Calkin korrespondens

Inom matematiken är Calkin-överensstämmelsen , uppkallad efter matematikern John Williams Calkin , en bijektiv överensstämmelse mellan tvåsidiga ideal av avgränsade linjära operatorer av ett separerbart oändligt dimensionellt Hilbert-rum och Calkin-sekvensutrymmen (även kallat omarrangemang av invarianta sekvensutrymmen). Korrespondensen implementeras genom att mappa en operator till dess singulära värdesekvens .

Det härstammar från John von Neumanns studie av symmetriska normer på matrisalgebror . Den tillhandahåller en grundläggande klassificering och verktyg för att studera tvåsidiga ideal för kompakta operatörer och deras spår , genom att reducera problem med operatörsutrymmen till (mer lösbara) problem på sekvensutrymmen.

Definitioner

Ett dubbelsidigt ideal J av de avgränsade linjära operatorerna B ( H ) på ett separerbart Hilbertrum H är ett linjärt delrum så att AB och BA tillhör J för alla operatorer A från J och B från B ( H ).

Ett sekvensutrymme j inom l _∞ kan bäddas in i B ( H ) med hjälp av en godtycklig ortonormal bas { e _n } _{n =0} ^∞ . Associera till en sekvens a från j den avgränsade operatorn

${\rm {diag}}(a)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}|e_{n}\rangle \langle e_{n}|,$

där bra–ket-notation har använts för de endimensionella projektionerna på delutrymmena som spänns av individuella basvektorer. Sekvensen av absoluta värden för posterna i en i fallande ordning kallas den minskande omarrangeringen av en . Den minskande omordningen kan betecknas μ( n , a ), n = 0, 1, 2, ... Observera att den är identisk med singularvärdena för operatorn diag( a ). En annan notation för den minskande omarrangemanget är en *.

Ett Calkin (eller omarrangemang invariant) sekvensutrymme är ett linjärt delrum j av de avgränsade sekvenserna l _∞ så att om a är en avgränsad sekvens och μ( n , a ) ≤ μ( n , b ), n = 0, 1, 2 , ..., för vissa b i j , så tillhör a j .

Korrespondens

Associera till ett tvåsidigt ideal J sekvensutrymmet j givet av

$j=\{a\in l_{\infty }:{\rm {diag}}(\mu (a))\in J\}.$

Associera till ett sekvensutrymme j det tvåsidiga idealet J som ges av

$J=\{A\in B(H):\mu (A)\in j\}.$

är μ( A ) och μ( a ) singularvärdena för operatorerna A respektive diag( a ). Calkins teorem säger att de två kartorna är omvända till varandra. Vi får,

Calkin-korrespondens: De tvåsidiga idealen för avgränsade operatorer på ett oändligt dimensionellt separerbart Hilbert-rum och Calkin-sekvensutrymmena är i bijektiv överensstämmelse.

Det är tillräckligt att bara känna till sambandet mellan positiva operatorer och positiva sekvenser, därför implementerar kartan μ: J ₊ → j ₊ från en positiv operator till dess singularvärden Calkin-överensstämmelsen.

Ett annat sätt att tolka Calkin-överensstämmelsen, eftersom sekvensutrymmet j är likvärdigt som ett Banach-utrymme med operatorerna i operatoridealet J som är diagonala med avseende på en godtycklig ortonormal bas, är att tvåsidiga ideal helt bestäms av deras diagonal. operatörer.

Exempel

Antag att H är ett separerbart oändligt dimensionellt Hilbert-rum.

• Begränsade operatörer . Det felaktiga dubbelsidiga idealet B ( H ) motsvarar l _∞ .
• ₀ Kompakta operatörer . Det korrekta och normslutna tvåsidiga idealet K ( H ) motsvarar c , sekvensutrymmet som konvergerar till noll .
• Operatorer med ändlig rangordning . Den minsta tvåsidiga ideala F ( H ) av finita rangoperatorer motsvarar c ₀₀ , rymden av sekvenser med finita termer som inte är noll.
• Schatten p -ideal . Schatten p -idealerna Lp , p ≥ 1, motsvarar l _p sekvensutrymmena _- . Speciellt motsvarar spårklassoperatorerna l ₁ och Hilbert-Schmidt-operatorerna motsvarar l ₂ .
• Svag- L _p ideal. De svaga- L _p -idealen L _{p ,∞} , p ≥ 1, motsvarar de svaga- l _p -sekvensutrymmena .
• Lorentz ψ-ideal. Lorentz ψ-ideal för en ökande konkav funktion ψ : [0,∞) → [0,∞) motsvarar Lorentz-sekvensutrymmena .

Anteckningar

•   B. Simon (2005). Spåra ideal och deras tillämpningar . Providence, Rhode Island: Amer. Matematik. Soc. ISBN 978-0-8218-3581-4 .

•   S. Lord, FA Sukochev. D. Zanin (2012). Singular spår: teori och tillämpningar . Berlin: De Gruyter. ISBN 978-3-11-026255-1 .