Étale algebra

I kommutativ algebra är en étale algebra över ett fält en speciell typ av algebra , en som är isomorf till en finit produkt av finita separerbara fältförlängningar. Dessa kan också kallas separerbara algebror , även om den senare termen ibland används i en bredare betydelse.

Definitioner

Låt K vara ett fält . Låt L vara en kommutativ enhetlig associativ K -algebra. Sedan kallas L en étale K -algebra om något av följande ekvivalenta villkor gäller:

• $L\otimes _{K}E\simeq E^{n}$ för någon fältförlängning E av K och något icke-negativt heltal n .
• $L\otimes _{K}{\overline {K}}\simeq {\overline {K}}^{n}$ för någon (eller varje) algebraisk stängning ${\overline {K}}$ av K och något icke-negativt heltal n .
• L är isomorf till en finit produkt av finita separerbara fältförlängningar av K .
• L är ändlig dimensionell över K och spårformen Tr( xy ) är icke degenererad.
• Morfismen hos scheman $\operatorname {Spec} L\to \operatorname {Spec} K$ är en etale morfism .

Exempel

Q $\mathbb {Q}$ -algebra $\mathbb {Q} (i)$ étale eftersom det är en finit separerbar fälttillägg.

R $\mathbb {R}$ -algebra $\mathbb {R} [x]/(x^{2})$ inte étale, eftersom $\mathbb {R} [x]/(x^{2})\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \simeq \mathbb {C} [x]/(x^{2})$ .

Egenskaper

Låt G beteckna den absoluta Galois-gruppen av K . Då är kategorin étale K -algebras ekvivalent med kategorin ändliga G -mängder med kontinuerlig G -verkan. I synnerhet klassificeras étale algebror av dimension n av konjugationsklasser av kontinuerliga homomorfismer från G Sn _till den symmetriska gruppen . Dessa globaliseras till t.ex. definitionen av etale grundläggande grupper och kategoriserar till Grothendiecks Galois-teori .

Anteckningar

•    Bourbaki, N. (1990), Algebra. II. Kapitel 4–7. , Elements of Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-19375-8 , MR 1080964
• Milne, James, Fältteori http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf