singular matris Λ,

M'=M\Lambda .

I synnerhet är raderna i och j i M′ och M relaterade till

{\begin{bmatrix}x'_{i}&y'_{i}\\x'_{j}&y'_{j}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{ i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{00}&\lambda _{01}\\\lambda _{10}& \lambda _{11}\end{bmatrix}}.

Därför är determinanten för den vänstra 2×2-matrisen lika med produkten av determinanterna för den högra 2×2-matrisen, varav den senare är en fast skalär, det Λ. Dessutom kan alla sex 2×2 underdeterminanter i M inte vara noll eftersom rangordningen för M är 2.

Plücker karta

Beteckna mängden av alla linjer (linjära bilder av P ¹ ) i P ³ med G _1,3 . Vi har alltså en karta:

{\begin{aligned}\alpha \colon \mathrm {G} _{1,3}&\rightarrow \mathbf {P} ^{5} \\L&\mapsto L^{\alpha },\end{aligned}}

var

L^{\alpha }=(p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12}).

Dubbla koordinater

⁰⁰ Alternativt kan en linje beskrivas som skärningspunkten mellan två plan. Låt L vara en linje som finns i distinkta plan a och b med homogena koefficienter ( a : a ¹ : a ² : a ³ ) respektive ( b : b ¹ : b ² : b ^{3 ).} (Den första planekvationen är t.ex. Σ _k a ^k x _{k =0.) Den dubbla Plücker-koordinaten} p ^ij är

p^{ij}

{}={\begin{vmatrix}a^{i}&a^{j}\\b^{i}&b^{j}\end{vmatrix}}=a^{i}b^{j }-a^{j}b^{i}.

Dubbla koordinater är praktiska i vissa beräkningar, och de motsvarar primära koordinater:

(p_{01}:p_{ 02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12})=(p^{23}:p^{31}:p^{12}:p^{01}:p ^{02}:p^{03})

Här innebär likhet mellan de två vektorerna i homogena koordinater att talen på höger sida är lika med talen på vänster sida upp till någon gemensam skalningsfaktor λ {\ $\lambda }$ . Specifikt, låt ( i , j , k , ℓ ) vara en jämn permutation av (0,1,2,3); sedan

p_{ij}=\lambda p^{k\ell }.

Geometri

₀₀ För att relatera tillbaka till den geometriska intuitionen, ta x = 0 som planet vid oändligheten; alltså kan koordinaterna för punkter som inte är oändligt normaliseras så att x = 1. Då blir M

M={\begin{bmatrix}1&1\\x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2 }\\x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}},

och inställningen $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ och $y=(y_{1},y_{2},y_{3})$ , vi har $d=(p_{01},p_{02 },p_{03})$ och $m=(p_{23},p_{31},p_{12})$ .

Dubbelt sett har vi $d=(p^{23},p^{31},p^{12})$ och $m=(p^{01},p^{02},p^{03})$ .

Bijektion mellan linjer och Klein quadric

Planekvationer

₀ Om punkten z = ( z : z ₁ : z ₂ : z ₃ ) ligger på L , då kolumnerna för

{\begin{bmatrix}x_{0}&y_{0}&z_{0}\\x_{1} &y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{bmatrix}}

är linjärt beroende , så att rangordningen för denna större matris fortfarande är 2. Detta innebär att alla 3×3 submatriser har determinant noll, vilket genererar fyra (4 välj 3) planekvationer, som t.ex.

{\begin{aligned}0&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&z_{0}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_ {2}&z_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}} z_{0}-{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}z_{1}+{\begin{vmatrix}x_{0} &y_{0}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}z_{2}\\[5pt]&=p_{12}z_{0}-p_{02}z_{1}+p_ {01}z_{2}.\\[5pt]&=p^{03}z_{0}+p^{13}z_{1}+p^{23}z_{2}.\end{aligned} }

De fyra möjliga erhållna planen är följande.

{\begin{matrix}0&=&{}+p_{12}z_{0}&{}-p_{02}z_{1}&{}+ p_{01}z_{2}&\\0&=&{}-p_{31}z_{0}&{}-p_{03}z_{1}&&{}+p_{01}z_{3}\ \0&=&{}+p_{23}z_{0}&&{}-p_{03}z_{2}&{}+p_{02}z_{3}\\0&=&&{}+p_{23 }z_{1}&{}+p_{31}z_{2}&{}+p_{12}z_{3}\end{matris}}

⁰ Genom att använda dubbla koordinater och låta ( a : a ¹ : a ² : a ³ ) vara linjekoefficienterna, är var och en av dessa helt enkelt a ⁱ = p ^ij , eller

0=\sum _{i=0}^{3}p^{ij}z_{i},\qquad j=0 ,\ldots ,3.

Varje Plücker-koordinat visas i två av de fyra ekvationerna, varje gång multiplicerar en annan variabel; och eftersom åtminstone en av koordinaterna är icke-noll, är vi garanterade icke-vakuösa ekvationer för två distinkta plan som skär varandra i L . Således bestämmer Plücker-koordinaterna för en linje den linjen unikt, och kartan α är en injektion .

Kvadratisk relation

Bilden av α är inte den fullständiga uppsättningen av punkter i P ⁵ ; Plücker-koordinaterna för en linje L uppfyller den kvadratiska Plücker-relationen

{\begin{aligned}0&=p_{01}p^{01}+p_{02}p^{02}+p_{03}p^{03}\\&=p_{01}p_{ 23}+p_{02}p_{31}+p_{03}p_{12}.\end{aligned}}

För bevis, skriv detta homogena polynom som determinanter och använd Laplace-expansion (omvänt).

{\begin{aligned}0&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2 }&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix }}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_ {3}&y_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&= (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1}){\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}- (x_{0}y_{2}-y_{0}x_{2}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+ (x_{0}y_{3}-y_{0}x_{3}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\ \[5pt]&=x_{0}\left(y_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{ 2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+y_{3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1 }\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)-y_{0}\left(x_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{ 3}&y_{3}\end{vmatrix}}-x_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+x_{ 3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)\\[5pt]&=x_{0}{\begin{ vmatrix}x_{1}&y_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_ {0}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}&x_{3}&y_{3}\ end{vmatrix}}\end{aligned}}

Eftersom båda 3×3-determinanterna har dubbla kolumner, är den högra sidan identiskt noll.

Ett annat bevis kan göras så här: Sedan vektor

d=\left(p_{01},p_{02},p_{03}\right)

är vinkelrät mot vektorn

m=\left(p_{23},p_{31},p_{12}\right)

(se ovan), skalärprodukten av d och m måste vara noll! qed

Punktekvationer

₀ Låter ( x : x ₁ : x ₂ : x ₃ ) vara punktkoordinaterna, fyra möjliga punkter på en linje har vardera koordinater x _i = p _ij , för j = 0...3. Vissa av dessa möjliga punkter kan vara otillåtna eftersom alla koordinater är noll, men eftersom minst en Plücker-koordinat inte är noll, garanteras minst två distinkta punkter.

Bijektivitet

Om ( q ₀₁ : q ₀₂ : q ₀₃ : q ₂₃ : q ₃₁ : q ₁₂ ) är de homogena koordinaterna för en punkt i P ⁵ , utan förlust av generalitet antag att q ₀₁ inte är noll. Sedan matrisen

M={\begin{bmatrix}q_{01}&0\\0&q_{01}\\-q_{12}&q_{02} \\q_{31}&q_{03}\end{bmatrix}}

har rang 2, så dess kolumner är distinkta punkter som definierar en linje L . När P ⁵ -koordinaterna, q _ij , uppfyller den kvadratiska Plücker-relationen, är de Plücker-koordinaterna för L . För att se detta, normalisera först q ₀₁ till 1. Sedan har vi omedelbart det för Plücker-koordinaterna beräknade från M , p _ij = q _ij , förutom för

p_{23}=-q_{03}q_{12}-q_{02}q_{31}.

Men om q _ij uppfyller Plücker-relationen q ₂₃ + q ₀₂ q ₃₁ + q ₀₃ q ₁₂ = 0, då p ₂₃ = q ₂₃ , fullbordar uppsättningen av identiteter.

Följaktligen är α en surjektion av den algebraiska varianten som består av nolluppsättningen av det andragradspolynomet

p_{01}p_{23}+p_{02}p_{31}+p_{03}p_{12}.

Och eftersom α också är en injektion, är linjerna i P ³ alltså i bijektiv överensstämmelse med punkterna för denna kvadric i P ⁵ , kallad Plücker-kvadriken eller Klein-quadric .

Används

Plücker-koordinater tillåter koncisa lösningar på problem med linjegeometri i 3-dimensionell rymd, särskilt de som involverar infall .

Linjeövergång

Två linjer i P ³ är antingen skeva eller i samma plan , och i det senare fallet är de antingen sammanfallande eller skär varandra i en unik punkt. Om p _ij och p ′ _ij är Plücker-koordinaterna för två linjer, så är de koplanära exakt när d • m ′+ m • d ′ = 0, som visas av

{\begin{aligned}0&=p_{01}p'_{23}+p_{02}p'_{31}+p_{03}p'_{12}+p_{23}p' _{01}+p_{31}p'_{02}+p_{12}p'_{03}\\[5pt]&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&x'_ {0}&y'_{0}\\x_{1}&y_{1}&x'_{1}&y'_{1}\\x_{2}&y_{2}&x'_{2}&y'_ {2}\\x_{3}&y_{3}&x'_{3}&y'_{3}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}

När linjerna är sneda indikerar resultatets tecken känslan av korsning: positivt om en högerskruvad skruv tar L till L ′, annars negativ.

Den kvadratiska Plücker-relationen säger i huvudsak att en linje är i samma plan med sig själv.

Line-line join

I händelse av att två linjer är i samma plan men inte parallella, har deras gemensamma plan ekvation

₀ 0 = ( m • d ′) x + ( d × d ′)• x ,

där $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$

Den minsta störning kommer att förstöra existensen av ett gemensamt plan, och nästan parallellitet mellan linjerna kommer att orsaka numeriska svårigheter att hitta ett sådant plan även om det existerar.

Line-line möte

Dubbelt har två linjer i samma plan, som ingen av dem innehåller ursprunget, gemensam poäng

₀ ( x : x ) = ( d • m ′: m × m ′) .

För att hantera linjer som inte uppfyller denna begränsning, se referenserna.

Plane-line möte

Givet ett plan med ekvation

0=a^{0}x_{0}+a^{1}x_{1}+a^{2}x_ {2}+a^{3}x_{3},

⁰₀ eller mer kortfattat 0 = a x + a • x ; och givet en linje som inte finns i den med Plücker-koordinater ( d : m ), så är deras skärningspunkt

₀₀ ( x : x ) = ( a • d : a × m − a d ) .

₀ Punktkoordinaterna, ( x : x ₁ : x ₂ : x ₃ ), kan också uttryckas i termer av Plücker-koordinater som

x_{i}=\summa _{j\neq i}a^{j}p_{ij},\qquad i=0 \ldots 3.

Point-line join

₀ Dubbelt, givet en punkt ( y : y ) och en linje som inte innehåller den, har deras gemensamma plan ekvation

₀₀ 0 = ( y • m ) x + ( y × d − y m ) • x .

⁰ Plankoordinaterna, ( a : a ¹ : a ² : a ³ ), kan också uttryckas i termer av dubbla Plücker-koordinater som

a^{i}=\summa _{j\neq i}y_{j}p^{ij},\qquad i= 0\ldots 3.

Linjefamiljer

Eftersom Klein-kvadricen är i P ⁵ innehåller den linjära delrum med dimensionerna ett och två (men inte högre). Dessa motsvarar en- och tvåparameterfamiljer av linjer i P ³ .

Anta till exempel att L och L ′ är distinkta linjer i P ³ bestämda av punkterna x , y respektive x ′, y ′. Linjära kombinationer av deras bestämningspunkter ger linjära kombinationer av deras Plücker-koordinater, vilket genererar en enparameterfamilj av linjer som innehåller L och L ′. Detta motsvarar ett endimensionellt linjärt delrum som tillhör Klein-kvadricen.

Linjer i plan

Om tre distinkta och icke-parallella linjer är i samma plan; deras linjära kombinationer genererar en tvåparameterfamilj av linjer, alla linjer i planet. Detta motsvarar ett tvådimensionellt linjärt delrum som tillhör Klein-kvadricen.

Linjer genom punkt

Om tre distinkta och icke-samplanära linjer skär varandra i en punkt, genererar deras linjära kombinationer en tvåparameterfamilj av linjer, alla linjer genom punkten. Detta motsvarar också ett tvådimensionellt linjärt delrum som tillhör Klein-kvadricen.

Regerad yta

En linjär yta är en familj av linjer som inte nödvändigtvis är linjär. Det motsvarar en kurva på Klein quadric. Till exempel är en hyperboloid av ett ark en kvadratisk yta i P ³ som styrs av två olika familjer av linjer, en linje av varje går genom varje punkt på ytan; varje familj motsvarar under Plücker-kartan ett koniskt snitt inom Klein-kvadricen i P ⁵ .

Linjegeometri

Under artonhundratalet studerades linjegeometrin intensivt. När det gäller bijektionen ovan är detta en beskrivning av den inneboende geometrin hos Klein-kvadricen.

Ray spårning

Linjegeometri används i stor utsträckning i tillämpningar för strålspårning där strålarnas geometri och skärningspunkter måste beräknas i 3D. En implementering beskrivs i Introduction to Plücker Coordinates skriven för Ray Tracing-forumet av Thouis Jones.

Se även

Hodge, WVD ; D. Pedoe (1994) [1947]. Metoder för algebraisk geometri, volym I (bok II) . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46900-5 .
Behnke, H.; F. Bachmann; K. Fladt; H. Kunle, red. (1984). Matematiks grunder, volym II: Geometri . trans. SH Gould. MIT Tryck på . ISBN 978-0-262-52094-2 . Från tyskan: Grundzüge der Mathematik, Band II: Geometrie . Vandenhoeck & Ruprecht.
Guilfoyle, B.; W. Klingenberg (2004). "På utrymmet för orienterade affina linjer i R^3". Archiv der Mathematik . Birkhäuser . 82 (1): 81–84. arXiv : math/0405189 . doi : 10.1007/s00013-003-4861-3 . ISSN 0003-889X .
Kuptsov, LP (2001) [1994], "Plücker coordinates" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Mason, Matthew T.; J. Kenneth Salisbury (1985). Robothänder och manipulationens mekanik . MIT Tryck på . ISBN 978-0-262-13205-3 .
Hartley, R.-I.; Zisserman A. (2004). Multiple View Geometri in Computer Vision . Cambridge University Press . ISBN 0521540518 .
Hohmeyer, M.; S. Teller (1999). "Bestämma linjerna genom fyra linjer" (PDF) . Journal of Graphics Tools . AK Peters . 4 (3): 11–22. doi : 10.1080/10867651.1999.10487506 . ISSN 1086-7651 .
Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012). Linjär algebra och geometri . Springer . ISBN 978-3-642-30993-9 .
Jia, Yan-Bin (2017). Plücker-koordinater för linjer i rymden (PDF) (Rapport).
Shoemake, Ken (1998). "Plücker Coordinate Tutorial" . Ray Tracing News. Arkiverad från originalet den 10 oktober 2022 . Hämtad 4 juli 2018 .