Dixmier spår

Inom matematiken är Dixmier-spåret , introducerat av Jacques Dixmier ( 1966 ), ett icke-normalt spår på ett utrymme av linjära operatorer på ett Hilbert-utrymme som är större än utrymmet för spårklassoperatorer . Dixmier-spår är exempel på singulära spår .

Vissa tillämpningar av Dixmier-spår till icke-kommutativ geometri beskrivs i ( Connes 1994) .

Definition

Om H är ett Hilbertrum, så är L ^1,∞ ( H ) rummet för kompakta linjära operatorer T på H så att normen

$\|T\|_{1,\infty }=\sup _{N}{\frac { \sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(T)}{\log(N)}}$

är finit, där talen μ _i ( T ) är egenvärdena för | T | ordnade i fallande ordning. Låta

$a_{N}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(T )}{\log(N)}}$ .

Dixmier-spåret Tr _ω ( T ) för T definieras för positiva operatorer T för L ^1,∞ ( H ) att vara

$\operatorname {Tr} _{\omega }(T)=\lim _{\omega }a_{N}$

där lim _ω är en skalinvariant positiv "förlängning" av den vanliga gränsen, till alla avgränsade sekvenser. Med andra ord har den följande egenskaper:

• lim _ω ( α _n ) ≥ 0 om alla α _n ≥ 0 (positivitet)
• lim _ω ( α _n ) = lim( α _n ) närhelst den ordinarie gränsen finns
• lim _ω ( α ₁ , α ₁ , α ₂ , α ₂ , α ₃ , ...) = lim _ω ( α _n ) (skalinvarians)

Det finns många sådana förlängningar (som en Banach-gräns på α ₁ , α ₂ , α ₄ , α ₈ ,...) så det finns många olika Dixmier-spår. Eftersom Dixmier-kurvan är linjär sträcker den sig genom linjäritet till alla operatorer för L ^{1,∞ (} H ) . Om Dixmier-spåret för en operator är oberoende av valet av lim _ω så kallas operatorn mätbar .

Egenskaper

• Tr _ω ( T ) är linjär i T.
• Om T ≥ 0 så är Tr _ω ( T ) ≥ 0
• Om S är begränsat så är Tr _ω ( ST ) = Tr _ω ( TS )
• Tr _ω ( T ) beror inte på valet av inre produkt på H.
• Tr _ω ( T ) = 0 för alla spårklassoperatorer T , men det finns kompakta operatorer för vilka den är lika med 1.

Ett spår φ kallas normal om φ (sup x _α ) = sup φ ( x _α ) för varje avgränsad ökande riktad familj av positiva operatorer. Alla normala spår på $L^{1,\infty }(H)$ är lika med det vanliga spåret, så Dixmier-spåret är ett exempel på ett icke-normalt spår.

Exempel

En kompakt självadjoint operator med egenvärden 1, 1/2, 1/3, ... har Dixmier-spår lika med 1.

Om egenvärdena μ _i för den positiva operatorn T har egenskapen att

$\zeta _{T}(s)=\operatörsnamn {Tr} (T^{s})=\summa {\mu _{ i}^{s}}$

konvergerar för Re( s )>1 och sträcker sig till en meromorf funktion nära s =1 med som mest en enkel pol vid s =1, då är Dixmier-spåret av T resten vid s =1 (och är i synnerhet oberoende av val av ω).

Connes (1988) visade att Wodzickis icke-kommutativa rest ( Wodzicki 1984 ) av en pseudodifferentiell operator på ett mångfaldigt M av ordningen -dim(M) är lika med dess Dixmier-spår.

• Albeverio, S.; Guido, D.; Ponosov, A.; Scarlatti, S.: Singular spår och kompakta operatörer. J. Funktion. Anal. 137 (1996), nr. 2, 281—302.
•    Connes, Alain (1988), "The action functional in noncommutative geometri" , Communications in Mathematical Physics , 117 (4): 673–683, doi : 10.1007/BF01218391 , ISSN 0010-3616 , MR 8209
•   Connes, Alain (1994), Non-commutative geometry , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5
•    Dixmier, Jacques (1966), "Existence de traces non normales", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 262 : A1107–A1108, ISSN 0151-0509 , MR 0196508
•    Wodzicki, M. (1984), "Local invariants of spectral asymmetry", Inventiones Mathematicae , 75 (1): 143–177, doi : 10.1007/BF01403095 , ISSN 0020-9910 , MR 4722

Se även

• Singular spår