Arens–Fort utrymme

Inom matematiken är Arens -Fort-utrymmet ett speciellt exempel i teorin om topologiska utrymmen , uppkallat efter Richard Friederich Arens och MK Fort, Jr.

Definition

Arens–Fort-utrymmet är det topologiska rummet $(X,\tau )$ där $X$ är uppsättningen av ordnade par av icke-negativa heltal $(m,n).$ En delmängd $U\subseteq X$ är öppen , det vill säga tillhör $\tau ,$ om och endast om:

• $U$ innehåller inte $(0,0),$ eller
• $U$ innehåller $(0,0)$ och även alla utom ett ändligt antal punkter av alla utom ett ändligt antal kolumner, där en kolumn är en mängd $\{(m,n)~:~0\leq n\in \mathbb {Z} \}$ med $0\leq m\in \mathbb {Z }$ fixat.

Med andra ord "tillåts" en öppen uppsättning endast innehålla $(0,0)$ om endast ett ändligt antal av dess kolumner innehåller signifikanta luckor, där ett gap i en kolumn är signifikant om det utelämnar en oändligt antal poäng.

Egenskaper

Det är

• Hausdorff
• regelbunden
• vanligt

Det är det inte:

• andra räknas
• första räknebara
• mätbar
• kompakt

Det finns ingen sekvens i $X\setminus \{(0,0)\}$ som konvergerar till $(0,0).$ Det finns dock en sekvens $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i= 1}^{\infty }$ i $X\setminus \{(0,0)\}$ så att $(0,0)$ är en klusterpunkt av $x_{\bullet }.$

Se även

• Fortrum – Exempel på topologiska utrymmen
• Lista över topologier – Lista över konkreta topologier och topologiska rum

•    Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , MR 0507446