Sorgenfrey plan

En illustration av antidiagonalen och en öppen rektangel i Sorgenfrey-planet som möter antidiagonalen i en enda punkt.

Inom topologi är Sorgenfrey -planet ett ofta citerat motexempel till många annars troligt klingande gissningar. Den består av produkten av två kopior av Sorgenfrey-linjen , som är den verkliga linjen $\mathbb {R}$ under den halvöppna intervalltopologin . Sorgenfreylinjen och flygplanet är uppkallat efter den amerikanske matematikern Robert Sorgenfrey .

En grund för Sorgenfrey-planet, betecknat $\mathbb {S}$ från och med nu, är därför den uppsättning rektanglar som inkluderar den västra kanten, det sydvästra hörnet och den sydliga kanten, och utelämnar det sydöstra hörnet, den östra kanten, nordöstra hörnet, norra kanten och nordvästra hörnet. Öppna uppsättningar i $\mathbb {S}$ är föreningar av sådana rektanglar.

$\mathbb {S}$ är ett exempel på ett rum som är en produkt av Lindelöf-rum som inte i sig är ett Lindelöf-rum. Den så kallade antidiagonalen $\Delta =\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {R} \}$ är en oräknelig diskret delmängd av detta utrymme, och detta är en icke- separerbar delmängd av det separerbara utrymmet $\mathbb {S}$ . Det visar att separerbarhet inte ärver till slutna delrum . Observera att $K=\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {Q} \}$ och $\ Delta \setminus K$ är slutna mängder; det kan bevisas att de inte kan separeras med öppna uppsättningar, vilket visar att $\mathbb {S}$ inte är normalt . Det tjänar alltså som ett motexempel till föreställningen att produkten av normala rum är normal; i själva verket visar det att även den ändliga produkten av helt normala utrymmen inte behöver vara normal.

Se även

• Lista över topologier
• Moore-plan

• Kelley, John L. (1955). Allmän topologi . van Nostrand . Omtryckt som   Kelley, John L. (1975). Allmän topologi . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90125-6 .
• Robert Sorgenfrey, "Om den topologiska produkten av parakompakta utrymmen", Bull. Amer. Matematik. Soc. 53 (1947) 631-632.
•    Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology ( Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . MR 0507446 .