Dualiserande kärve

I algebraisk geometri är den dualiserande bunten på ett korrekt schema X med dimension n över ett fält k en koherent bunt $\omega _{X}$ tillsammans med en linjär funktionell

t_{X}:\operatörsnamn {H} ^{n}(X,\omega _{X})\to k

som inducerar en naturlig isomorfism av vektorrum

\operatorname {Hom} _{X}(F,\omega _{X})\simeq \operatörsnamn {H} ^{n}(X,F)^{*},\,\varphi \mapsto t_{X}\circ \varphi

för varje koherent bunt F på X (det upphöjda * hänvisar till ett dubbelvektorutrymme ). Den linjära funktionella $t_{X}$ kallas en spårmorfism .

Ett par ${\displaystyle (\omega _{X},t_{X})} ,$ om det finns, är unikt upp till en naturlig isomorfism. Faktum är att i kategoriteorin är $\omega _{X}$ ett objekt som representerar den kontravarianta funktorn $} ^{n}(X,F)^{*}}$ ${\displaystyle F\mapsto \operatorname {$ H från kategorin koherenta skivor på X till kategorin k -vektorrum.

För en normal projektiv variant X existerar den dualiserande bunten och den är i själva verket den kanoniska bunten : $\omega _{X}={\mathcal {O}}_{X} (K_{X})$ där $K_{X}$ är en kanonisk divisor . Mer generellt finns den dualiserande bunten för vilket projektivt schema som helst.

Det finns följande variant av Serres dualitetssats : för ett projektivt schema X med ren dimension n och en Cohen–Macaulay-kärve F på X så att $\operatorname {Supp} (F)$ är av ren dimension n , det finns en naturlig isomorfism

\operatörsnamn {H} ^{i}(X,F)\simeq \operatörsnamn {H} ^{ni}(X,\operatörsnamn {{\mathcal {H}}om} (F,\omega _{X}))^{*}

.

I synnerhet, om X i sig är ett Cohen-Macaulay-schema , gäller ovanstående dualitet för alla lokalt fria kärve.

Relativt dualiserande kärve

Givet en korrekt ändligt presenterad morfism av scheman $f:X\to Y$ , ( Kleiman 1980 ) definierar den relativa dualiserande bunten $\omega _{f}$ eller $\omega _{X/Y}$ så att för varje öppen delmängd $U\subset Y$ och en kvasikoherent bunt $F$ på $U$ , det finns en kanonisk isomorfism

(f|_{U})^{!}F=\omega _{f}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}F

,

som är funktionell i $F$ och pendlar med öppna restriktioner.

Exempel : Om $f$ är en lokal fullständig skärningsmorfism mellan scheman av ändlig typ över ett fält, så har (per definition) varje punkt i $X$ en öppen grannskap $U$ och en faktorisering ${\displaystyle f|_{U}:U{\overset {i}{\to }}Z{\overset {\pi }{\to }}Y} , en$ vanlig inbäddning av kodimension $k$ följt av en jämn morfism av relativ dimension $r$ . Sedan

\omega _{f}|_{U}\simeq \wedge ^{r}i^{*}\Omega _{\pi } ^{1}\otimes \wedge ^{k}N_{U/Z}

där $\Omega _{\pi }^{1}$ är bunten av relativa Kähler-differentialer och $N_{U/Z}$ är den normala bunten till $i$ .

Exempel

Dualiserande bunt av en nodalkurva

För en jämn kurva C kan dess dualiserande bunt $\omega _{C}$ ges av den kanoniska bunten $\Omega _{C}^{1}$ .

För en nodkurva C med en nod p , kan vi betrakta normaliseringen $\pi :{\tilde {C}}\to C$ med två punkter x , y identifierade. Låt $\Omega _{\tilde {C}}(x+y)$ vara bunten av rationella 1-former på ${\tilde {C}}$ med möjliga enkla poler vid x och y , och låt $\Omega _{\tilde {C}}(x+y)_{0}$ vara den del som består av rationell 1- bildas med summan av rester vid x och y lika med noll. Sedan definierar den direkta bilden $\pi _{*}\Omega _{\tilde {C}}(x+y)_{0}$ en dualiserande bunt för nodalen kurva C. _ Konstruktionen kan enkelt generaliseras till nodkurvor med flera noder.

Detta används i konstruktionen av Hodge-bunten på det kompakterade modulutrymmet av kurvor : det tillåter oss att förlänga den relativa kanoniska bunten över gränsen som parametriserar nodalkurvor. Hodge-bunten definieras sedan som den direkta bilden av en relativ dualiserande bunt.

Dualiserande bunt av projektiva scheman

Som nämnts ovan finns den dualiserande bunten för alla projektiva scheman. För X ett slutet delschema av P ⁿ av kodimension r , kan dess dualiserande bunt ges som ${\mathcal {Ext}}_{\mathbf {P} ^{n}}^{r}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbf {P} ^{n}})$ . Med andra ord , man använder den dualiserande bunten på den omgivande ^Pn för att konstruera den dualiserande bunten på X.

Se även

Notera

Arbarello, E.; Cornalba, M.; Griffiths, PA (2011). Geometri av algebraiska kurvor . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 268. doi : 10.1007/978-3-540-69392-5 . ISBN 978-3-540-42688-2 . MR 2807457 .
Kleiman, Steven L. (1980). "Relativ dualitet för kvasikoherenta skivor" (PDF) . Compositio Mathematica . 41 (1): 39–60. MR 0578050 .
Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational geometri of algebraic varieties , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 134, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63277-5 , MR 1658959
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157

externa länkar