Mercers teorem

I matematik , specifikt funktionell analys , är Mercers sats en representation av en symmetrisk positiv-definitiv funktion på en kvadrat som summan av en konvergent sekvens av produktfunktioner. Detta teorem, som presenteras i ( Mercer 1909 ), är ett av de mest anmärkningsvärda resultaten av James Mercers (1883–1932) arbete. Det är ett viktigt teoretiskt verktyg i teorin om integralekvationer ; det används i Hilberts rymdteorin om stokastiska processer , till exempel Karhunen–Loèves sats ; och det används också för att karakterisera en symmetrisk positiv halvdefinitiv kärna .

Introduktion

För att förklara Mercers teorem , betraktar vi först ett viktigt specialfall; se nedan för en mer allmän formulering. En kärna är i detta sammanhang en symmetrisk kontinuerlig funktion

$K:[a,b]\ gånger [a,b]\högerpil \mathbb {R}$

där symmetrisk betyder att $K(x,y)=K(y,x)$ för alla $x, y\in [a,b]$ .

K sägs vara icke-negativ definit (eller positiv semidefinit ) om och endast om

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n} K(x_{i},x_{j})c_{i}c_{j}\geq 0$

för alla finita sekvenser av punkterna x ₁ , ..., x _n av [ a , b ] och alla val av reella tal c ₁ , ..., c _n (jfr positiv-definitiv kärna ).

Associerad till K är en linjär operator (mer specifikt en Hilbert–Schmidt-integraloperator ) på funktioner som definieras av integralen

$[T_{K}\varphi ](x)=\int _{a}^{b}K(x,s)\varphi (s)\,ds.$

Av tekniska skäl antar vi att $\varphi$ kan sträcka sig genom rymden L ² [ a , b ] (se Lp space ) för kvadratintegrerbara verkliga funktioner. Eftersom T _K är en linjär operator kan vi prata om egenvärden och egenfunktioner hos T _K .

Sats . Antag att K är en kontinuerlig symmetrisk icke-negativ bestämd kärna. Sedan finns det en ortonormal bas { e _i } _i av L ² [ a , b ] bestående av egenfunktioner av T _K så att motsvarande sekvens av egenvärden {λ _i } _i är icke-negativ. Egenfunktionerna som motsvarar egenvärden som inte är noll är kontinuerliga på [ a , b ] och K har representationen

$K(s,t)=\summa _{j=1}^{\infty }\lambda _ {j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)$

där konvergensen är absolut och enhetlig.

Detaljer

Vi förklarar nu mer detaljerat strukturen för beviset för Mercers sats, särskilt hur det förhåller sig till spektralteori om kompakta operatörer .

• Kartan K ↦ T _K är injektiv .
• T _{K är en icke} - negativ symmetrisk kompaktoperator på L2 ^[ a , b ]; dessutom K ( x , x ) ≥ 0.

För att visa kompakthet, visa att bilden av enhetskulan av L ² [ a , b ] under T _K equicontinuous och tillämpa Ascolis sats , för att visa att bilden av enhetskulan är relativt kompakt i C([ a , b ]) med den enhetliga normen och a fortiori i L ² [ a , b ].

Tillämpa nu spektralsatsen för kompakta operatorer på Hilbertrum på T _K för att visa förekomsten av den ortonormala basen { e _i } _i för L ² [ a , b ]

$\lambda _{i}e_{i}(t)=[T_{K}e_{i}](t)=\int _{a}^{b}K(t,s)e_{i }(s)\,ds.$

Om λ _{i ≠ 0,} ses egenvektorn ( egenfunktion ) e _{i vara kontinuerlig på [} a , b ]. Nu

$\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}|e_{i}(t)e_{i}(s)|\leq \sup _{x\in [a ,b]}|K(x,x)|,$

som visar att sekvensen

$\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}e_{i}(t)e_{i} (s)$

₀₀ konvergerar absolut och enhetligt till en kärna K som lätt kan ses definiera samma operator som kärnan K . Därav K = K varav Mercers sats följer.

Slutligen, för att visa icke-negativitet för egenvärdena kan man skriva $\lambda \langle f,f\rangle =\langle f,T_{K}f\ rangle$ och uttrycker den högra sidan som en integral väl approximerad av dess Riemann-summor, som är icke-negativa genom positiv definititet av K , vilket innebär $\lambda \langle f,f\rangle \geq 0$ , vilket innebär $\lambda \geq 0$ .

Spår

Följande är omedelbart:

Sats . Antag att K är en kontinuerlig symmetrisk icke-negativ bestämd kärna; T _K har en sekvens av icke-negativa egenvärden {λ _i } _i . Sedan

$\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.$

Detta visar att operatören T _K är en spårklassoperatör och

$\operatorname {trace} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt.$

Generaliseringar

Mercers sats i sig är en generalisering av resultatet att varje symmetrisk positiv-semidefinit matris är grammatrisen för en uppsättning vektorer.

Den första generaliseringen ersätter intervallet [ a , b ] med något kompakt Hausdorff - utrymme och Lebesgue - mått på [ a , b ] ersätts av ett ändligt countably additivt mått μ på Borel algebra av X vars stöd är X . Detta betyder att μ( U ) > 0 för en icke-tom öppen delmängd U av X .

En nyligen genomförd generalisering ersätter dessa villkor med följande: uppsättningen X är ett försträknat topologiskt utrymme försett med ett Borel (komplett) mått μ. X är stödet för μ och för alla x i X finns det en öppen mängd U som innehåller x och har ändligt mått. Då gäller i princip samma resultat:

Teorem . Antag att K är en kontinuerlig symmetrisk positiv-definitiv kärna på X . Om funktionen κ är L ¹ _μ ( X ), där κ(x)=K(x,x), för alla x i X , så finns det en ortonormalmängd { e i _} i _av L 2 ^μ ₍ X ) som består av av egenfunktioner för T _K så att motsvarande sekvens av egenvärden {λ _i } _i är icke-negativ. Egenfunktionerna som motsvarar egenvärden som inte är noll är kontinuerliga på X och K har representationen

$K(s,t)=\summa _{j=1}^{\infty }\lambda _ {j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)$

där konvergensen är absolut och enhetlig på kompakta delmängder av X .

Nästa generalisering handlar om representationer av mätbara kärnor.

Låt ( X , M , μ) vara ett σ-ändligt måttutrymme. En L ² (eller kvadratintegrerbar) kärna på X är en funktion

$K\in L_{\mu \otimes \mu }^{2}(X\ gånger X).$

L ² kärnor definierar en begränsad operator T _K med formeln

$\langle T_{K}\varphi ,\psi \rangle =\int _{X\ gånger X}K(y,x)\varphi (y)\psi (x)\,d[\mu \otimes \mu ](y,x).$

T _K är en kompakt operatör (egentligen är det till och med en Hilbert–Schmidt operatör ). Om kärnan K är symmetrisk, enligt spektralsatsen , har T _K en ortonormal bas av egenvektorer. De egenvektorer som motsvarar egenvärden som inte är noll kan ordnas i en sekvens { e _i } _i (oavsett separerbarhet).

Teorem . Om K är en symmetrisk positiv-definitiv kärna på ( X , M , μ), då

$K(y,x)=\summa _{i\in \mathbb {N} }\lambda _{ i}e_{i}(y)e_{i}(x)$

där konvergensen i L ² -normen. Observera att när kärnans kontinuitet inte antas, konvergerar expansionen inte längre enhetligt.

Mercers tillstånd

Inom matematiken sägs en funktion med reellt värde K(x,y) uppfylla Mercers villkor om man för alla kvadratintegrerbara funktioner g ( x ) har

$\iint g(x)K(x,y)g(y)\,dx\,dy\geq 0 .$

Diskret analog

Detta är analogt med definitionen av en positiv-halvdefinitiv matris . Detta är en matris $K$ med dimensionen ${\displaystyle N} ,$ som uppfyller, för alla vektorer $g$ , egenskapen

$(g,Kg)=g^{T}{\cdot }Kg =\summa _{i=1}^{N}\summa _{j=1}^{N}\,g_{i}\,K_{ij}\,g_{j}\geq 0$ .

Exempel

En positiv konstant funktion

$K(x,y)=c\,$

uppfyller Mercers villkor, då integralen blir av Fubinis sats

$\iint g(x )\,c\,g(y)\,dxdy=c\int \!g(x)\,dx\int \!g(y)\,dy=c\left(\int \!g(x) \,dx\right)^{2}$

vilket verkligen är icke-negativt .

Se även

• Kärntrick
• Representantsats
• Spektral teori

Anteckningar

• Adriaan Zaanen, Linjär analys , North Holland Publishing Co., 1960,
• Ferreira, JC, Menegatto, VA, Egenvärden för integraloperatorer definierade av jämna positiva bestämda kärnor , Integralekvation och Operator Theory, 64 (2009), nr. 1, 61–81. (Ger generaliseringen av Mercers sats för metriska utrymmen. Resultatet anpassas enkelt till första räknebara topologiska utrymmen)
• Konrad Jörgens , Linjära integraloperatorer , Pitman, Boston, 1982,
• Richard Courant och David Hilbert , Methods of Mathematical Physics , vol 1, Interscience 1953,
• Robert Ash, Information Theory , Dover Publications, 1990,
• Mercer, J. (1909), "Funktioner av positiv och negativ typ och deras samband med teorin om integralekvationer", Philosophical Transactions of the Royal Society A , 209 ( 441–458): 415–446, Bibcode : 1909RSPTA.209 ..415M , doi : 10.1098/rsta.1909.0016 ,
• "Mercer theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• H. König, Eigenvalue distribution of compact operators , Birkhäuser Verlag, 1986. (Ger generaliseringen av Mercers sats för finita mått μ.)