Enkel förlängning

Inom fältteori är en enkel förlängning en fältförlängning som genereras genom adjunktion av ett enda element. Enkla förlängningar är väl förstådda och kan klassificeras helt.

Primitiva elementsatsen ger en karakterisering av de finita enkla förlängningarna.

Definition

En fältförlängning L / K kallas en enkel förlängning om det finns ett element θ i L med

$L=K(\theta ).$

Detta betyder att varje element i L kan uttryckas som en rationell bråkdel i θ , med koefficienter i K .

Det finns två olika sorters enkla tillägg.

Elementet θ kan vara transcendentalt över K , vilket betyder att det inte är en rot till något polynom med koefficienter i K . I detta fall är $K(\theta )$ isomorf till fältet för rationella funktioner $K(X).$

Annars är θ algebraisk över K ; det vill säga θ är en rot av ett polynom över K . Det moniska polynomet $F(X)$ med minimal grad n , med θ som en rot, kallas det minimala polynomet av θ . Dess grad är lika med graden av fältförlängningen , det vill säga dimensionen av L sett som ett K - vektorutrymme . I det här fallet kan varje element av $K(\theta )$ uttryckas unikt som ett polynom i θ av grad mindre än n , och $K(\theta )$ är isomorf till kvotringen $K[X]/(F(X)).$

kallas elementet θ för ett genererande element eller primitivt element för förlängningen; man säger också att L genereras över K av θ .

Till exempel är varje finit fält en enkel förlängning av primfältet för samma egenskap . Mer exakt, om p är ett primtal och ${\displaystyle q=p^{d},} är$ fältet $\mathbb {F} _{q}$ av q element ett enkelt förlängning av graden d av $\mathbb {F} _{p}.$ Detta betyder att det genereras av ett element θ som är en rot av ett irreducerbart polynom av grad d .

Men i fallet med finita fält, hänvisas θ normalt inte till som ett primitivt element , även om det passar definitionen ovan. Anledningen är att det i fallet med finita fält finns en konkurrerande definition av ett primitivt element. Faktum är att ett primitivt element i ett ändligt fält är ett element g så att varje element som inte är noll i fältet är en potens av g ; det vill säga en generator av fältets multiplikativa grupp (se Finita field § Multiplikativ struktur och Primitivt element (finita field) för detaljer). Ett primitivt element (i denna mening) är ett genererande element (eftersom en heltalspotens är ett specialfall av ett polynom), men det omvända är falskt.

Sammanfattningsvis kräver den allmänna definitionen av en enkel förlängning att alla element i fältet kan uttryckas som polynom i en enda generator , som också kallas ett primitivt element . I fallet med finita fält är varje förlängning enkel, och alla element som inte är noll är rena krafter av ett enda element som också kallas ett primitivt element . För att särskilja dessa betydelser i sfären av ändliga fält, använder man generellt termen "generator" för den första betydelsen, och man reserverar "primitivt element" för den andra betydelsen. Termerna för fältprimitiva element för den första begreppet och gruppprimitiva element för den andra används ibland.

Struktur av enkla förlängningar

Om L är en enkel förlängning av K genererad av θ så är det det minsta fältet som innehåller både K och θ . Detta innebär att varje element i L kan erhållas från elementen i K och θ genom ändligt många fältoperationer (addition, subtraktion, multiplikation och division).

Betrakta polynomringen K [ X ]. En av dess huvudsakliga egenskaper är att det finns en unik ringhomomorfism

${\begin{aligned}\varphi :K[X]&\rightarrow L\\p(X)&\mapsto p(\theta )\,.\end{aligned}}$

Två fall kan förekomma.

Om $\varphi$ är injektiv , kan den utökas till fältet av bråken K ( X ) av K [ X ]. Eftersom vi har antagit att L genereras av θ , innebär detta att $\varphi$ är en isomorfism från K ( X ) till L . Detta innebär att varje element i L är lika med en irreducerbar bråkdel av polynom i θ , och att två sådana irreducerbara bråkdelar är lika om och endast om den ena kan passera från den ena till den andra genom att multiplicera täljaren och nämnaren med samma icke-noll element av K .

Om $\varphi$ inte är injektiv, låt p (X) vara en generator av dess kärna , som alltså är det minimala polynomet av θ . Bilden av $\varphi }$ displaystyle är en subring av L , och därmed en integral domän . Detta innebär att p är ett irreducerbart polynom, och därmed att kvotringen $K[X]/\langle p\rangle$ är ett fält. Eftersom L genereras av θ , är $\varphi$ surjektiv , och $\varphi$ inducerar en isomorfism från $K[X]/\langle p\rangle$ till L . Detta innebär att varje element i L är lika med ett unikt polynom i θ , av grad lägre än graden av förlängningen.

Exempel

• C : R (genererad av i )
• Q ( ${\sqrt {2}}$ ): Q (genererad av ${\sqrt {2}}$ ), mer generellt är vilket talfält som helst (dvs. en finit förlängning av Q ) en enkel förlängning Q ( α ) för vissa α . Till exempel, $\mathbf {Q} ({\sqrt {3}},{\sqrt {7}})$ genereras av ${\sqrt {3} }+{\sqrt {7}}$ .
• F ( X ): F (genererad av X ).

•    Roman, Steven (1995). Fältteori . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 158. New York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94408-7 . Zbl 0816.12001 .