Singular värde

Inom matematiken , i synnerhet funktionsanalys , singularvärdena eller s -talen för en kompakt operator $T:X\rightarrow Y$ som verkar mellan Hilbert-mellanrummen $X$ och $Y$ , är kvadratrötterna av de (nödvändigtvis icke-negativa) egenvärdena för den självtillslutande operatorn $T^{*}T$ (där $T^{*}$ anger adjoint till $T$ ).

Singularvärdena är icke-negativa reella tal , vanligtvis listade i fallande ordning ( σ ₁ ( T ), σ ₂ ( T ), …). Det största singularvärdet σ ₁ ( T ) är lika med operatornormen för T (se Min-max-satsen ) .

Visualisering av en singular värdenedbrytning (SVD) av en 2-dimensionell, verklig skjuvningsmatris M . Först ser vi enhetsskivan i blått tillsammans med de två kanoniska enhetsvektorerna . Vi ser då verkan av M , som förvränger skivan till en ellips . SVD delar upp M i tre enkla transformationer: en rotation V ^* , en skalning Σ längs de roterade koordinataxlarna och en andra rotation U . Σ är en (kvadrat, i det här exemplet) diagonalmatris som i sin diagonal innehåller singularvärdena för M , som representerar längderna σ ₁ och σ ₂ av ellipsens halvaxlar .

Om T verkar på det euklidiska rummet $\mathbb {R} ^{n}$ , finns det en enkel geometrisk tolkning av singularvärdena: Betrakta bilden av $T$ av enhetssfären ; detta är en ellipsoid , och längderna på dess halvaxlar är singularvärdena för $T$ (figuren ger ett exempel i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} )$ .

Singularvärdena är absolutvärdena för egenvärdena för en normalmatris A , eftersom spektralsatsen kan tillämpas för att erhålla enhetsdiagonalisering av $A$ som $A=U\Lambda U ^{*}$ . Därför är ${\textstyle {\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\Lambda ^{*}\Lambda U^{*}}}=U\left|\Lambda \right|U^ {*}}$ .

De flesta normer för Hilbert-rymdoperatorer som studerats definieras med s -tal. Till exempel Ky Fan - k -normen summan av första k singularvärden, spårnormen är summan av alla singularvärden och Schattennormen är p : te roten av summan av p: te potenserna av singularen värden. Observera att varje norm endast definieras på en speciell klass av operatorer, därför s -nummer användbara för att klassificera olika operatorer.

I det finita dimensionella fallet kan en matris alltid dekomponeras i formen $\mathbf {U\Sigma V^{*}}$ , där $\mathbf {U}$ och $\mathbf {V^{*}}$ är enhetliga matriser och $\mathbf {\Sigma }$ är en rektangulär diagonal matris med singulära värden liggande på diagonalen. Detta är singularvärdesupplösningen .

Grundläggande egenskaper

För $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ , och $i=1,2 ,\ldots ,\min\{m,n\}$ .

Min-max-sats för singularvärden . Här är $U:\dim(U)=i$ ett delrum av $\mathbb {C} ^{n}$ av dimensionen $i$ .

{\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{ 2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i }\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}

Matristransponering och konjugering ändrar inte singularvärden.

\sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\ höger).

För varje enhetlig $U\in \mathbb {C} ^{m\times m},V\in \mathbb {C} ^{n\times n}.$

\sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).

Relation till egenvärden:

\sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A \höger).

Relation till spårning :

\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}={\text{tr}}\ A^{ \ast }A

.

Om $A^{\top }A$ är full rang, är produkten av singulära värden ${\sqrt {\det A^{\top }A}}$ .

Om $AA^{\top }$ är full rang, är produkten av singulära värden ${\sqrt {\det AA^{\top }}}$ .

Om $A$ är full rang, är produkten av singularvärden $|\det A|$ .

Ojämlikheter om singulära värden

Se även.

Singularvärden för submatriser

För $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}.$

Låt $B$ beteckna $A$ med en av dess rader eller kolumner borttagen. Sedan $\sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{ i}(A)$
Låt $B$ beteckna $A$ med en av dess rader och kolumner borttagen. Sedan $\sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{ i}(A)$
Låt $B$ beteckna en $(mk)\times (nl)$ submatris till $A$ . Sedan $\sigma _{i+k+l}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)$

Singularvärden för A + B

För $A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}$

$\sum _{i=1 }^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}(\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B) ),\quad k=\min\{m,n\}$
$\sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B).\quad i,j\in \mathbb {N} ,\ i+j-1\leq \min\{m,n\}$

Singularvärden för AB

För $A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}$

${\ displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{ i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \ prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\summa _{i=1}^{k}\sigma _{i} ^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\ end{aligned}}}$
$\sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}( B)\quad i=1,2,\ldots ,n.$

För $A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}$

2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\left(A^{*}A+B^{*}B\right),\quad i=1 ,2,\ldots ,n.

Singularvärden och egenvärden

För $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ .

Ser $\lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots ,n.$
Anta $\left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|$ $\left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|$ . Sedan för $k=1,2,\ldots ,n$ $k=1,2,\ldots ,n$ :
1. Weyls teorem $\prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i} (A).$
2. För $p>0$ . $\sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).$

Historia

Detta koncept introducerades av Erhard Schmidt 1907. Schmidt kallade singularvärden för "egenvärden" på den tiden. Namnet "singular value" citerades först av Smithies 1937. 1957 bevisade Allahverdiev följande karaktärisering av det n : te s -talet:

s_{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|TL\|:L{\text{ är en operator med ändlig rang }}<n\,{\big \}} .

Denna formulering gjorde det möjligt att utvidga begreppet s -nummer till operatörer i Banach-rymden .

Se även