Kantor utrymme

I matematik är ett Cantor-rum , uppkallat efter Georg Cantor , en topologisk abstraktion av den klassiska Cantor-uppsättningen : ett topologiskt rum är ett Cantor-rum om det är homeomorft till Cantor-uppsättningen. I mängdlära kallas det topologiska utrymmet 2 ^ω "det" Kantorutrymmet.

Exempel

₀ Cantor -setet är ett Cantor-utrymme. Men det kanoniska exemplet på ett Cantor-rum är den uträkneliga oändliga topologiska produkten av det diskreta 2-punktsrummet {0, 1}. Detta skrivs vanligtvis som $2^{\mathbb {N} }$ eller 2 ^ω (där 2 anger 2-elementsmängden { 0,1} med den diskreta topologin ). En punkt i 2 ^ω är en oändlig binär sekvens, det vill säga en sekvens som endast antar värdena 0 eller 1. Givet en sådan sekvens a , a ₁ , a ₂ ,... kan man mappa den till det reella talet

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n+1}}}.$

Denna kartläggning ger en homeomorfism från 2 ^ω till Cantor-uppsättningen, vilket visar att 2 ^ω verkligen är ett Cantor-utrymme.

Kantorutrymmen förekommer rikligt i verklig analys . Till exempel existerar de som delrum i varje perfekt , komplett metriskt utrymme . (För att se detta, observera att i ett sådant utrymme innehåller alla icke-tomma perfekta uppsättningar två osammanhängande icke-tomma perfekta underuppsättningar med godtyckligt liten diameter, och så kan man imitera konstruktionen av den vanliga Cantor-uppsättningen .) Dessutom, varje oräknelig , separerbart , helt mätbart utrymme innehåller Cantor-utrymmen som delrum. Detta inkluderar de flesta vanliga utrymmen i verklig analys.

Karakterisering

En topologisk karakterisering av Cantor-utrymmen ges av Brouwers teorem:

Alla två icke-tomma kompakta Hausdorff-utrymmen utan isolerade punkter och med räknebara baser bestående av clopen-uppsättningar är homeomorfa till varandra.

Den topologiska egenskapen att ha en bas som består av clopen-uppsättningar kallas ibland " nolldimensionalitet" . Brouwers teorem kan omformuleras som:

Ett topologiskt utrymme är ett Cantor-utrymme om och bara om det är icke-tomt, perfekt , kompakt, totalt frånkopplat och mätbart .

Denna sats är också likvärdig (via Stones representationssats för booleska algebror ) till det faktum att två räknebara atomlösa booleska algebror är isomorfa .

Egenskaper

Som man kan förvänta sig av Brouwers sats uppträder Cantor-rum i flera former. Men många egenskaper hos Cantor-utrymmen kan fastställas med 2 ^ω , eftersom dess konstruktion som en produkt gör den mottaglig för analys.

Kantorutrymmen har följande egenskaper:

• Kardinaliteten för ett Cantor-utrymme är ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} ,$ det vill säga kontinuumets kardinalitet .
• Produkten av två (eller till och med vilket ändligt eller räknebart antal) Cantor-utrymmen som helst är ett Cantor-utrymme. Tillsammans med Cantor-funktionen kan detta faktum användas för att konstruera rymdfyllande kurvor .
• Ett (icke-tomt) Hausdorff-topologiskt utrymme är kompakt mätbart om och endast om det är en kontinuerlig bild av ett Cantor-rum.

Låt C ( X ) beteckna rymden för alla reellt värderade, avgränsade kontinuerliga funktioner på ett topologiskt rum X . Låt K beteckna ett kompakt metriskt utrymme och Δ beteckna Cantor-mängden. Då har Cantor-setet följande egenskap:

• C ( K ) är isometrisk med ett slutet delrum av C (A).

I allmänhet är denna isometri inte unik, och är därför inte riktigt en universell egenskap i kategorisk mening.

• Gruppen av alla homeomorfismer i Kantorrymden är enkel .

Se även

• Rymd (matematik)
• Kantor set
• Kantor kub

•   Kechris, A. (1995). Classical Descriptive Set Theory ( Graduate Texts in Mathematics 156 ed.). Springer. ISBN 0-387-94374-9 .