Prime modell

Inom matematik , och i synnerhet modellteori , är en prime modell en modell som är så enkel som möjligt. Specifikt är en modell $P$ prime om den tillåter en elementär inbäddning i valfri modell $M$ som den är elementärt ekvivalent med (det vill säga i vilken modell ${\displaystyle M} som helst$ som uppfyller samma kompletta teori som $P$ ).

Kardinalitet

I motsats till begreppet mättad modell begränsas främsta modeller till mycket specifika kardinaliteter av Löwenheim-Skolem-satsen . Om $L$ är ett första ordningens språk med kardinalitet $\kappa$ och $T$ $T$ en komplett teori över $, {\displaystyle L,}$ så garanterar denna teorem en modell för av kardinalitet $\max(\kappa ,\aleph _{0}).$ Därför kan ingen primmodell av $T$ ha större kardinalitet eftersom den åtminstone måste vara elementärt inbäddad i en sådan modell. Detta lämnar fortfarande mycket otydlighet i den faktiska kardinaliteten. När det gäller räknebara språk är alla primmodeller på sin höjd räkningsbara oändliga.

Relation med mättade modeller

Det finns en dualitet mellan definitionerna av främsta och mättade modeller. Hälften av denna dualitet diskuteras i artikeln om mättade modeller , medan den andra hälften är som följer. Medan en mättad modell realiserar så många typer som möjligt, realiserar en prima modell så få som möjligt: det är en atommodell , som bara realiserar de typer som inte kan utelämnas och utelämnar resten. Detta kan tolkas i den meningen att en prime modell medger "inga krusiduller": alla egenskaper hos en modell som är valfria ignoreras i den.

Till exempel är modellen $\langle {\mathbb {N} },S\rangle$ en primmodell av teorin om de naturliga talen N med en efterföljande operation S ; en modell som inte är primtal kan vara ${\displaystyle \langle {\mathbb {N} }+{\mathbb {Z} },S\rangle ,} vilket$ betyder att det finns en kopia av hela heltal som ligger åtskilda från den ursprungliga kopian av de naturliga talen inom denna modell; i detta tillägg fungerar aritmetiken som vanligt. Dessa modeller är elementärt likvärdiga; deras teori medger följande axiomatisering (verbalt):

Det finns ett unikt element som inte är efterföljaren till något element;
Inga två distinkta element har samma efterträdare;
Inget element uppfyller S ⁿ ( x ) = x med n > 0.

Dessa är i själva verket två av Peanos axiom , medan det tredje följer från det första genom induktion (ett annat av Peanos axiom). Varje modell av denna teori består av disjunkta kopior av de fullständiga heltalen utöver de naturliga talen, eftersom när man väl genererar en undermodell från 0 tillåter alla återstående punkter både föregångare och efterföljare på obestämd tid. Detta är konturerna av ett bevis på att $\langle {\mathbb {N} },S\rangle$ är en prime modell.

Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Model Theory , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3:e upplagan), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3