Linjärt system av divisorer

"Kodaira map" omdirigerar här. Ej att förväxla med Kodaira-Spencer-karta från kohomologiteori.

Ett linjärt system av divisorer algebraiserar den klassiska geometriska uppfattningen om en familj av kurvor , som i de apollonska cirklarna .

Inom algebraisk geometri är ett linjärt system av divisorer en algebraisk generalisering av den geometriska föreställningen om en familj av kurvor ; dimensionen av det linjära systemet motsvarar antalet parametrar i familjen.

Dessa uppstod först i form av ett linjärt system av algebraiska kurvor i det projektiva planet . Den antog en mer generell form, genom gradvis generalisering, så att man kunde tala om linjär ekvivalens av divisorer D på ett allmänt schema eller till och med ett ringat utrymme ( X , O _X ).

Linjära system med dimension 1, 2 eller 3 kallas en penna , ett nät eller en väv .

En karta som bestäms av ett linjärt system kallas ibland för Kodaira-kartan .

Definitioner

Givet en allmän variant ${\displaystyle X} är$ två divisorer $D,E\in {\text{Div}}(X)$ linjärt ekvivalenta om

$E=D+(f)\$

rationell funktion $) {\displaystyle k(X )}$ inte är noll $\displaystyle f}$ på $X$ , eller med andra ord ett icke-noll element $f$ i funktionsfältet . Här $(f)$ divisorn för nollor och poler för funktionen $f$ .

Observera att om $X$ har singulära punkter är begreppet "divisor" i sig tvetydigt ( Cartier divisors , Weil divisors : se divisor (algebraisk geometri) ). Definitionen i det fallet brukar sägas med större försiktighet (med användning av inverterbara skivor eller holomorfa linjebuntar ) ; se nedan.

Ett komplett linjärt system på $X$ definieras som mängden av alla effektiva divisorer som är linjärt ekvivalenta med någon given divisor $D\in {\text{Div}}(X)$ . Det betecknas $|D|$ . Låt ${\mathcal {L}}$ vara linjebunten som är associerad med $D$ . I fallet att $X$ är en icke-singular projektiv variant, mängden $|D|$ är i naturlig bijektion med $(\Gamma (X,{\mathcal {L}})\smallsetminus \{0\ })/k^{\ast },$ genom att associera elementet $E=D+(f)$ av $|D|$ till mängden icke-noll-multiplar av $f$ (detta är väldefinierat eftersom två icke-noll-rationella funktioner har samma divisor om och endast om de är icke-noll-multiplar av varje Övrig). Ett komplett linjärt system $|D|$ är därför ett projektivt rum.

Ett linjärt system ${\mathfrak {d}}}$$\Gamma (X,{\mathcal {L}}).$ är då ett projektivt delrum av ett komplett linjärt system, så det motsvarar ett vektordelrum W av Dimensionen för det linjära systemet ${\mathfrak {d}}$ är dess dimension som ett projektivt rum. Därför $\dim {\mathfrak {d}}=\dim W-1$ .

Linjära system kan också introduceras med hjälp av linjebunten eller inverterbar buntspråk . I dessa termer motsvarar divisorer $D$ ( Cartier divisors , för att vara exakt) linjebuntar, och linjär ekvivalens av två divisorer betyder att motsvarande linjebuntar är isomorfa.

Exempel

Linjär ekvivalens

Betrakta linjebunten ${\mathcal {O}}(2)$ på $\mathbb {P} ^{3}$ vars sektioner $s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))$ definierar kvadriska ytor. För den associerade divisorn $D_{s}=Z(s)$ är den linjärt ekvivalent med vilken annan divisor som helst som definieras av försvinnande lokus för något $t\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))$ med den rationella funktionen $\left(t/ s\right)$ (Proposition 7.2). Till exempel, divisorn $D$ associerad med försvinnande lokus för $x^{2}+y^{2}+z^{2}+w ^{2}$ är linjärt ekvivalent med divisorn $E$ associerad med försvinnande lokus för $xy$ . Sedan finns det ekvivalensen av divisorer

$D=E+\left({\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}+ w^{2}}{xy}}\right)$

Linjära system på kurvor

Ett av de viktiga kompletta linjära systemen på en algebraisk kurva $C$ av släktet $g$ ges av det fullständiga linjära systemet som är associerat med den kanoniska divisorn ${\displaystyle K} ,$ betecknad $|K|=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))$ . Denna definition följer av sats II.7.7 i Hartshorne eftersom varje effektiv divisor i det linjära systemet kommer från nollorna i någon sektion av $\omega _{C}$ .

Hyperelliptiska kurvor

En tillämpning av linjära system används vid klassificeringen av algebraiska kurvor. En hyperelliptisk kurva är en kurva $C$ med en grad $2$ morfism $f:C\to \mathbb {P} ^{1}$ . För fallet $g=2$ är alla kurvor hyperelliptiska: Riemann-Roch-satsen ger då graden av $K_{C}$ är $2g- 2=2$ och $h^{0}(K_{C})=2$ , därför finns det en grad $2$ karta till $\mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))$ .

g _r ^d

A $g_{r}^{d}$ är ett linjärt system ${\mathfrak {d}}$ på en kurva $C$ som har graden $d$ och dimension $r$ . Till exempel har hyperelliptiska kurvor en $g_{2}^{1}$ sedan $|K_{C}|$ definierar en. Faktum är att hyperelliptiska kurvor har en unik $g_{2}^{1}$ från proposition 5.3. En annan närliggande uppsättning exempel är kurvor med en $g_{1}^{3}$ som kallas trigonala kurvor . Faktum är att vilken kurva som helst har en $g_{1}^{d}$ för $d\geq (1/2)g+1$ .

Linjära system av hyperytor i ett projektivt utrymme

Betrakta linjebunten ${\mathcal {O}}(d)$ över $\mathbb {P} ^{n}$ . Om vi ​​tar globala sektioner $V=\Gamma ({\mathcal {O}}(d))$ , då kan vi ta dess projektivisering $\mathbb {P} (V)$ . Detta är isomorft till $\mathbb {P} ^{N}$ där

$N={\binom {n+d}{n}}-1$

Sedan, genom att använda valfri inbäddning $\mathbb {P} ^{k}\to \mathbb {P} ^{N}$ kan vi konstruera ett linjärt system med dimensionen $k$ .

Linjärt system av koner

Huvudartikel: Linjärt system av koner

Karakteristiskt linjärt system av en familj av kurvor

Det karakteristiska linjära systemet för en familj av kurvor på en algebraisk yta Y för en kurva C i familjen är ett linjärt system som bildas av kurvorna i familjen som är oändligt nära C .

I moderna termer är det ett delsystem av det linjära systemet som är associerat med normalbunten till $C\hookrightarrow Y$ . Observera att ett karakteristiskt system inte behöver vara komplett; i själva verket är frågan om fullständighet något som studeras utförligt av den italienska skolan utan en tillfredsställande slutsats; Nuförtiden Kodaira–Spencer-teorin användas för att svara på frågan om fullständigheten.

Andra exempel

Cayley -Bacharach-satsen är en egenskap hos en kubikpenna, som säger att baslokuset uppfyller en "8 implicerar 9" egenskap: varje kubik som innehåller 8 av punkterna innehåller nödvändigtvis den 9:e.

Linjära system i birational geometri

I allmänhet linjära system blev ett grundläggande verktyg för birational geometri som praktiseras av den italienska skolan för algebraisk geometri . De tekniska kraven blev ganska stränga; senare utveckling klargjorde ett antal frågor. Beräkningen av de relevanta dimensionerna - Riemann-Roch-problemet som det kan kallas - kan bättre formuleras i termer av homologisk algebra . Effekten av att arbeta på varieteter med singulära punkter är att visa en skillnad mellan Weil-divisorer (i den fria abelska gruppen som genereras av undervarieteter av kodimension ett) och Cartier-divisorer som kommer från sektioner av inverterbara skivor .

Den italienska skolan gillade att reducera geometrin på en algebraisk yta till den för linjära system utskurna av ytor i trerum; Zariski skrev sin berömda bok Algebraiska ytor för att försöka dra ihop metoderna, som involverar linjära system med fasta baspunkter . Det fanns en kontrovers, en av de sista frågorna i konflikten mellan "gamla" och "nya" synpunkter inom algebraisk geometri, om Henri Poincarés karakteristiska linjära system av en algebraisk familj av kurvor på en algebraisk yta.

Baslokus

Baslokuset för ett linjärt system av divisorer på en varietet hänvisar till undervariationen av punkter "gemensamma" för alla divisorer i det linjära systemet . Geometriskt motsvarar detta den gemensamma skärningspunkten för sorterna. Linjära system kan ha eller inte ha ett baslokus – till exempel har pennan med affina linjer $x=a$ ingen gemensam skärningspunkt, men givet två (icke degenererade) koner i det komplexa projektiva planet, skär de varandra i fyra punkter (räknas med multiplicitet) och därmed har pennan de definierar dessa punkter som baslokus.

Mer exakt, anta att $|D|$ är ett komplett linjärt system av divisorer på någon sort $X$ . Tänk på korsningen

$\operatorname {Bl} (|D|):=\bigcap _{D_{\text{eff}}\in |D|}\operatörsnamn {Supp} D_{\text{eff}} \$

där $\operatorname {Supp}$ betecknar stödet för en divisor, och skärningspunkten tas över alla effektiva divisorer $D_{\text{eff}}$ i det linjära systemet. Detta är basen för $|D|$ (åtminstone som en uppsättning: det kan finnas mer subtila schemateoretiska överväganden om vad strukturen för $\operatorname {Bl}$ bör vara).

En tillämpning av begreppet baslokus är på nefness av en Cartier-divisorklass (dvs komplett linjärt system). Antag att $|D|$ är en sådan klass på en variant $X$ , och $C$ en irreducerbar kurva på $X$ . Om $C$ inte finns i baslokuset för $|D|$ , då finns det någon divisor ${\tilde {D}}$ i klassen som inte innehåller $C$ , och så skär den ordentligt. Grundfakta från intersektionsteorin säger oss då att vi måste ha $|D|\cdot C\geq 0$ . Slutsatsen är att för att kontrollera nefness för en divisorklass, räcker det att beräkna skärningsnumret med kurvor som finns i klassens baslokus. Så, grovt sett, ju 'mindre' baslokuset är, desto 'mer sannolikt' är det att klassen är nef.

I den moderna formuleringen av algebraisk geometri, ett komplett linjärt system $|D|$ av (Cartier) divisorer på en variant $X$ ses som en linjebunt ${\mathcal {O}}(D)$ på $X$ . Ur denna synvinkel är baslokuset ${Bl} (|D|)}$${\mathcal {O }}(D)$ uppsättningen av gemensamma nollor för alla sektioner av . En enkel konsekvens är att paketet genereras globalt om och endast om baslokuset är tomt.

Begreppet baslokus är fortfarande meningsfullt även för ett icke-komplett linjärt system: baslokuset för det är fortfarande skärningspunkten mellan stöden för alla effektiva divisorer i systemet.

Se även: Bertinis sats

Exempel

Betrakta Lefschetz penna $p:{\mathfrak {X}}\to \mathbb {P} ^{1}$ som ges av två generiska avsnitt ${\displaystyle f,g\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))} , alltså X {\displaystyle {\mathfrak {X$ } $}$ ges av systemet

${\mathfrak {X}}={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)$

Detta har ett associerat linjärt system av divisorer eftersom varje polynom, $s_{0}f+t_{0}g$ för en fast $[s_{0 }:t_{0}]\in \mathbb {P} ^{1}$ är en divisor i $\mathbb {P} ^{n}$ . Då är baslokuset för detta system av divisorer schemat som ges av det försvinnande lokuset för $f,g$ , så

${\text{Bl}}({\mathfrak {X}})={\text {Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots,x_{n}]}{(f,g)}}\right)$

En karta som bestäms av ett linjärt system

Varje linjärt system på en algebraisk variant bestämmer en morfism från komplementet av baslokuset till ett projektivt dimensionsutrymme för systemet, enligt följande. (På sätt och vis är det omvända också sant; se avsnittet nedan)

Låt L vara en linjebunt på en algebraisk variant X och $V\subset \Gamma (X,L)$ ett ändligt dimensionellt vektorunderrum. För tydlighetens skull överväger vi först fallet då V är baspunktsfritt; med andra ord, den naturliga kartan $V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X}\to L$ är surjektiv (här är k = basfältet) . Eller motsvarande, $\operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O} }_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {O} }_{X}$ är surjektiv. Följaktligen, när du skriver $V_{X}=V\ gånger X$ för den triviala vektorbunten och skickar surjektionen till det relativa Proj , finns det en sluten nedsänkning :

$i:X\hookrightarrow \mathbb {P} (V_{X}^{*}\ ibland L)\simeq \mathbb {P} (V_{X}^{*})=\mathbb {P} (V^{*})\ gånger X$

där $\simeq$ till höger är invariansen för den projektiva bunten under en vridning av en linjebunt. Efter i av en projektion, resulterar det i kartan:

$f:X\to \mathbb {P} (V^{*}).$

När baslokuset för V inte är tomt, går diskussionen ovan fortfarande igenom med ${\mathcal {O}}_{X}$ i den direkta summan ersatt av en idealisk bunt som definierar baslokuset och X ersatt genom att spränga ${\widetilde {X}}$ av den längs det (schemateoretiska) baslokuset B . Precis, som ovan, finns det en surjection $\operatorname {Sym} ((V\otimes _{k} {\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty } {\mathcal {I}}^{n}$ där ${\mathcal {I}}$ är den ideala kärven av B och som ger upphov till

$i:{\widetilde {X}}\hookrightarrow \mathbb {P} (V^{*})\ gånger X.$

Eftersom $XB\simeq$ en öppen delmängd av ${\widetilde {X}}$ , resulterar i kartan:

$f:XB\to \mathbb {P} (V^{*}).$

Slutligen, när en grund för V väljs, blir diskussionen ovan mer jordnära (och det är den stil som används i Hartshorne, Algebraic Geometry).

Linjärt system bestäms av en karta till ett projektivt utrymme

Varje morfism från en algebraisk variant till ett projektivt utrymme bestämmer ett baspunktsfritt linjärt system på sorten; på grund av detta används ofta ett baspunktfritt linjärt system och en karta till ett projektivt utrymme omväxlande.

För en sluten nedsänkning $f:Y\hookrightarrow X$ av algebraiska varianter finns en tillbakadragning av ett linjärt system ${\mathfrak {d}}$ på $X$ till $Y$ , definierad som ${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {d}})=\{f^{-1}(D)|D\in {\mathfrak {d}}\}} ($ sida 158).

O(1) på en projektiv varietet

En projektiv variant $X$ inbäddad i $\mathbb {P} ^{r}$ har ett naturligt linjärt system som bestämmer en karta till projektiv rymd från ${\mathcal {O}}_{X}(1)={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)$ . Detta skickar en punkt $x\in X$ till dess motsvarande punkt $[x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \ mathbb {P} ^{r}$ .

Se även

• Brill-Noether teori
• Lefschetz penna
• bunt av huvuddelar

•   P. Griffiths ; J. Harris (1994). Principer för algebraisk geometri . Wiley Classics Library. Wiley Interscience. sid. 137. ISBN 0-471-05059-8 .
•   Hartshorne, R. Algebraic Geometry , Springer-Verlag , 1977; korrigerad 6:e tryckningen, 1993. ISBN 0-387-90244-9 .
•   Lazarsfeld, R., Positivity in Algebraic Geometry I , Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-22533-1 .