Morin yta

Morin yta sett uppifrån

Morinyta sedd från sidan

papperssfär-eversion och Morin-yta

papper Morin-yta (sfärvänd halvvägs) med hexagonal symmetri

Morin -ytan är halvvägsmodellen av sfäreversionen som upptäcktes av Bernard Morin . Den har fyrfaldig rotationssymmetri .

homotopi omvandlas till en Morin-yta kommer hälften av den utåt synliga Morin-ytan att vara grön och hälften röd:

Hälften av en Morin-yta motsvarar det yttre (gröna) av sfären till vilken den är homeomorf, och den andra symmetriska halvan till det inre (röd).

Att sedan rotera ytan 90° runt sin symmetriaxel kommer att byta färger, dvs. kommer att byta ut den inre-yttre polariteten på den orienterbara ytan, så att man drar tillbaka homotopins steg i exakt samma position tillbaka till den ursprungliga sfären efter att ha så roterad kommer Morin-ytan att ge en sfär vars yttre yta är röd och vars inre yta är grön: en sfär som har vänts ut och in. Följande är en sammanfattning av eversionen:

1. sfär: grön utsida, röd insida... 2. förvandlas till... 3. Morinyta, 3'. Morin yta roterad 90°... 2'. omvänt förvandlas till... 1'. sfär: röd utsida, grön inuti.

Struktur av Morin-ytan

Morinytan kan separeras i fyra kongruenta kvartssektioner. Dessa sektioner kan här kallas sektion Öst, sektion Syd, sektion Väst och sektion Norr, respektive — sektion 0, 1 st, 2 st och 3 st.

Sektion öster om Morins yta.

₀ Morinytan har en fyrdubbel punkt genom vilken den passerar sin symmetriaxel. Denna fyrdubbla punkt är startpunkten och slutpunkten för sex rader med dubbelpunkter. Var och en av fjärdedelssektionerna begränsas av tre av dessa linjer med dubbelpunkter, så att varje fjärdedelssektion är homeomorf till en triangel. Sektion öst visas nu schematiskt: Diagrammet visar sektion öst avgränsat av tre slingor: ABCDA, AEFGA och AHIJA. Den tredje slingan, AHIJA, är en linje med dubbla punkter där sektion öst skär sig själv. Slinga ABCDA är bara en linje med dubbla punkter när sektion öst är sammanfogad med sektion väst, och slinga AEFGA är endast en linje med dubbla punkter när sektion öst är sammanfogad med sektion syd. Punkt är den fyrdubbla punkten som faktiskt är överlappningen av fyra olika punkter: A , A ₁ , A ₂ , A ₃ .

Så här sammanfogas sektion öst med de andra sektionerna: låt var och en av dess begränsningsslingor specificeras av en ordnad kvintupel av punkter, sedan

(A_{1},B,C,D,A_{3}) =(A_{1},D'',C'',B'',A_{3})

(A_{2},E,F,G,A_{3})=(A_{2},H',I',J',A_{3})

(A_{1},H,I,J,A_{2})=(A_ {1},E''',F''',G''',A_{2})

där oprimade punkter tillhör sektion 0 (öst), primade punkter tillhör sektion 1 (Söder), dubbelprimade punkter tillhör sektion 2 (Väst) och trippel-primade punkter tillhör sektion 3 (Nord).

De återstående tre slingorna förbinder sektioner enligt följande:

(A_{2},B',C',D',A_ {0})=(A_{2},D''',C''',B''',A_{0})

(A_{3},E',F',G',A_{0})=(A_{3},H'',I'' ,J'',A_{0})

(A_{0},E'',F'',G'',A_{1})=(A_{0},H''',I''',J''',A_{ 1}).

Sektion Öst har, bara betraktat, en slinga med dubbla punkter: AHIJA. Om ytan lindas av och tillplattas blir resultatet följande: vilket är homeomorft till en triangel:

Att sammanfoga de fyra triangulära sektionerna i deras sömmar kommer att producera en tetraeder : som är homeomorf till en sfär, vilket visar att Morin-ytan är en självkorsande sfär.