Nilpotent operatör

I operatorteorin sägs en begränsad operator T på ett Hilbertrum vara nilpotent om T ⁿ = 0 för något n . Det sägs vara kvasinilpotent eller topologiskt nilpotent om dess spektrum σ ( T ) = {0}.

Exempel

I det finita dimensionella fallet, dvs när T är en kvadratisk matris med komplexa poster, σ ( T ) = {0} om och endast om T liknar en matris vars enda poster som inte är noll är på superdiagonalen, med Jordans kanoniska form . Detta är i sin tur ekvivalent med T ⁿ = 0 för något n . Därför, för matriser, sammanfaller kvasinilpotens med nilpotens.

Detta är inte sant när H är oändligt dimensionell. Betrakta Volterra-operatorn , definierad enligt följande: betrakta enhetens kvadrat X = [0,1] × [0,1] ⊂ R ² , med Lebesgue-måttet m . På X definierar du (kärn)funktionen K by

$K(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if}}\;x\geq y\\0,&{\mbox{annars}}.\ slut{matris}}\höger.$

Volterra-operatorn är motsvarande integraloperator T på Hilbert-utrymmet L ² (0,1) som ges av

$Tf(x)=\int _{0}^{1}K(x,y)f(y)dy.$

Operatören T är inte nilpotent: ta f för att vara funktionen som är 1 överallt och direkt beräkning visar att T ⁿ f ≠ 0 (i betydelsen L ² ) för alla n . T är dock kvasinilpotent. Lägg först märke till att K är i L ² ( X , m ), därför är T kompakt . Genom de spektrala egenskaperna hos kompakta operatorer är varje icke-noll λ i σ ( T ) ett egenvärde. Men det kan visas att T inte har några egenvärden som inte är noll, därför är T kvasinilpotent.