Singular spår

I matematik är en singularis ett spår på ett utrymme av linjära operatorer av ett separerbart Hilbert-utrymme som försvinner på operatorer av finit rang . Singulära spår är ett kännetecken för oändligt dimensionella Hilbert-utrymmen som utrymmet för kvadratsammantagbara sekvenser och utrymmen med kvadratintegrerbara funktioner . Linjära operatorer på ett finitdimensionellt Hilbert-rum har bara nollfunktionen som ett singulär spår eftersom alla operatorer har finit rang. Till exempel matrisalgebror inga icke-triviala singularspår och matrisspåret är det unika spåret upp till skalning.

Den amerikanske matematikern Gary Weiss och, senare, den brittiske matematikern Nigel Kalton observerade i det oändliga dimensionella fallet att det finns icke-triviala singularspår på idealet om spårklassoperatorer . Därför, till skillnad från det finita dimensionella fallet, i oändliga dimensioner är det kanoniska operatorspåret inte det unika spåret upp till skalning. Operatörspåret är den kontinuerliga utvidgningen av matrisspåret från operatorer med ändlig rang till alla spårklassoperatorer, och termen singular härrör från det faktum att ett singularspår försvinner där matrisspåret stöds, analogt med att ett singularmått försvinner där Lebesgue mäter stöds.

Singular spår mäter det asymptotiska spektrala beteendet hos operatörer och har funnit tillämpningar i den franske matematikern Alain Connes icke-kommutativa geometri . I heuristiska termer motsvarar ett singularspår ett sätt att summera siffror a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... som är helt ortogonalt eller 'singular' med avseende på den vanliga summan a ₁ + a ₂ + a ₃ + . ... Detta tillåter matematiker att summera sekvenser som den harmoniska sekvensen (och operatorer med liknande spektralt beteende) som är divergerande för den vanliga summan . På liknande sätt kan en (icke-kommutativ) måttteori eller sannolikhetsteori byggas för distributioner som Cauchy-fördelningen (och operatorer med liknande spektralt beteende) som inte har ändliga förväntningar i vanlig mening.

Ursprung

trodde den franske matematikern Jacques Dixmier , ^{en förtydligande behövs ]} grundare av den semifinita teorin om von Neumann algebras , att ett spår på de avgränsade operatorerna av en separerbar Hilbert-rymd automatiskt skulle vara normal [ upp till några triviala motexempel. Under loppet av 15 år utvecklade Dixmier, med hjälp av ett förslag från Nachman Aronszajn och ojämlikheter bevisade av Joseph Hersch, ett exempel på ett icke-trivialt men icke-normalt [ ^{förtydligande behövs ]} spår på svaga spårklassoperatörer , vilket motbevisade hans tidigare uppfattning. . Singulära spår baserade på Dixmiers konstruktion kallas Dixmier-spår .

Oberoende och med olika metoder undersökte den tyske matematikern Albrecht Pietsch (de) spår efter ideal för operatörer på Banach-utrymmen. 1987 svarade Nigel Kalton på en fråga om Pietsch genom att visa att operatörsspåret inte är det unika spåret på kvasinormerade korrekta subideal av spårklassoperatörerna på ett Hilbert-utrymme. József Varga studerade självständigt en liknande fråga. För att lösa frågan om det unika hos spåret på det fulla idealet av spårklassoperatorer, utvecklade Kalton ett spektralt villkor för kommutatorunderrummet hos spårklassoperatorer efter resultat från Gary Weiss. En konsekvens av resultaten av Weiss och Kaltons spektrala tillstånd var förekomsten av icke-triviala singulära spår på spårklassoperatörer.

Också oberoende, och från en annan riktning, undersökte Mariusz Wodzicki den icke-kommutativa resten , ett spår på klassiska pseudo-differentiella operatorer på ett kompakt grenrör som försvinner på spårklass pseudo-differentiella operatorer av ordning mindre än det negativa av dimensionen av grenröret.

Definition

Ett spår φ på ett tvåsidigt ideal J av de avgränsade linjära operatorerna B ( H ) på ett separerbart Hilbertrum H är en linjär funktionell φ: J → $\mathbb {C}$ så att φ( AB ) = φ( BA ) för alla operatorer A från J och B från B ( H ). Det vill säga, ett spår är en linjär funktion på J som försvinner på kommutatordelrummet Com( J ) av J .

Ett spår φ är singular om φ ( A ) = 0 för varje A från subidealen av finita rangoperatorer F ( H ) inom J.

Existens och karaktärisering

Singulära spår kännetecknas av den spektrala Calkin-överensstämmelsen mellan tvåsidiga ideal av avgränsade operatorer på Hilbert-rymden och omarrangerande invarianta sekvensutrymmen. Genom att använda den spektrala karaktäriseringen av kommutatorunderrummet på grund av Ken Dykema, Tadeusz Figiel, Gary Weiss och Mariusz Wodzicki, till varje spår φ på ett tvåsidigt ideal J finns det en unik symmetrisk funktionell f på motsvarande Calkin-sekvensutrymme j så att

\varphi (A)={\rm {f}}(\mu (A))

()

för varje positiv operatör A som tillhör J . Här är μ: J ₊ → j ₊ kartan från en positiv operator till dess singularvärden . Ett singulär spår φ motsvarar en symmetrisk funktionell f på sekvensutrymmet j som försvinner på c ₀₀ , sekvenserna med ett ändligt antal termer som inte är noll.

Karakteriseringen är parallell med konstruktionen av det vanliga operatörsspår där

{\rm {Tr}}(A)=\summa _{n=0}^{\infty }\ mu (n,A)=\summa \mu (A)

för A en positiv spårningsklassoperatör. Spårklassoperatorerna och sekvensutrymmet för summerbara sekvenser finns i Calkin-korrespondens. (Summan Σ är en symmetrisk funktion på utrymmet av summerbara sekvenser.)

Existens

Ett spår φ som inte är noll existerar på ett tvåsidigt ideal J av operatorer på ett separerbart Hilbert-utrymme om samdimensionen för dess kommutatordelrum inte är noll. Det finns ideal som tillåter oändligt många linjärt oberoende singulära spår som inte är noll. Till exempel innehåller kommutatorunderrummet för idealet av svaga spårningsklassoperatorer idealet för spårningsklassoperatorer och varje positiv operatör i kommutatorunderrummet för den svaga spårningsklassen är spårklass. Följaktligen är varje spår på det svaga spårklassidealet singulär och samdimensionen för det ideala kommutatorunderrummet för svag spårklass är oändlig. Inte alla singulära spår på det svaga spårklassidealet är Dixmier-spår.

Lidskii formulering

Spåret av en kvadratisk matris är summan av dess egenvärden. Lidskiis formel utökar detta resultat till funktionsanalys och anger att spåret för en spårklassoperator A ges av summan av dess egenvärden,

{\rm {Tr}}(A)=\summa _{n=0}^{\infty }\lambda (n,A)=\summa (\lambda (A)).

Karakteriseringen ( 1 ) av ett spår φ på positiva operatorer av en tvåideal J som en symmetrisk funktion som tillämpas på singulära värden kan förbättras till påståendet att spåret φ på vilken operator som helst i J ges av samma symmetriska funktion som tillämpas på egenvärdessekvenser , förutsatt att egenvärdena för alla operatorer i J tillhör Calkin-sekvensutrymmet j . I synnerhet, om en begränsad operator A tillhör J närhelst det finns en begränsad operator B i J så att

\prod _{k=0}^{n}\mu (k,A)\leq \prod _{k =0}^{n}\mu (k,B)

()

för varje naturligt tal n , så finns det för varje spår φ på J en unik symmetrisk funktionell f på Calkin-utrymmet j med

\varphi (A)={\rm {f}}(\lambda (A))

()

där λ( A ) är sekvensen av egenvärden för en operator A i J omarrangerad så att det absoluta värdet av egenvärdena minskar. Om A är kvasi-nilpotent så är λ( A ) nollsekvensen. De flesta tvåsidiga ideal tillfredsställer egenskapen ( 2 ), inklusive alla Banach-ideal och kvasi-Banach-ideal.

Ekvation ( 3 ) är det exakta påståendet att singularspår mäter asymptotiskt spektralt beteende hos operatorer.

Fredholms formulering

Spåret av en kvadratisk matris är summan av dess diagonala element. I funktionsanalys är motsvarande formel för spårklassoperatorer

{\rm {Tr}}(A)=\ summa _{n=0}^{\infty }\langle Ae_{n},e_{n}\rangle =\summa (\{\langle Ae_{n},e_{n}\rangle \}_{n= 0}^{\infty })

där { e _n } _{n =0}^∞ är en godtycklig ortonormal bas för det separerbara Hilbertrummet H . Singular spår har inte en likvärdig formulering för godtyckliga baser. Endast när φ( A )=0 kommer en operator A i allmänhet att uppfylla

\varphi (A)={\rm {f}}(\{\langle Ae_{n},e_{n }\rangle \}_{n=0}^{\infty })

för ett singulär spår φ och en godtycklig ortonormal bas { e _n } _{n =0}^∞ .

Den diagonala formuleringen används ofta istället för Lidskii-formuleringen för att beräkna spåret av produkter, eftersom egenvärden för produkter är svåra att fastställa. Till exempel, inom kvantstatistisk mekanik beräknas förväntan på ett observerbart S mot en fast energitäthetsoperator T av spårklass med formeln

{\display \langle S\rangle ={\rm {Tr}}(ST)=\summa _{n=0}^{\infty }\langle Se_{n},e_{n}\rangle \lambda (n,T) =v_{T}(\{\langle Se_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty })}

där v _T tillhör ( l _∞ ) _* ≅ l ₁ . Förväntningen beräknas från förväntningsvärdena ⟨ Se _n , e _n ⟩ och sannolikheten ⟨ P _n ⟩ = λ( n , T ) för att systemet är i bundet kvanttillstånd e _n . Här P _n projektionsoperatorn på det endimensionella delutrymmet som spänner över av energiegentillståndet e _n . Produktens egenvärden, λ( n , ST ), har ingen ekvivalent tolkning.

Det finns resultat för enstaka spår av produkter. För en produkt ST där S är begränsat och T är självadjoint och tillhör ett tvåsidigt ideal J då

{\ displaystyle \varphi (ST)={\rm {f}}(\{\langle Se_{n},e_{n}\rangle \lambda (n,T)\}_{n=0}^{\infty } )=v_{\varphi ,T}(\{\langle Se_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty })}

för varje spår φ på J . Ortonormalbasen { e _n } _{n =0}^∞ måste ordnas så att Te _n = μ( n , T ) e _n , n =0,1,2... . När φ är singular och φ( T )=1 så är v _{φ , T} en linjär funktion på l _∞ som förlänger gränsen vid oändlighet på de konvergerande sekvenserna c . Förväntningen ⟨ S ⟩ = φ( ST ) har i detta fall egenskapen att ⟨ P _n ⟩= 0 för varje n , eller att det inte finns någon sannolikhet att vara i ett bundet kvanttillstånd. Den där

\langle S\rangle ={\text{``gräns vid oändlighet''}}\langle Se_{n},e_{ n}\rangle

har lett till en koppling mellan singulära spår, korrespondensprincipen och klassiska gränser.

Använd i icke-kommutativ geometri

Den första tillämpningen av singulära spår var den icke-kommutativa resten , ett spår på klassiska pseudo-differentiella operatorer på ett kompakt grenrör som försvinner på spårklass pseudo-differentiella operatorer av ordning mindre än negativt för grenrörets dimension, introducerade Mariusz Wodzicki och Victor Guillemin självständigt. Alain Connes karakteriserade den icke-kommutativa resten inom icke-kommutativ geometri , Connes generalisering av differentialgeometri, med hjälp av Dixmier-spår.

En förväntan som involverar en singulär spår- och icke-spårklassdensitet används i icke-kommutativ geometri ,

\int S={\rm {Tr}}_{\omega }(S|D|^{-d}).

()

Här är S en avgränsad linjär operator på Hilbert-rymden L ₂ ( X ) av kvadratintegrerbara funktioner på ett d -dimensionellt slutet grenrör X , Tr _ω är ett Dixmier-spår på det svaga spårklassidealet, och densiteten | D | ^{− d} i den svaga spårklassen idealet är den d :te potensen av 'linjeelementet' | D | ⁻¹ där D är en operator av Dirac-typ lämpligen normaliserad så att Tr _ω (| D | ^{− d} )=1.

Förväntningen () är en förlängning av Lebesgue-integralen på den kommutativa algebra av väsentligen begränsade funktioner som verkar genom multiplikation på L ₂ ( X ) till den fullständiga icke-kommutativa algebra av begränsade operatorer på L ₂ ( X ). Det är,

\int M_{f}=\int _{X}f(x)\,dx.

där dx är volymformen på X , f _är en väsentligen begränsad funktion, och _Mf är den avgränsade operatorn Mf _h ( x ) = ( fh ) ( x ) för varje kvadratintegrerbar funktion h i L 2 ( X ). Samtidigt är förväntningen () gränsen vid oändligheten av kvantförväntningarna S → ⟨ Se _n , e _n ⟩ definierade av egenvektorerna för Laplacian på X . Närmare bestämt, för många avgränsade operatorer på L ₂ ( X ), inkluderade alla nollordningens klassiska pseudo-differentialoperatorer och operatorer av formen Mf där _{f är en väsentligen begränsad funktion,} konvergerar sekvensen ⟨ Se _n , e _{n ⟩ logaritmiskt} och

\int S=\lim _{n\to \infty }{\ frac {\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{1+k}}\langle Se_{k},e_{k}\rangle }{\sum _{k=0}^ {n}{\frac {1}{1+k}}}}

Dessa egenskaper är kopplade till spektrumet av Dirac-typoperatorer och inte till Dixmier-spår; de håller fortfarande om Dixmier-spåret i () ersätts av något spår på svaga spårningsklassoperatörer.

Exempel

Antag att H är ett separerbart oändligt dimensionellt Hilbert-rum.

Ideal utan spår

Begränsade operatörer. Paul Halmos visade 1954 att varje avgränsad operator på ett separerbart oändligt dimensionellt Hilbert-rum är summan av två kommutatorer. Det vill säga Com( B ( H )) = B ( H ) och samdimensionen för kommutatordelrummet för B ( H ) är noll. De avgränsade linjära operatorerna tillåter inga överallt definierade spår. Kvalifikationen är relevant; som en von Neumann algebra B ( H ) medger semifinita (starkt tätt definierade) spår.

Modern undersökning av kommutatorunderrummet involverar kontroll av dess spektrala karaktärisering . Följande ideal har inga spår eftersom Cesàro-medlen för positiva sekvenser från Calkin motsvarande sekvensutrymme hör tillbaka i sekvensutrymmet, vilket indikerar att idealet och dess kommutatordelrum är lika.

Kompakta operatörer. Kommutatordelrummet Com( K ( H )) = K ( H ) där K ( H ) betecknar de kompakta linjära operatorerna . Idealet med kompakta operatörer släpper inga spår.
Schatten p -ideal. Kommutatordelrummet Com( L _p ) = L _p , p > 1, där L _p betecknar Schatten p -ideal ,

{\displaystyle L_{p}=\{A\in K(H):\left (\sum _{n=0}^{\infty }\mu (n,A)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty \},} och μ

( A ) betecknar sekvensen av singulära värden för en kompakt operator A . Schatten-idealen för p > 1 medger inga spår.

Lorentz p -ideal eller svag- L _p -ideal . Kommutatordelrummet Com( L _{p ,∞} ) = L _{p ,∞} , p > 1, där

L_{p,\infty }=\{A\in K(H):\mu (n,A)=O(n^{-{\frac {1}{p}}})\}

är det svaga- L _p ideal. De svaga- L _p idealen, p > 1, medger inga spår. De svaga L _p -idealen är lika med Lorentz-idealen (nedan) med konkav funktion ψ( n )= n ^{1−1/ p} .

Ideal med spår

Operatörer med ändlig rangordning. Det kontrolleras från det spektrala villkoret att kärnan i operatorspåret Tr och kommutatorunderrummet för de finita rangoperatorerna är lika, ker Tr = Com( F ( H )). Det följer att kommutatordelrummet Com( F ( H )) har samdimension 1 i F ( H ). Upp till skalning Tr är det unika spåret på F ( H ).
Spårningsklassoperatörer. Spårklassoperatorerna L ₁ har Com( L ₁ ) strikt inkluderade i ker Tr. Samdimensionen för kommutatordelrummet är därför större än en och visas vara oändlig. Medan Tr är, upp till skalning, det unika kontinuerliga spåret på L ₁ för normen ||A|| ₁ = Tr(|A|), idealet för spårklassoperatorer tillåter oändligt många linjärt oberoende och icke-triviala singulära spår.

Svag spårklassoperatörer . Eftersom Com( L _{1 ,∞} ) ₊ = ( L ₁ ) ₊ samdimensionen för kommutatorunderrummet för det svaga- L ₁ -idealet är oändlig. Varje spår på svaga spårningsklassoperatörer försvinner på spårningsklassoperatörer, och är därför singular. De svaga spårklassoperatörerna bildar det minsta idealet där varje spår på idealet måste vara singular. Dixmier-spår ger en explicit konstruktion av spår på de svaga spårklassoperatörerna.

{\displaystyle {\rm {Tr}}_{\omega }(A)=\omega \left(\left\{{\frac {1}{\log(1+n)}}\summa _{k= 0}^{n}\lambda (k,A)\right\}_{n=0}^{\infty }\right),\quad A\in L_{1,\infty }.} Denna formel är

giltig för varje svag spårklassoperator A och involverar egenvärdena ordnade i minskande absolutvärde. ω kan också vara vilken förlängning som helst till l _∞ av den ordinarie gränsen, den behöver inte vara dilatationsinvariant som i Dixmiers ursprungliga formulering. Inte alla singulära spår på det svaga spårklassidealet är Dixmier-spår.

k -tensor svaga spårklassideal . De svaga L _p idealen, p > 1, medger inga spår som förklarats ovan. De är inte den rätta inställningen för högre ordningsfaktoriseringar av spåren på den svaga spårklassens ideal L _{1 ,∞} . För ett naturligt tal k ≥ 1 idealen

{\displaystyle E_{\otimes k }=\{A\i K(H):\mu (n,A)=O(\log ^{k-1}(n)/n)\}} bildar lämplig inställning

₀ . De har kommutatordelrum med oändlig samdimension som bildar en kedja så att E _{⊗ k -1} ⊂ Com( E _{⊗ k} ) (med konventionen att E = L ₁ ). Dixmier-spår på E _{⊗ k} har formen

{\rm {Tr}}_{\omega }^{k}(A)=\omega \left(\left\{{\frac {1}{\log ^{k}(1+n) }}\summa _{j=0}^{n}\lambda (j,A)\right\}_{n=0}^{\infty }\right),\quad A\in E_{\otimes k }.

Lorentz ψ-ideal. Den naturliga inställningen för Dixmier-spår är på en Lorentz ψ-ideal för en konkav ökande funktion ψ : [0,∞) → [0,∞),

L_{\psi }=\{A\in K(H):{\frac {1}{\psi (1+n)}}\summa _{j=0}^{n}\mu ( n,A)<\infty \}.

Det finns några ω som utökar den ordinarie gränsen till l _∞ så att

{\rm {Tr}}_{\omega }^{\psi }(A)=\omega \left(\left\{{\frac { 1}{\psi (1+n)}}\summa _{j=0}^{n}\lambda (j,A)\right\}_{n=0}^{\infty }\right), \quad A\in L_{\psi }

är en singularis om och endast om

\liminf _{n\to \infty }{ \frac {\psi (2n)}{\psi (n)}}=1.

Huvudidealet som genereras av en kompakt operator A med μ( A )=ψ' kallas det 'lilla idealet' inuti L _ψ . K tensorns svaga spårklassideal är det lilla idealet inuti Lorentz-idealet med ψ=log ^k .

Fullt symmetriska ideal generaliserar Lorentz ideal. Dixmier-spår bildar alla fullt symmetriska spår på ett Lorentz-ideal upp till skalning, och bildar en svag* tät delmängd av de fullt symmetriska spåren på ett allmänt fullt symmetriskt ideal. Det är känt att de helt symmetriska spåren är en strikt delmängd av de positiva spåren på ett fullt symmetriskt ideal. Därför är Dixmier-spår inte hela uppsättningen positiva spår på Lorentz-ideal.

Anteckningar

S. Lord, FA Sukochev. D. Zanin (2012). Singular spår: teori och tillämpningar . Berlin: De Gruyter. doi : 10.1515/9783110262551 . ISBN 978-3-11-026255-1 .

B. Simon (2005). Spåra ideal och deras tillämpningar . Providence, RI: Amer. Matematik. Soc. ISBN 978-0-82-183581-4 .

A. Pietsch (1981). "Operatörsideal med spår". Mathematische Nachrichten . 100 :61–91. doi : 10.1002/mana.19811000105 .

A. Pietsch (1987). Egenvärden och s-tal . Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press. ISBN 978-0-52-132532-5 .

S. Albeverio; D. Guido; A. Ponosov; S. Scarlatti (1996). "Singular spår och kompakta operatörer" (PDF) . Journal of Functional Analysis . 137 (2): 281–302. doi : 10.1006/jfan.1996.0047 .

M. Wodzicki (2002). "Vestigia investiganda" (PDF) . Moscow Mathematical Journal . 2 (4): 769-798. doi : 10.17323/1609-4514-2002-2-4-769-798 .

A. Connes (1994). Icke-kommutativ geometri . Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-185860-5 .

Se även

Dixmier spår