Stick nummer

2,3 torus (eller trefoil) knut har ett pinnenummer på sex.

I den matematiska teorin om knutar är pinnnumret en knutinvariant som intuitivt ger det minsta antalet raka "pinnar" som fastnat ände mot ände som behövs för att bilda en knut . Specifikt, givet en knut $K$ , är stickantalet för $K$ , betecknat med $\operatorname {stick} (K)$ , det minsta antalet kanter på en polygonal bana som motsvarar K $\displaystyle K}$ .

Kända värden

Sex är det lägsta sticknumret för någon icke-trivial knut. Det finns få knop vars pinnenummer kan bestämmas exakt. Gyo Taek Jin bestämde sticknumret för a $(p,q)$ - torusknut $T(p,q)$ om parametrarna $p$ och $q$ är inte för långt från varandra:

$\operatorname {stick} (T(p,q))=2q$ , om $2\leq p<q\leq 2p.$

Samma resultat hittades oberoende ungefär samtidigt av en forskargrupp kring Colin Adams , men för ett mindre antal parametrar.

Gräns

Fyrkantig knut = trefoil + trefoil reflektion.

Sticknumret för en knopsumma kan vara övre gränsen av sticknumren för summanterna:

$${\text{stick}}(K_{1}\#K_{2})\leq {\text{ stick}}(K_{1})+{\text{stick}}(K_{2})-3\,$$

Besläktade invarianter

Sticknumret för en knut $K$ är relaterat till dess korsningsnummer $c(K)$ med följande olikheter:

$${\frac {1}{2}}(7+{\sqrt {8\,{\text{c}}(K)+1}})\leq {\text{stick}}(K) \leq {\frac {3}{2}}(c(K)+1).$$

Dessa ojämlikheter är både täta för trefoil-knuten , som har ett korsningsnummer på 3 och ett sticknummer på 6.

Introduktionsmaterial

• Adams, CC (maj 2001), "Varför knutar: knutar, molekyler och sticknummer" , Plus Magazine . En lättillgänglig introduktion till ämnet, även för läsare med liten matematisk bakgrund.
•   Adams, CC (2004), The Knot Book: An elementary introduction to the matematical theory of knots , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3678-1 .

Forskningsartiklar

•   Adams, Colin C .; Brennan, Bevin M.; Greilsheimer, Deborah L.; Woo, Alexander K. (1997), "Pinnnummer och sammansättning av knutar och länkar", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 6 (2): 149–161, doi : 10.1142/S0218216597000121 , MR 1452436
• Calvo, Jorge Alberto (2001), "Geometric knot spaces and polygonal isotopy", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 10 (2): 245–267, arXiv : math/9904037 , doi : 10.1142/S021820 82181 8218201, 8218201 , 4818201  
• Eddy, Thomas D.; Shonkwiler, Clayton (2019), Nya sticknummergränser från slumpmässigt urval av instängda polygoner , arXiv : 1909.00917
• ) , "Polygon index and superbridge indices of torus knots and links", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 6 (2): 281–289, doi : 10.1142/S02182165970001170 , 52444  
•   Negami, Seiya (1991), "Ramsey theorems for knots, links and spatial graphs", Transactions of the American Mathematical Society , 324 ( 2): 527–541, doi : 10.2307/2001731 , MR 1069741
•   Va, Youngsik; Oh, Seungsang (2011), "An upper bound on stick number of knots", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 20 (5): 741–747, arXiv : 1512.03592 , doi : 10.1142/S02180216511 , 3MR 36511

externa länkar

• Weisstein, Eric W. , "Stick number" , MathWorld
• " Pinnnummer för minimala stickknutar ", KnotPlot Research and Development Site .