Sfärförpackning i en cylinder

Illustration av en pelarstruktur sammansatt av golfbollar.

Sfärpackning i en cylinder är ett tredimensionellt packningsproblem med syftet att packa ett givet antal identiska sfärer inuti en cylinder med specificerad diameter och längd. För cylindrar med diametrar i samma storleksordning som sfärerna resulterar sådana packningar i vad som kallas kolumnära strukturer .

Dessa problem studeras omfattande i sammanhanget av biologi , nanovetenskap , materialvetenskap , och så vidare på grund av den analoga sammansättningen av små partiklar (som celler och atomer ) till cylindriska kristallina strukturer .

Utseende inom vetenskapen

Kolumnstrukturer förekommer inom olika forskningsområden på ett brett spektrum av längdskalor från meter ner till nanoskala. I den största skalan kan sådana strukturer hittas i botaniken där frön från en växt samlas runt stjälken. I mindre skala kristalliserar bubblor av samma storlek till kolumnformade skumstrukturer när de är inneslutna i ett glasrör. Inom nanovetenskap kan sådana strukturer hittas i konstgjorda föremål som är på längdskalor från mikron till nanoskala.

Bären från Arum maculatum bildar en kolumnstruktur ( Bushy Park ) .

Botanik

Kolumnstrukturer studerades först inom botanik på grund av deras olika utseende i växter. D'Arcy Thompson analyserade ett sådant arrangemang av växtdelar runt stammen i sin bok " On Growth and Form " (1917). Men de är också av intresse inom andra biologiska områden, inklusive bakterier , virus, mikrotubuli och zebrafiskens notokord .

En av de största blommorna där bären ordnar sig i en vanlig cylindrisk form är titanarum . Denna blomma kan bli upp till 3 meter hög och finns ursprungligen uteslutande i västra Sumatra och västra Java.

På mindre längdfjäll bildar bären av Arum maculatum en pelarstruktur på hösten. Dess bär liknar likblommans, eftersom titanarum är dess större släkting. Gökpinten är dock mycket mindre på höjden (höjd ≈ 20 cm). Bärarrangemanget varierar med stam till bärstorlek.

En annan växt som kan hittas i många trädgårdar i bostadsområden är den australiensiska flaskborsten . Den sätter ihop sina frökapslar runt en gren av växten. Strukturen beror på storleken på frökapseln till grenstorleken.

Skum

Sfäriska såpbubblor inneslutna i ett cylindriskt glasrör.

En ytterligare förekomst av ordnade kolumnarrangemang på makroskalan är skumstrukturer inneslutna i ett glasrör. De kan realiseras experimentellt med lika stora såpbubblor inuti ett glasrör, producerade genom att blåsa luft med konstant gasflöde genom en nål doppad i en lösning av ytaktivt medel. Genom att placera den resulterande skumkolonnen under tvångsdränering (mata den med lösning av ytaktivt medel från toppen), kan skummet justeras till antingen en torr (bubblor formade som polyeder ) eller våta (sfäriska bubblor) struktur.

På grund av denna enkla experimentella uppställning har många kolumnära strukturer upptäckts och undersökts i samband med skum med experiment såväl som simulering. Många simuleringar har utförts med Surface Evolver för att undersöka torr struktur eller den hårda sfärmodellen för våtgränsen där bubblorna är sfäriska.

I sicksackstrukturen staplas bubblorna ovanpå varandra i en kontinuerlig w-form. För denna speciella struktur rapporterades en rörlig gränsyta med ökande vätskefraktion av Hutzler et al. 1997. Detta inkluderade ett oväntat 180° vridningsgränssnitt, vars förklaring fortfarande saknas.

Den första experimentella observationen av en linjeglidningsstruktur upptäcktes av Winkelmann et al. i ett system av bubblor.

Ytterligare upptäckta strukturer inkluderar komplexa strukturer med inre sfärer/skumceller. Vissa torra skumstrukturer med inre celler visade sig bestå av en kedja av pentagonala dodekaedrar eller Kelvin-celler i mitten av röret. För många fler arrangemang av denna typ observerades det att det yttre bubbellagret är ordnat, där varje inre lager liknar en annan, enklare kolumnstruktur genom att använda röntgentomografi .

Nanovetenskap

Kolumnstrukturer har också studerats intensivt i samband med nanorör . Deras fysikaliska eller kemiska egenskaper kan ändras genom att fånga identiska partiklar inuti dem. Dessa görs vanligtvis genom att självmontera fullerener som C60 , C70 eller C78 till kolnanorör, men även bornitridnanorör

Sådana strukturer sätts också ihop när partiklar beläggs på ytan av en sfärocylinder som i samband med farmaceutisk forskning. Lazaro et al. undersökte morfologierna hos viruskapsidproteiner som är självmonterade runt metallnanostavar. Läkemedelspartiklar belades så tätt som möjligt på en sfärocylinder för att ge den bästa medicinska behandlingen.

Wu et al. byggda stavar i storleken flera mikron. Dessa mikrostavar skapas genom att tätt packa kolloidala kiseldioxidpartiklar inuti cylindriska porer. Genom att stelna de sammansatta strukturerna avbildades mikrostavarna och undersöktes med användning av svepelektronmikroskopi (SEM).

Kolumnarrangemang undersöks också som en möjlig kandidat för optiska metamaterial (dvs material med negativt brytningsindex) som kan användas i superlinser eller optisk cloaking. Tanjeem et al. konstruerar en sådan resonator genom att självmontera nanosfärer på cylinderns yta. Nanosfärerna är suspenderade i en SDS- lösning tillsammans med en cylinder med diameter ${\textstyle D}$ , mycket större än diametern på nanosfärerna $d$ ( ${\textstyle D/d\ ca 3{\text{ till }}5}$ ). Nanosfärerna fastnar sedan på cylindrarnas yta genom en utarmningskraft .

Klassificering med hjälp av fyllotaktisk notation

Det vanligaste sättet att klassificera ordnade kolumnära strukturer använder den phyllotactic notationen , adopterad från botaniken. Det används för att beskriva arrangemang av blad av en växt, kottar eller ananas, men också plana mönster av buketter i ett solroshuvud. Medan arrangemanget i det förra är cylindriskt, är spiralerna i det senare anordnade på en skiva. För kolumnformiga strukturer antas phyllotaxis i samband med cylindriska strukturer.

Den fyllotaktiska notationen beskriver sådana strukturer med en triplett av positiva heltal $(l=m+n,m,n)$ med ${\textstyle l\geq m\geq n}$ . Varje nummer ${\textstyle l}$ , $m$ och ${\textstyle n}$ beskriver en familj av spiraler i den 3-dimensionella packningen. De räknar antalet spiraler i varje riktning tills spiralen upprepas. Denna notation gäller dock endast triangulära gitter och är därför begränsad till de ordnade strukturerna utan inre sfärer.

Typer av ordnade kolumnstrukturer utan inre sfärer

Ordnade kolumnära strukturer utan inre sfärer kategoriseras i två separata klasser: enhetliga och line-slip strukturer. För varje struktur som kan identifieras med tripletten ${\textstyle (l,m,n)}$ finns det en enhetlig struktur och minst en radglidning.

Enhetlig struktur

Ett exempel på enhetlig struktur och dess motsvarande utrullade kontaktnät. Den identiska närheten av varje sfär definierar en enhetlig struktur.

En enhetlig struktur identifieras genom att varje sfär har samma antal kontaktande grannar. Detta ger varje sfär ett identiskt kvarter. I exempelbilden på sidan har varje sfär sex angränsande kontakter.

Antalet kontakter visualiseras bäst i det utrullade kontaktnätet. Den skapas genom att rulla ut kontaktnätverket till ett plan med höjd ${\textstyle z}$ och azimutvinkel ${\textstyle \theta }$ för varje sfär. För en enhetlig struktur som den i exempelbilden leder detta till ett regelbundet hexagonalt gitter . Varje punkt i detta mönster representerar en sfär av packningen och varje linje en kontakt mellan intilliggande sfärer.

För alla enhetliga strukturer över ett diameterförhållande på $D/d>2,0$ är det vanliga hexagonala gittret dess karaktäristiska egenskap eftersom denna gittertyp har det maximala antalet kontakter. För olika enhetliga strukturer $(l,m,n)$ varierar det utrullade kontaktmönstret endast genom en rotation i ${\textstyle z{\text{-}}\ theta }$ plan. Varje enhetlig struktur kännetecknas således av sin periodicitetsvektor ${\textstyle V}$ , som definieras av den fyllotaktiska tripletten $(l,m,n)$ .

Line-slip struktur

Ett exempel på line-slip- struktur och dess motsvarande utrullade kontaktnät. En linjeglidning identifieras genom förlust av kontakter.

För varje enhetlig struktur finns det också en relaterad men annorlunda struktur, som kallas ett line-slip-arrangemang.

Skillnaderna mellan enhetliga och line-slip strukturer är marginella och svåra att upptäcka från bilder av sfärpackningarna. Men genom att jämföra deras utrullade kontaktnätverk kan man upptäcka att vissa linjer (som representerar kontakter) saknas.

Alla sfärer i en enhetlig struktur har samma antal kontakter, men antalet kontakter för sfärer i en linjeglidning kan skilja sig från sfär till sfär. För exemplet med linjeglidning i bilden till höger räknar vissa sfärer fem och andra sex kontakter. Sålunda kännetecknas en linjeglidningsstruktur av dessa gap eller förlust av kontakter.

En sådan struktur kallas linjeglidning eftersom kontaktförlusterna sker längs en linje i det utrullade kontaktnätet. Det identifierades först av Picket et al. , men inte benämnt line slip.

Riktningen, i vilken förlusten av kontakter inträffar, kan betecknas i den fyllotaktiska notationen ${\textstyle (l,m,n)}$ , eftersom varje nummer representerar en av gittervektorerna i det hexagonala gittret. Detta anges vanligtvis med en fet siffra.

Genom att klippa raden av sfärer under kontaktförlusten mot en rad ovanför kontaktförlusten kan man regenerera två enhetliga strukturer relaterade till denna linjeglidning. Således är varje linjeglidning relaterad till två intilliggande enhetliga strukturer, en vid ett högre och en med ett lägre diameterförhållande ${\textstyle D/d}$ .

Winkelmann et al. var de första att experimentellt realisera en sådan struktur med hjälp av såpbubblor i ett system av deformerbara sfärer.

Täta kulpackningar i cylindrar

Optimal packningsfraktion för hårda sfärer med diameter $d$ inuti en cylinder med diameter $D$ .

Kolumnstrukturer uppstår naturligt i samband med täta hårda kulpackningar inuti en cylinder. Mughal et al. studerade sådana packningar med hjälp av simulerad glödgning upp till diameterförhållandet ${\textstyle D/d=2,873}$ för cylinderdiameter ${\textstyle D}$ till sfärdiameter ${\textstyle d}$ . Detta inkluderar vissa strukturer med inre sfärer som inte är i kontakt med cylinderväggen.

De beräknade packningsfraktionen för alla dessa strukturer som en funktion av diameterförhållandet. Vid topparna av denna kurva ligger de enhetliga strukturerna. Mellan dessa diskreta diameterförhållanden finns lingliderna med en lägre packningsdensitet. Deras packningsfraktion är betydligt mindre än den för en oavgränsad gitterpackning såsom fcc , bcc eller hcp på grund av den fria volymen som den cylindriska inneslutningen lämnar.

Den rika variationen av sådana ordnade strukturer kan också erhållas genom sekventiell avsättning av sfärerna i cylindern. Chan reproducerade alla täta sfärpackningar upp till ${\textstyle D/d<2,7013}$ med hjälp av en algoritm, där sfärerna placeras sekventiellt släppta inuti cylindern.

Mughal et al. upptäckte också att sådana strukturer kan relateras till skivpackningar på en yta av en cylinder. Kontaktnätverket för båda packningarna är identiska. För båda förpackningstyperna fann man att olika enhetliga strukturer är förbundna med varandra genom linslip.

Fu et al. utökade detta arbete till högre diameterförhållanden ${\textstyle D/d<4.0}$ med linjär programmering och upptäckte 17 nya täta strukturer med inre sfärer som inte är i kontakt med cylinderväggen.

En liknande variation av täta kristallina strukturer har också upptäckts för kolumnformiga packningar av sfäroider genom Monte Carlo-simuleringar . Sådana packningar inkluderar akirala strukturer med specifika sfäroida orienteringar och kirala spiralformade strukturer med roterande sfäroidorientering.

Kolumnstrukturer skapade av snabba rotationer

Kolumnstrukturer sätts ihop genom att använda snabba rotationer runt en central axel för att driva sfärerna mot denna axel.

En ytterligare dynamisk metod för att montera sådana strukturer introducerades av Lee et al . Här placeras polymerpärlor tillsammans med en vätska med högre densitet inuti en roterande svarv .

När svarven är statisk flyter pärlorna ovanpå vätskan. Med ökande rotationshastighet centripetalkraften sedan vätskan utåt och pärlorna mot den centrala axeln. Därför är pärlorna väsentligen begränsade av en potential som ges av rotationsenergin

$$E_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}mR^{2}\omega ^{2},$$

där ${\textstyle m}$ är pärlornas massa, ${\textstyle R}$ avståndet från den centrala axeln och ${\textstyle \omega }$ rotationshastigheten. På grund av ${\textstyle R^{2}}$ -proportionaliteten liknar begränsningspotentialen den hos en cylindrisk harmonisk oscillator .

Beroende på antal sfärer och rotationshastighet upptäcktes en mängd ordnade strukturer som är jämförbara med täta sfärförpackningar.

En omfattande teori för detta experiment utvecklades av Winkelmann et al. Den är baserad på analytiska energiberäkningar med hjälp av en generisk sfärmodell och förutsäger peritektoidstrukturövergångar .

Se även

• Sfärförpackning
• Tätpackning av lika sfärer
• Packningsproblem

externa länkar

• Becker, Aaron T. och Huang, L. "Packing spheres into a Thin Cylinder" . MathWorld .