Quantum pseudo-telepati

Kvantpseudo-telepati är det faktum att i vissa Bayesianska spel med asymmetrisk information, spelare som har tillgång till ett delat fysiskt system i ett intrasslat kvanttillstånd, och som kan utföra strategier som är beroende av mätningar utförda på det intrasslade fysiska systemet, kan uppnå högre förväntade vinster i jämvikt än vad som kan uppnås i någon Nash-jämvikt med blandad strategi i samma spel av spelare utan tillgång till det intrasslade kvantsystemet.

I sin artikel från 1999 visade Gilles Brassard , Richard Cleve och Alain Tapp att kvantpseudo-telepati tillåter spelare i vissa spel att uppnå resultat som annars bara skulle vara möjliga om deltagarna fick kommunicera under spelet.

Detta fenomen kom att kallas kvantpseudo-telepati , med prefixet pseudo-telepati som syftar på det faktum att kvant-pseudo-telepati inte involverar utbyte av information mellan några parter. Istället tar kvantpseudo-telepati bort behovet för parterna att utbyta information under vissa omständigheter.

Genom att ta bort behovet av att engagera sig i kommunikation för att uppnå ömsesidigt fördelaktiga resultat under vissa omständigheter, kan kvantpseudo-telepati vara användbar om vissa deltagare i ett spel var åtskilda av många ljusår, vilket innebär att kommunikationen mellan dem skulle ta många år. Detta skulle vara ett exempel på en makroskopisk implikation av quantum non-locality.

Kvantpseudo-telepati används i allmänhet som ett tankeexperiment för att demonstrera de icke-lokala egenskaperna hos kvantmekaniken . Kvantpseudo-telepati är dock ett fenomen i verkligheten som kan verifieras experimentellt. Det är alltså ett särskilt slående exempel på en experimentell bekräftelse av Bells ojämlikhetskränkningar .

Spel med asymmetrisk information

Ett Bayesianskt spel är ett spel där båda spelarna har ofullständig information om värdet av vissa parametrar. I ett Bayesianskt spel är det ibland så att för åtminstone vissa spelare är den högsta förväntade vinsten som kan uppnås i en Nash-jämvikt lägre än den som kunde ha uppnåtts om det inte hade funnits ofullständig information. Asymmetrisk information är ett specialfall av ofullkomlig information, där olika aktörer skiljer sig åt vad gäller den kunskap de besitter om värdet av vissa parametrar.

Ett vanligt antagande i klassiska Bayesianska spel om asymmetrisk information är att alla spelare är omedvetna om värdena för vissa avgörande parametrar innan spelet börjar. När spelet väl börjar får olika spelare information om värdet av olika parametrar. Men när spelet väl har börjat är det förbjudet för spelare att kommunicera och kan följaktligen inte utbyta information som de gemensamt har om spelets parametrar.

Detta antagande har en avgörande implikation: även om spelare kan kommunicera och diskutera strategier innan spelet börjar, kommer detta inte att förbättra någon spelares förväntade utdelning, eftersom den avgörande informationen om okända parametrar ännu inte har "avslöjats" för spelets deltagare. Men om spelet skulle modifieras, så att spelare tillåts kommunicera efter att spelet har börjat, när varje spelare har fått lite information om värdet av några av de okända parametrarna, kan det vara möjligt för spelets deltagare att uppnå en Nash-jämvikt som är Pareto-optimal för alla Nash-jämvikt som kan uppnås i frånvaro av kommunikation.

Den avgörande implikationen av kvanttelepati är att även om kommunikation innan ett bayesianskt spel med asymmetrisk information börjar inte resulterar i förbättrade jämviktsutbyten, kan det bevisas att i vissa bayesianska spel kan det tillåta spelare att utbyta intrasslade qubits innan spelet börjar . uppnå en Nash-jämvikt som bara annars skulle vara möjlig om kommunikation i spelet var tillåten.

Det magiska fyrkantsspelet

När man försöker konstruera en 3×3 tabell fylld med siffrorna +1 och −1, så att varje rad har ett jämnt antal negativa poster och varje kolumn ett udda antal negativa poster, kommer en konflikt att uppstå.

Ett exempel på kvantpseudo-telepati kan observeras i det magiska fyrkantsspelet , introducerat av Cabello och Aravind baserat på tidigare arbeten av Mermin och Peres.

Detta spel har två spelare, Alice och Bob . I början av spelet är Alice och Bob separerade. Efter att de separerats är kommunikation mellan dem inte möjlig. Spelet kräver att Alice fyller i en rad, och Bob en kolumn, i en 3×3-tabell med plus- och minustecken.

Innan spelet börjar vet inte Alice vilken rad i tabellen hon kommer att behöva fylla i. På samma sätt vet inte Bob vilken kolumn han kommer att behöva fylla i.

Efter att de två spelarna separerats tilldelas Alice slumpmässigt en rad på bordet och ombeds fylla den med plus- och minustecken. På samma sätt tilldelas Bob slumpmässigt en kolumn i tabellen och ombeds fylla den med plus- och minustecken.

Spelarna är föremål för följande krav: Alice måste fylla i sin rad så att det finns ett jämnt antal minustecken i den raden. Dessutom måste Bob fylla i sin kolumn så att det finns ett udda antal minustecken i den kolumnen.

Avgörande är att Alice inte vet vilken kolumn Bob har blivit ombedd att fylla i. På samma sätt vet Bob inte vilken rad Alice har blivit ombedd att fylla i. Det här spelet är alltså ett Bayesianskt spel med asymmetrisk ofullständig information, eftersom ingen av spelarna har slutfört information om spelet (imperfekt information) och båda spelarna skiljer sig åt vad gäller den information de besitter (asymmetrisk information).

Beroende på de åtgärder som deltagarna vidtar, kan ett av två utfall inträffa i detta spel. Antingen vinner båda spelarna eller så förlorar båda spelarna.

Om Alice och Bob placerar samma tecken i cellen som delas av deras rad och kolumn vinner de spelet. Om de sätter motsatta tecken, förlorar de spelet.

Observera att båda spelarna placerar alla sina plus- och minustecken samtidigt, och ingen av spelarna kan se var den andra spelaren har placerat sina tecken förrän spelet är klart.

Det kan bevisas att i den klassiska formuleringen av detta spel finns det ingen strategi (Nash-jämvikt eller annat) som gör att spelarna kan vinna spelet med sannolikhet större än 8/9. 8/9 uppstår eftersom de kan komma överens om vilket värde som ska placeras i 8 av de 9 rutor, men inte den 9:e kvadraten, som kommer att vara den delade kvadraten med sannolikhet 1/9. Om Alice och Bob träffas innan spelet börjar och utbyter information kommer detta inte att påverka spelet på något sätt; det bästa spelarna kan göra är fortfarande att vinna med sannolikhet 8/9.

Anledningen till att spelet bara kan vinnas med sannolikhet 8/9 är att en perfekt konsekvent tabell inte existerar: den skulle vara självmotsägande, med summan av minustecken i tabellen är jämn baserad på radsummor, och udda när du använder kolumnsummor, eller vice versa. Som en ytterligare illustration, om de använder den deltabell som visas i diagrammet (kompletterat med en −1 för Alice och en +1 för Bob i den saknade rutan) och utmaningsraderna och kolumnerna väljs slumpmässigt, kommer de att vinna 8/ 9 av tiden. Det finns ingen klassisk strategi som kan slå denna segergrad (med slumpmässigt rad- och kolumnval).

Om spelet modifierades för att tillåta Alice och Bob att kommunicera efter att de upptäckt vilken rad/kolumn de har tilldelats, så skulle det finnas en uppsättning strategier som tillåter båda spelarna att vinna spelet med sannolikhet 1. Men om kvantpseudo-telepati användes, då kunde Alice och Bob båda vinna spelet utan att kommunicera.

Pseudo-telepatiska strategier

Användning av kvant-pseudo-telepati skulle göra det möjligt för Alice och Bob att vinna spelet 100 % av gångerna utan någon kommunikation när spelet väl har börjat.

Detta kräver att Alice och Bob har två par partiklar med intrasslade tillstånd. Dessa partiklar måste ha förberetts innan spelets början. En partikel i varje par hålls av Alice och den andra av Bob, så de har vardera två partiklar. När Alice och Bob lär sig vilken kolumn och rad de måste fylla, använder var och en den informationen för att välja vilka mätningar de ska göra på sina partiklar. Resultatet av mätningarna kommer för var och en av dem att framstå som slumpmässigt (och den observerade partiella sannolikhetsfördelningen för endera partikeln kommer att vara oberoende av mätningen utförd av den andra parten), så ingen riktig "kommunikation" äger rum.

Processen att mäta partiklarna påtvingar emellertid tillräcklig struktur på den gemensamma sannolikhetsfördelningen av resultaten av mätningen så att om Alice och Bob väljer sina handlingar baserat på resultaten av deras mätning, kommer det att finnas en uppsättning strategier och mätningar som tillåter spelet som ska vinnas med sannolikhet 1.

Observera att Alice och Bob kan vara ljusår från varandra, och de intrasslade partiklarna kommer fortfarande att göra det möjligt för dem att koordinera sina handlingar tillräckligt väl för att vinna spelet med säkerhet.

Varje omgång av detta spel använder ett intrasslat tillstånd. Att spela N omgångar kräver att N intrasslade tillstånd (2N oberoende Bell-par, se nedan) delas i förväg. Detta beror på att varje omgång behöver 2-bitars information för att mätas (den tredje posten bestäms av de två första, så det är inte nödvändigt att mäta det), vilket förstör intrasslingen. Det finns inget sätt att återanvända gamla mått från tidigare spel.

Tricket är för Alice och Bob att dela ett intrasslat kvanttillstånd och använda specifika mätningar på deras komponenter i det intrasslade tillståndet för att härleda tabellposterna. Ett lämpligt korrelerat tillstånd består av ett par intrasslade klocktillstånd :

\left|\varphi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|+\right\rangle _{a}\otimes \left|+ \right\rangle _{b}+\left|-\right\rangle _{a}\otimes \left|-\right\rangle _{b}{\bigg )}\ibland {\frac {1}{\ sqrt {2}}}{\bigg (}\left|+\right\rangle _{c}\otimes \left|+\right\rangle _{d}+\left|-\right\rangle _{c} \otimes \left|-\right\rangle _{d}{\bigg )}

här $\left|+\right\rangle$ och $\left|-\right\rangle$ är egentillstånd för Pauli-operatorn S _x med egenvärden +1 respektive −1, medan de nedsänkta a, b, c och d identifierar komponenterna i varje Bell-tillstånd , med a och c som går till Alice, och b och d går till Bob. Symbolen $\otimes$ representerar en tensorprodukt .

Observerbara för dessa komponenter kan skrivas som produkter av Paulis spin-matriser :

S_{x}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}, S_{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},S_{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

Produkter av dessa Pauli-snurroperatorer kan användas för att fylla 3×3-tabellen så att varje rad och varje kolumn innehåller en ömsesidigt pendlande uppsättning observerbara objekt med egenvärden +1 och −1, och med produkten av de observerbara värdena i varje rad identitetsoperator, och produkten av observerbara objekt i varje kolumn, vilket motsvarar minus identitetsoperatorn. Detta är en så kallad Mermin – Peres magiska torg. Det visas i tabellen nedan.

$+I\otimes S_{z}$	$+S_{z}\otimes I$	$+S_{z}\otimes S_{z}$
$+S_{x}\ibland I$	$+I\otimes S_{x}$	$+S_{x}\otimes S_{x}$
$-S_{x}\otimes S_{z}$	$-S_{z}\otimes S_{x}$	$+S_{y}\otimes S_{y}$

Effektivt, även om det inte är möjligt att konstruera en 3×3-tabell med poster +1 och −1 så att produkten av elementen i varje rad är lika med +1 och produkten av element i varje kolumn är lika med −1, är det möjligt att gör det med den rikare algebraiska strukturen baserad på spinnmatriser.

Spelet fortsätter genom att varje spelare gör en mätning på sin del av det intrasslade tillståndet per spelomgång. Var och en av Alices mått kommer att ge henne värdena för en rad, och var och en av Bobs mått kommer att ge honom värdena för en kolumn. Det är möjligt att göra det eftersom alla observerbara objekt i en given rad eller kolumn pendlar, så det finns en grund där de kan mätas samtidigt. För Alices första rad måste hon mäta båda sina partiklar i ${\displaystyle S_{z}}-$ basis, för den andra raden måste hon mäta dem i ${\displaystyle S_{x}}-$ basis, och för den tredje raden hon behöver för att mäta dem i en intrasslad basis. För Bobs första kolumn måste han mäta sin första partikel i ${\displaystyle S_{x}}-$ basen och den andra i ${\displaystyle S_{z}}-$ basen, för den andra kolumnen måste han mäta sin första partikel i ${\displaystyle S_{z}}-$ basen och den andra i ${\displaystyle S_{x}}-$ basen, och för sin tredje kolumn måste han mäta båda sina partiklar på en annan intrasslad bas, Bell bas . Så länge som tabellen ovan används, kommer mätresultaten garanterat alltid att multiplicera ut till +1 för Alice längs hennes rad, och −1 för Bob ner i hans kolumn. Naturligtvis kräver varje helt ny omgång ett nytt intrasslat tillstånd, eftersom olika rader och kolumner inte är kompatibla med varandra.

Koordinationsspel

I klassisk icke-kooperativ spelteori är ett koordinationsspel vilket spel som helst med multipel Nash-jämvikt . Litteraturen om pseudo-telepati hänvisar ibland till spel som Mermin-Peres-spelet som koordinationsspel. Å ena sidan är detta tekniskt korrekt, eftersom den klassiska varianten av Mermin–Peres-spelet har flera Nash-jämvikter.

Kvantpseudo-telepati ger dock ingen lösning på de koordinationsproblem som kännetecknar koordinationsspel. Quantum pseudo-telepatis användbarhet ligger i att lösa problem med asymmetrisk information i Bayesianska spel där kommunikation är förbjuden.

Till exempel kan implementering av pseudo-telepatiska strategier i Mermin–Peres-spelet ta bort Bob och Alices behov av att utbyta information. Pseudo-telepatiska strategier löser dock inte koordinationsproblem. Specifikt, även efter att ha implementerat pseudo-telepatiska strategier, kommer Bob och Alice bara att vinna spelet med sannolikhet en om de båda koordinerar sina pseudo-telepatiska strategier på ett sätt som är isomorft mot det som beskrivs ovan.

Nuvarande forskning

Det har visat sig att det ovan beskrivna spelet är det enklaste spelet för två spelare i sitt slag där kvantpseudo-telepati tillåter en vinst med sannolikhet en. Andra spel där kvantpseudo-telepati förekommer har studerats, inklusive större magiska fyrkantsspel, graffärgningsspel som ger upphov till föreställningen om kvantkromatiskt tal och multiplayer-spel som involverar fler än två deltagare.

I allmänhet kan vinstsannolikheten för ett icke-lokalt spel för två spelare förbättras genom att öka antalet intrasslade qubits som spelarna får dela. Det är omöjligt att beräkna den maximala sannolikheten att vinna ett spel för två spelare med hjälp av kvantpseudo-telepati, men en nedre gräns kan ställas in genom att anta ett stort, men ändligt, antal delade intrasslade qubits; en övre gräns kan på samma sätt sättas i termer av ett likvärdigt ramverk till det icke-lokala spelet, som är baserat på pendlingsmatriser . Beräkning av övre och nedre gränser för maximal vinstsannolikhet är NP-hård . Även om vissa spel kan tillåta att den maximala vinstsannolikheten kan beräknas godtyckligt noggrant, innebär ett påstått motbevis för Connes-inbäddningsproblemet att det finns spel där dessa gränser inte konvergerar till en unik maximal vinstsannolikhet.

Nyligen genomförda studier tar upp frågan om robustheten hos effekten mot buller på grund av ofullkomliga mätningar på det koherenta kvanttillståndet. Nyligen arbete har visat en exponentiell förbättring av kommunikationskostnaden för icke-linjär distribuerad beräkning, på grund av intrassling, när själva kommunikationskanalen är begränsad till att vara linjär.

I juli 2022 rapporterade en studie den experimentella demonstrationen av kvantpseudotelepati genom att spela den icke-lokala versionen av Mermin-Peres magiska fyrkantsspel.

Greenberger–Horne–Zeilinger spel

Greenberger–Horne–Zeilinger (GHZ)-spelet är ett annat intressant exempel på kvantpseudo-telepati. Klassiskt sett har spelet 75 % vinstsannolikhet. Men med en kvantstrategi kommer spelarna alltid att vinna med en vinstsannolikhet lika med 1.

Det är tre spelare, Alice, Bob och Carol som spelar mot en domare. Domaren ställer en fråga $\in \{0,1\}$ till var och en av spelarna. De tre spelarna svarar var och en med ett svar $\in \{0,1\}$ . Domaren drar tre frågor x, y, z enhetligt från de fyra alternativen $\{(0, 0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}$ . Som ett förtydligande, om fråga trippel $(0,1,1)$ väljs, så får Alice bit 0, Bob får bit 1 och Carol får bit 1 från domaren. Baserat på den mottagna frågebiten svarar Alice, Bob och Carol var och en med ett svar a, b, c också i form av 0 eller 1. Spelarna kan formulera en strategi tillsammans innan spelet börjar. Ingen kommunikation är dock tillåten under själva spelet.

Spelarna vinner om $a\oplus b\oplus c=x\lor y\lor z$ , där $\lor$ indikerar ELLER-villkor och ${\ displaystyle \oplus }$ indikerar summering av svar modulo 2. Med andra ord måste summan av tre svar vara även om $x=y=z=0$ . Annars måste summan av svaren vara udda.

Vinnande skick för GHZ-spel
$x$	$y$	$z$	$a\oplus b\oplus c$
0	0	0	0 mod 2
1	1	0	1 mod 2
1	0	1	1 mod 2
0	1	1	1 mod 2

Klassisk strategi

Klassiskt kan Alice, Bob och Carol använda en deterministisk strategi som alltid slutar med en udda summa (t.ex. Alice ger alltid 1. Bob och Carol ger alltid 0). Spelarna vinner 75 % av gångerna och förlorar bara om frågorna är $(0,0,0)$ .

Faktum är att detta är den bästa vinnande strategin klassiskt. Vi kan endast uppfylla maximalt 3 av 4 vinstvillkor. Låt $a_{0},a_{1}$ vara Alices svar på fråga 0 respektive 1, $b_{0},b_{1}$ vara Bobs svar på fråga 0, 1 och $c_{0},c_{1}$ är Carols svar på fråga 0, 1. Vi kan skriva alla begränsningar som uppfyller vinstvillkoren som

{\begin{aligned} &a_{0}+b_{0}+c_{0}=0\mod 2\\&a_{1}+b_{1}+c_{0}=1\mod 2\\&a_{1}+b_{0 }+c_{1}=1\mod 2\\&a_{0}+b_{1}+c_{1}=1\mod 2\end{aligned}}

Anta att det finns en klassisk strategi som uppfyller alla fyra vinstvillkoren, alla fyra villkoren gäller. Genom observation visas varje term två gånger på vänster sida. Följaktligen är summan på vänster sida = 0 mod 2. Men summan på höger sida = 1 mod 2. Motsägelsen visar att alla fyra vinstvillkoren inte kan uppfyllas samtidigt.

Kvantstrategi

Nu har vi kommit till den intressanta delen där Alice, Bob och Carol bestämde sig för att anta en kvantstrategi. De tre av dem delar nu en trepartsintrasslad stat ${\textstyle |{\psi }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle +|111\rangle) }$ , känd som GHZ - tillståndet .

Om fråga 0 tas emot gör spelaren en mätning i X-basen ${\textstil \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$ . Om fråga 1 tas emot gör spelaren en mätning i Y-basen ${\textstil \left\{{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +i|1\rangle ),{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -i|1\rangle ) \right\}}$ . I båda fallen ger spelarna svar 0 om resultatet av mätningen är det första tillståndet i paret, och svarar 1 om resultatet är det andra tillståndet i paret.

Det är lätt att kontrollera att med denna strategi vinner spelarna spelet med sannolikhet 1.

Se även

Kvantspelsteori
Quantum domare spel
GHZ-tillstånd – ett intrasslat 3-partikeltillstånd.
EPR paradox
Kochen-Specker-satsen
Kvantinformationsvetenskap
Qubit
Tsirelson är bunden
Wheeler–Feynman absorber teori

Anteckningar

externa länkar