Tsirelson är bunden

En Tsirelson-gräns är en övre gräns för kvantmekaniska korrelationer mellan avlägsna händelser. Med tanke på att kvantmekaniken bryter mot Bells ojämlikheter (dvs. den kan inte beskrivas av en lokal teori om dolda variabler ), är en naturlig fråga att ställa hur stor överträdelsen kan vara. Svaret är just Tsirelson som är bunden till den speciella Bell-ojämlikheten i fråga. I allmänhet är denna gräns lägre än den gräns som skulle erhållas om mer allmänna teorier, endast begränsade av "ingen signalering" (dvs. att de inte tillåter kommunikation snabbare än ljus), övervägdes, och mycket forskning har ägnats på frågan om varför det är så.

Tsirelson-gränserna är uppkallade efter Boris S. Tsirelson (eller Cirel'son, i en annan translitteration ), författaren till artikeln där den första härleddes.

Bundet för CHSH-ojämlikheten

Den första Tsirelson-gränsen härleddes som en övre gräns för korrelationerna som mättes i CHSH-olikheten . Den anger att om vi har fyra ( hermitiska ) dikotomiska observerbara $A_{0}$ , $A_{1}$ , $B_{0}$ , $B_{ 1}$ (dvs två observerbara för Alice och två för Bob ) med utfall $+1,-1$ så att $[A_{i}, B_{j}]=0$ för all $i,j$ , sedan

$\langle A_{0}B_{0}\rangle +\langle A_{0}B_{1}\rangle +\langle A_{1}B_{0}\rangle -\langle A_{1}B_{ 1}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}.$

Som jämförelse, i det klassiska fallet (eller det lokala realistiska fallet) är den övre gränsen 2, medan om någon godtycklig tilldelning av $+1,-1$ är tillåten är den 4. Tsirelson-gränsen är uppnås redan om Alice och Bob var och en gör mätningar på en qubit , det enklaste icke-triviala kvantsystemet.

Det finns flera bevis på detta, men det kanske mest upplysande är baserat på identiteten Khalfin-Tsirelson-Landau. Om vi ​​definierar en observerbar

${\mathcal {B}}=A_{0}B_{0}+A_{0}B_{1}+A_{1 }B_{0}-A_{1}B_{1},$

och ${\displaystyle A_{i}^{2}=B_{j}^{2}=\mathbb {I} } ,$ dvs om de observerbara resultaten är $+1,-1$ , sedan

${\mathcal {B}}^{2}=4\mathbb {I} -[A_{0},A_{1}][B_{0},B_{1}].$

Om $[A_{0},A_{1}]=0$ eller $[B_{0},B_{1}]=0$ , som kan betraktas som det klassiska fallet, följer redan att $\langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2$ . I kvantfallet behöver vi bara lägga märke till att ${\displaystyle {\big \|}[A_{0},A_{1}]{ \big \|}\leq 2\|A_{0}\|\|A_{1}\|\leq 2} , och Tsirelson$ bunden $\langle {\mathcal {B} }\rangle \leq 2{\sqrt {2}}$ följer.

Andra Bell-ojämlikheter

$K_{ G}^{\mathbb {R} }(\lgolv r\rgolv),$ fullkorrelation Bell-olikhet med m ingångar för Alice och n ingångar för Bob, är förhållandet mellan Tsirelson-gränsen och den lokala gränsen högst där $r=\min \left\{m,n,-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+2(m+n)}}\right\},$ och $K_{G}^{\mathbb {R} }(d)$ är Grothendieck-konstanten av ordningen d . Observera att eftersom ${\displaystyle K_{G}^{\mathbb {R} }(2)={\sqrt {2}}},$ antyder denna gräns ovanstående resultat om CHSH-olikheten.

I allmänhet är det ett svårt problem att få en Tsirelson bunden för en given Bell-ojämlikhet som måste lösas från fall till fall. Det är inte ens känt att det går att avgöra. Den mest kända beräkningsmetoden för upperbounding är en konvergent hierarki av semidefinita program , NPA-hierarkin, som i allmänhet inte stannar. De exakta värdena är kända för några fler Bell-ojämlikheter:

För ojämlikheterna mellan Braunstein och Caves har vi det

$\langle {\text{BC}}_{n}\rangle \leq n\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right).$

För WWŻB-ojämlikheterna är Tsirelson bunden

$\langle {\text{WWZB}}_{n}\rangle \leq 2^{(n-1)/2}.$

För $I_{3322}$ -olikheten är Tsirelson-gränsen inte känd exakt, men konkreta realiseringar ger en nedre gräns på 0,250 875 384 514 och NPA-hierarkin ger en övre gräns på 0,250 875 384 75 384 . Det antas att endast oändligt dimensionella kvanttillstånd kan nå Tsirelson-bunden.

Härledning från fysiska principer

Betydande forskning har ägnats åt att hitta en fysikalisk princip som förklarar varför kvantkorrelationer bara går upp till Tsirelson-bunden och inget mer. Tre sådana principer har hittats: ingen fördel för icke-lokal beräkning, informationskausalitet och makroskopisk lokalitet. Det vill säga, om man kunde uppnå en CHSH-korrelation som överstiger Tsirelsons gräns, skulle alla sådana principer kränkas. Tsirelsons gräns följer också om Bell-experimentet medger ett starkt positivt kvansalt mått.

Tsirelsons problem

Det finns två olika sätt att definiera Tsirelson-gränsen för ett Bell-uttryck. En genom att kräva att måtten ska vara i en tensorproduktstruktur och en annan genom att bara kräva att de pendlar. Tsirelsons problem är frågan om dessa två definitioner är likvärdiga. Mer formellt, låt

$B=\sum _{abxy}\mu _{abxy}p(ab|xy)$

vara ett Bell-uttryck, där $p(ab|xy)$ är sannolikheten för att erhålla resultaten $a,b$ med inställningarna $x ,y$ . Tensorprodukten Tsirelson bundet är då det högsta värdet som uppnås i detta Bell-uttryck genom att göra mätningar $A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}_{ A}\till {\mathcal {H}}_{A}$ och $B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}_{B}\ till {\mathcal {H}}_{B}$ på ett kvanttillstånd $|\psi \rangle \in {\mathcal {H}}_{A}\ibland {\mathcal {H}}_{B}$ :

$T_{t}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\summa _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}\otimes B_{y}^{b}|\psi \rangle .$

Den pendlande Tsirelson-gränsen är det högsta av värdet som uppnås i detta Bell-uttryck genom att göra mätningar $A_{x}^{a}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal { H}}$ och $B_{y}^{b}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$ så att $\forall a,b,x,y;[A_{x}^{a},B_{y}^{b}]=0$ på ett kvanttillstånd $|\psi \rangle \in {\mathcal {H}}$ :

$T_{c}=\sup _{|\psi \rangle ,A_{x}^{a},B_{y}^{b}}\sum _{abxy}\mu _{abxy}\langle \psi |A_{x}^{a}B_{y}^{b}|\psi \rangle .$

Eftersom tensorproduktalgebror i synnerhet pendlar, $T_{t}\leq T_{c}$ . I finita dimensioner är pendlingsalgebror alltid isomorfa till (direkta summor av) tensorproduktalgebror, så endast för oändliga dimensioner är det möjligt att $T_{t}\neq T_{c}$ . Tsirelsons problem är frågan om för alla Bell-uttryck $T_{t}=T_{c}$ .

Denna fråga övervägdes först av Boris Tsirelson 1993, där han utan bevis hävdade att $T_{t}=T_{c}$ . När han blev tillfrågad om ett bevis av Antonio Acín 2006, insåg han att det han hade i åtanke inte fungerade, och ställde frågan som ett öppet problem. Tillsammans med Miguel Navascués och Stefano Pironio hade Antonio Acín utvecklat en hierarki av semidefinita program, NPA-hierarkin, som konvergerade till den pendlande Tsirelson bound T c {\ ${c}}$ från ovan, och ville veta om den också konvergerade till tensorprodukten Tsirelson bunden $T_{t}$ , den mest fysiskt relevanta.

Eftersom man kan producera en konvergerande sekvens av approximationer till $T_{t}$ underifrån genom att beakta finita dimensionella tillstånd och observerbara, om $T_{t}=T_{c}$ , då kan denna procedur kombineras med NPA-hierarkin för att producera en stoppalgoritm för att beräkna Tsirelson-bunden, vilket gör det till ett beräkningsbart nummer (observera att varken procedur isolerat stannar i allmänhet). Omvänt, om $T_{t}$ inte är beräkningsbar, då $T_{t}\neq T_{c}$ . I januari 2020 hävdade Ji, Natarajan, Vidick, Wright och Yuen att de hade bevisat att $T_{t}$ inte är beräkningsbar, vilket löste Tsirelsons problem negativt; en färdig, men fortfarande ogranskad, version av beviset dök upp i Communications of the ACM i november 2021. Tsirelsons problem har visat sig vara likvärdigt med Connes inbäddningsproblem , så samma bevis antyder också att Connes inbäddningsproblemet är falskt.

Se även

• Quantum icke-lokalitet
• Bells teorem
• EPR paradox
• CHSH ojämlikhet
• Quantum pseudo-telepati