CHSH ojämlikhet

"CHSH" omdirigerar hit. För Unix-kommandot, se chsh .

Inom fysiken kan CHSH -ojämlikheten användas i beviset för Bells teorem , som säger att vissa konsekvenser av intrassling i kvantmekaniken inte kan reproduceras av lokala teorier om dolda variabler . Experimentell verifiering av den ojämlikhet som kränks ses som en bekräftelse på att naturen inte kan beskrivas med sådana teorier. CHSH står för John Clauser , Michael Horne , Abner Shimony och Richard Holt, som beskrev det i en mycket citerad artikel publicerad 1969. De härledde CHSH-ojämlikheten, som, liksom med John Stewart Bells ursprungliga ojämlikhet, är en begränsning om den statistiska förekomsten av "sammanfall" i ett Bell-test , vilket nödvändigtvis är sant om det finns underliggande lokala dolda variabler, ett antagande som ibland kallas lokal realism . I praktiken kränks ojämlikheten rutinmässigt av moderna experiment inom kvantmekanik.

Påstående

Den vanliga formen av CHSH-ojämlikheten är

$$|S|\leq 2,$$

 

 

 

 

()

var

$$S=E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b\right)+E\left(a',b'\right).$$

 

 

 

 

()

a och a ′ är detektorinställningar på sida A, b och b ′ på sida B, de fyra kombinationerna testas i separata delexperiment. Termerna E ( a , b ) etc. är kvantkorrelationerna för partikelparen, där kvantkorrelationen definieras som förväntat värde på produkten av experimentets "resultat", dvs det statistiska medelvärdet av A ( a )· B ( b ), där A och B är de separata resultaten, med hjälp av kodningen +1 för '+'-kanalen och −1 för '-'-kanalen. Clauser et al.s härledning från 1969 var orienterad mot användningen av "tvåkanaliga" detektorer, och det är faktiskt för dessa som den används allmänt, men enligt deras metod var de enda möjliga utfallen +1 och -1. För att anpassa sig till verkliga situationer, som vid den tiden innebar användning av polariserat ljus och enkanaliga polarisatorer, var de tvungna att tolka '−' som att betyda "icke-detektering i '+'-kanalen", dvs antingen '−' eller inget. De diskuterade inte i den ursprungliga artikeln hur ojämlikheten i två kanaler kunde tillämpas i verkliga experiment med verkliga imperfekta detektorer, även om det senare bevisades att ojämlikheten i sig var lika giltig. Förekomsten av nollutfall betyder dock att det inte längre är så uppenbart hur värdena på E ska uppskattas från experimentdata.

Kvantmekanikens matematiska formalism förutsäger ett maximalt värde för S på 2 √ 2 ( Tsirelsons gräns ), vilket är större än 2, och CHSH-överträdelser förutsägs därför av kvantmekanikens teori.

Experiment

Många Bell-tester som genomfördes efter Alain Aspects andra experiment 1982 har använt CHSH-ojämlikheten, uppskattat termerna med hjälp av (3) och antagit rättvisa provtagningar. Vissa dramatiska kränkningar av ojämlikheten har rapporterats.

Schematisk av ett "tvåkanaligt" klocktest. Källan S producerar par av fotoner, skickade i motsatta riktningar. Varje foton möter en tvåkanalig polarisator vars orientering kan ställas in av experimentatorn. Uppkommande signaler från varje kanal detekteras och koincidenser räknas av koincidensmonitorn CM.

I praktiken har de flesta faktiska experiment använt ljus snarare än de elektroner som Bell ursprungligen hade i åtanke. Egenskapen av intresse är, i de mest kända experimenten, polarisationsriktningen, även om andra egenskaper kan användas. Diagrammet visar ett typiskt optiskt experiment. Tillfälligheter (samtidiga upptäckter) registreras, resultaten kategoriseras som '++', '+−', '−+' eller '−−' och motsvarande antal ackumulerade.

Fyra separata delexperiment utförs, motsvarande de fyra termerna $E(a,b)$ i teststatistiken S (, ovan). Inställningarna a = 0° , a ′ = 45° , b = 22,5° och b ′ = 67,5° väljs i allmänhet i praktiken — "Klocktestvinklarna" — dessa är de för vilka den kvantmekaniska formeln ger störst kränkning av ojämlikheten.

För varje valt värde av a och b , antalet sammanträffanden i varje kategori $\left\{N_{++},N_{-- },N_{+-},N_{-+}\right\}$ spelas in. Den experimentella uppskattningen för $E(a,b)$ beräknas sedan som:

$$E={\frac {N_{++}-N_{+ -}-N_{-+}+N_{--}}{N_{++}+N_{+-}+N_{-+}+N_{--}}}$$

 

 

 

 

()

När väl alla E har uppskattats kan en experimentell uppskattning av S (Ekv. 2 ) hittas. Om det är numeriskt större än 2 har det brutit mot CHSH-ojämlikheten och experimentet förklaras ha stött kvantmekanikens förutsägelse och uteslutit alla lokala teorier om dolda variabler.

CHSH-dokumentet listar många förutsättningar (eller "rimliga och/eller förmodade antaganden") för att härleda den förenklade satsen och formeln. Till exempel, för att metoden ska vara giltig måste det antas att de detekterade paren är ett rättvist urval av de som emitteras. I faktiska experiment är detektorer aldrig 100 % effektiva, så att endast ett urval av de emitterade paren detekteras. Ett subtilt, relaterat krav är att de dolda variablerna inte påverkar eller bestämmer detektionssannolikheten på ett sätt som skulle leda till olika prover vid varje arm av experimentet.

Olika laboratorier har intrasslats och brutit mot CHSH-ojämlikheten med fotonpar , berylliumjonpar , ytterbiumjonpar , rubidiumatompar , hela rubidium-atommolnpar, kvävevakanser i diamanter och Josephsonfas qubits .

Härledning

Den ursprungliga härledningen från 1969 kommer inte att ges här eftersom den inte är lätt att följa och involverar antagandet att utfallen är alla +1 eller −1, aldrig noll. Bells härledning från 1971 är mer generell. Han antar i praktiken "Objective Local Theory" som senare användes av Clauser och Horne. Det antas att alla dolda variabler som är associerade med själva detektorerna är oberoende på båda sidorna och kan beräknas som medel från början. En annan härledning av intresse ges i Clauser och Hornes papper från 1974, där de utgår från CH74-ojämlikheten.

Det framgår av båda dessa senare härledningar att de enda antaganden som verkligen behövs för själva ojämlikheten (i motsats till metoden för uppskattning av teststatistiken) är att fördelningen av källans möjliga tillstånd förblir konstant och detektorerna på de två sidorna agerar självständigt.

Bells härledning från 1971

Följande är baserat på sidan 37 i Bell's Speakable and Unspeakable , huvudändringen är att använda symbolen ' E ' istället för ' P ' för det förväntade värdet av kvantkorrelationen. Detta undviker varje antydan om att kvantkorrelationen i sig är en sannolikhet.

Vi börjar med standardantagandet om de två sidornas oberoende, vilket gör det möjligt för oss att erhålla de gemensamma sannolikheterna för par av utfall genom att multiplicera de separata sannolikheterna, för valfritt utvalt värde av den "dolda variabeln" λ. λ antas hämtas från en fast fördelning av möjliga tillstånd för källan, varvid sannolikheten för att källan är i tillståndet λ för ett visst försök ges av densitetsfunktionen ρ(λ), vars integral över hela det dolda variabelutrymme är 1. Vi antar alltså att vi kan skriva:

$$E(a,b)=\int {\underline {A}}(a, \lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda$$

där A och B är resultaten. Eftersom de möjliga värdena för A och B är −1, 0 och +1, följer det att:

$$\left|{\underline {A}}\right|\leq 1\quad \left|{\underline {B}}\right|\leq 1$$

 

 

 

 

()

Sedan, om a , a ′, b och b ′ är alternativa inställningar för detektorerna,

$${\begin{aligned}&E (a,b)-E\left(a,b'\right)\\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b ,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\ ={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){ \underline {B}}\left(b',\lambda \right)\pm {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A }}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\mp {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline { B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda -\int {\ understryka {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \end{aligned}}$$

Om vi ​​tar absoluta värden på båda sidorna och applicerar triangelolikheten på höger sida får vi

$\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\leq \left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \ höger)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\ lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda ) d\lambda \right|$

Vi använder det faktum att $\left[1\pm {\underline {A}}\left(a' ,\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )$ och $\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right ]\rho (\lambda )$ är båda icke-negativa för att skriva om den högra sidan av detta som

$$\int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline { A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b',\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\ left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|$$

Med ( 4 ) måste detta vara mindre än eller lika med

$$\int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right )\right]\rho (\lambda )d\lambda +\int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b, \lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda$$

som, med det faktum att integralen av ρ ( λ ) är 1, är lika med

$$2\pm \left[\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\rho ( \lambda )d\lambda +\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda \ höger]$$

som är lika med $2\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left( a',b\right)\right]$ .

Om vi ​​sätter detta tillsammans med den vänstra sidan har vi:

$$\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\; \leq 2\;\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]$$

vilket betyder att den vänstra sidan är mindre än eller lika med båda $2+\left[E\left(a', b'\right)+E\left(a',b\right)\right]$ och $2-\left[ E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]$ . Det är:

$$\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq \;2-\left|E\left(a',b'\right) +E\left(a',b\right)\right|$$

som vi får ifrån

$$2\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|+\left|E\left(a',b'\right) +E\left(a',b\right)\right|\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a', b'\right)+E\left(a',b\right)\right|$$

(genom triangelolikheten igen), vilket är CHSH-olikheten.

Härledning från Clauser och Hornes ojämlikhet från 1974

I sin uppsats från 1974 visar Clauser och Horne att CHSH-ojämlikheten kan härledas från CH74. Som de berättar för oss, i ett tvåkanalsexperiment är CH74 enkanalstestet fortfarande tillämpligt och ger fyra uppsättningar av ojämlikheter som styr sannolikheterna p för tillfälligheter.

Utifrån den inhomogena versionen av ojämlikheten kan vi skriva:

$$-1\;\leq \;p_{jk}(a,b)-p_{jk}(a,b')+p_{jk}(a',b) +p_{jk}(a',b')-p_{jk}(a')-p_{jk}(b)\;\leq \;0$$

där j och k var och en är '+' eller '−', vilket indikerar vilka detektorer som övervägs.

För att få CHSH-teststatistiken S () behövs allt som behövs är att multiplicera de olikheter för vilka j skiljer sig från k med −1 och addera dessa till de olikheter för vilka j och k är lika.

Optimal överträdelse av ett allmänt kvanttillstånd

I experimentell praktik är de två partiklarna inte ett idealiskt EPR-par . Det finns ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att en två- kvbitars densitetsmatris $\rho$ ska bryta mot CHSH-olikheten, uttryckt av det maximalt uppnåbara polynomet S _max definierat i ekv. 2 . Detta är viktigt i entanglement-baserad kvantnyckeldistribution , där den hemliga nyckelräntan beror på graden av mätkorrelationer.

Låt oss introducera en 3×3 reell matris $T_{\rho }$ med elementen ${\displaystyle t_{ij}=\operatörsnamn { Tr} [\rho \cdot (\sigma _{i}\otimes \sigma _{j})]} ,$ där $\sigma _{1},\sigma _{2 },\sigma _{3}$ är Pauli-matriserna . Sedan hittar vi egensystemet för den reella symmetriska matrisen $U_{\rho }=T_{\rho }^{\text{T}}T_{\rho }$ ,

$$U_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {e}}_{i},\ quad |{\boldsymbol {e}}_{i}|=1,\quad i=1,2,3,$$

där indexen är sorterade efter $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}$ . Sedan bestäms det maximala CHSH-polynomet av de två största egenvärdena,

$$S_{\text{max}}(\rho )=2{\sqrt {\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.$$

Optimala mätbaser

Det finns en optimal konfiguration av mätbaserna a, a', b, b' för en given $\rho$ som ger S _max med minst en fri parameter.

Den projektiva mätningen som ger antingen +1 eller −1 för två ortogonala tillstånd $|\alpha \rangle ,|\alpha ^{\perp }\rangle$ respektive kan uttryckas med en operator $\mathrm {A} =|\alpha \rangle \langle \alpha |-|\alpha ^{\perp }\rangle \langle \alpha ^{\perp }|$ . Valet av denna mätbas kan parametriseras av en reell enhetsvektor ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in \mathbb {R} ^{3},|{\boldsymbol {a}}|=1} och Pauli-vektorn σ {\displaystyle {\$ boldsymbol { $sigma }}}$ genom att uttrycka $\mathrm {A} ={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$ . Då är den förväntade korrelationen i baserna a, b

$$E(a,b)=\operatörsnamn {Tr} [\rho ({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\otimes ({\boldsymbol {b}}\cdot { \boldsymbol {\sigma }})]={\boldsymbol {a}}^{\text{T}}T_{\rho }{\boldsymbol {b}}.$$

De numeriska värdena för basvektorerna, när de hittas, kan direkt översättas till konfigurationen av de projektiva mätningarna.

Den optimala uppsättningen av baser för tillståndet $\rho$ hittas genom att ta de två största egenvärdena $\lambda _{1,2}$ och motsvarande egenvektorer ${\boldsymbol {e}}_{1,2}$ av $U_{\rho }$ och hitta hjälpenhetsvektorerna

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {c}}&={\boldsymbol {e}}_{1}\cos \varphi +{\boldsymbol {e}}_{2}\sin \varphi ,\\{\boldsymbol {c}}'&={\boldsymbol {e}}_{ 1}\sin \varphi -{\boldsymbol {e}}_{2}\cos \varphi ,\end{aligned}}$$

där $\varphi$ är en fri parameter. Vi beräknar även den spetsiga vinkeln

$$\theta =\operatörsnamn {arctan} {\sqrt {\frac {\lambda _{2}+\lambda {1}\tan ^{2}{\varphi }}{\lambda _{1}+\lambda _{2}\tan ^{2}{\varphi }}}}$$

för att erhålla de baser som maximerar ekv. 2 ,

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&=T_{\rho }{\boldsymbol {c}}'/|T_{\rho }{\boldsymbol {c}}'|,\\ {\boldsymbol {a}}'&=T_{\rho }{\boldsymbol {c}}/|T_{\rho }{\boldsymbol {c}}|,\\{\boldsymbol {b}}&={ \boldsymbol {c}}\cos \theta +{\boldsymbol {c}}'\sin \theta ,\\{\boldsymbol {b}}'&={\boldsymbol {c}}\cos \theta -{\ fetsymbol {c}}'\sin \theta .\end{aligned}}$$

I entanglement-baserad kvantnyckeldistribution finns det en annan mätgrund som används för att kommunicera den hemliga nyckeln ( ${\boldsymbol {a}}_{0}$ förutsatt att Alice använder sidan A). Baserna ${\boldsymbol {a}}_{0},{\boldsymbol {b}}$ måste sedan minimera kvantbitfelsfrekvensen Q , vilket är sannolikheten för att få olika mätresultat (+ 1 på en partikel och −1 på den andra). Motsvarande baser är

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}_{0}&=T_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{1}/|T_{\rho }{\boldsymbol {e }}_{1}|,\\{\boldsymbol {b}}&={\boldsymbol {e}}_{1}.\end{aligned}}$$

CHSH-polynomet S måste också maximeras, vilket tillsammans med baserna ovan skapar begränsningen $\varphi =\pi /4$ .

CHSH spel

CHSH -spelet är ett tankeexperiment som involverar två parter som är separerade på långt avstånd (tillräckligt långt för att utesluta klassisk kommunikation med ljusets hastighet), som var och en har tillgång till hälften av ett intrasslat två-qubit-par. Analys av detta spel visar att ingen klassisk lokal teori om dolda variabler kan förklara de korrelationer som kan bli resultatet av förtrassling. Eftersom det här spelet verkligen är fysiskt realiserbart, ger detta starka bevis på att klassisk fysik i grunden är oförmögen att förklara vissa kvantfenomen, åtminstone på ett "lokalt" sätt.

I CHSH-spelet finns två samarbetande spelare, Alice och Bob, och en domare, Charlie. Dessa agenter kommer att förkortas $A,B,C$ respektive. I början av spelet väljer Charlie bitarna $x,y\in \{0,1\}$ jämnt slumpmässigt och skickar sedan $x$ till Alice och $y$ till Bob. Alice och Bob måste sedan svara Charlie med bitarna $a,b\in \{0,1\}$ respektive. Nu, när Alice och Bob skickar tillbaka sina svar till Charlie, testar Charlie om $a\oplus b=x\land y$ . Om denna jämställdhet håller, vinner Alice och Bob, och om inte så förlorar de.

Det krävs också att Alice och Bobs svar bara kan bero på de bitar de ser: så Alices svar $a$ beror bara på $x$ , och på liknande sätt för Bob. Det betyder att Alice och Bob är förbjudna att direkt kommunicera med varandra om värdena på de bitar som Charlie skickat till dem. Alice och Bob får dock bestämma sig för en gemensam strategi innan spelet börjar.

I de följande avsnitten visas att om Alice och Bob endast använder klassiska strategier som involverar deras lokala information (och eventuellt några slumpmässiga myntkast), är det omöjligt för dem att vinna med en sannolikhet som är högre än 75 %. Men om Alice och Bob tillåts att dela ett enda intrasslat qubit-par, så finns det en strategi som tillåter Alice och Bob att lyckas med en sannolikhet på ~85%.

Optimal klassisk strategi

Vi slår först fast att varje deterministisk klassisk strategi har en framgångssannolikhet på högst 75 % (där sannolikheten tas över Charlies enhetligt slumpmässiga val av $x,y$ ) Med en deterministisk strategi menar vi ett par funktioner $f_{A},f_{B}:\{0,1\}\mapsto \{ 0,1\}$ , där $f_{A}$ är en funktion som bestämmer Alices svar som en funktion av meddelandet hon får från Charlie, och $f_{B}$ är en funktion som bestämmer Bobs svar baserat på vad han får. För att bevisa att någon deterministisk strategi misslyckas minst 25 % av tiden kan vi helt enkelt överväga alla möjliga strategipar för Alice och Bob, av vilka det finns högst 8 (för varje part finns det 4 funktioner ${\displaystyle \{0,1\}\mapsto \{0,1\}} )$ . Det kan verifieras att för var och en av dessa 8 strategier finns det alltid minst ett av de fyra möjliga ingångsparen $(x,y)\in \{0,1 \}^{2}$ vilket gör att strategin misslyckas. Till exempel, i strategin där båda spelarna alltid svarar 0, har vi att Alice och Bob vinner i alla fall utom när $x=y=1$ , så att använda denna strategi är deras sannolikhet för vinst exakt 75 %.

Tänk nu på fallet med randomiserade klassiska strategier, där Alice och Bob har tillgång till korrelerade slumptal. De kan produceras genom att gemensamt vända ett mynt flera gånger innan spelet har börjat och Alice och Bob fortfarande får kommunicera. Resultatet de ger vid varje omgång är sedan en funktion av både Charlies budskap och resultatet av motsvarande myntvändning. En sådan strategi kan ses som en sannolikhetsfördelning över deterministiska strategier, och därmed är dess framgångssannolikhet en viktad summa över framgångssannolikheterna för de deterministiska strategierna. Men eftersom varje deterministisk strategi har en framgångssannolikhet på högst 75 %, kan inte heller denna viktade summa överstiga 75 %.

Optimal kvantstrategi

Föreställ dig nu att Alice och Bob har varsin qubit av följande 2-qubit intrasslade tillstånd: ${\textstyle \Phi ={\frac {1}{\sqrt {2 }}}(|00\rangle +|11\rangle )}$ . Detta tillstånd kallas vanligtvis för EPR-paret och kan på samma sätt skrivas som ${\textstyle \Phi ={\frac {1}{\sqrt {2} }}(|++\rangle +|--\rangle )}$ . Alice och Bob kommer att använda detta intrasslade par i sin strategi som beskrivs nedan. Optimaliteten av denna strategi följer av Tsirelsons bunden .

När Alice får sin bit $x$ från Charlie, om $x=0$ kommer hon att mäta sin qubit i basen $|0\rangle ,|1\rangle$ , och svara sedan med 0 om mätresultatet är $|0\rangle$ och 1 om det är $|1\rangle$ .

Annars, om $x=1$ kommer hon att mäta sin qubit i basen $|+\rangle ,|-\rangle$ , och svara med 0 om mätresultatet är $|+\rangle$ , och 1 om det är $|-\rangle$ .

När Bob får sin bit $y$ från Charlie, om $y=0$ kommer han att mäta sin qubit i basen $|a_{0}\rangle ,|a_{1}\rangle$ där ${\textstyle |a_{0}\rangle =\left(\cos {\frac {\pi }{8}}\right)|0\rangle +\left(\sin {\frac {\pi }{ 8}}\right)|1\rangle }$ och ${\textstil |a_{1}\rangle =\left(-\sin {\frac {\pi }{8}}\right)|0\rangle +\left(\cos {\frac {\pi } {8}}\right)|1\rangle }$ . Han svarar sedan med 0 om resultatet är $|a_{0}\rangle$ och 1 om det är $|a_{1}\rangle$ .

Annars, om $y=1$ , kommer han att mäta sin qubit i basen $|b_{0}\rangle ,|b_{1}\rangle$ där ${\textstyle |b_{0}\rangle =\left(\cos {\frac {\pi }{8}}\right)|0\rangle -\left(\sin {\frac {\pi }{ 8}}\right)|1\rangle }$ och ${\textstyle |b_{1}\rangle =(\sin {\frac {\pi }{8}})|0\rangle +\left(\cos {\frac {\pi }{8}}\ höger)|1\rangle }$ . I det här fallet svarar han med 0 om resultatet är $|b_{0}\rangle$ , och 1 om det är $|b_{1}\rangle$ .

För att analysera framgångssannolikheten räcker det att analysera sannolikheten att de matar ut ett vinnande värdepar på var och en av de fyra möjliga ingångarna ( $\displaystyle (x,y)}$ och sedan ta medelvärdet. Vi analyserar fallet där $x=y=0$ här: I det här fallet är de vinnande svarsparen $a=b=0$ och $a=b=1$ . På ingången $x=y=0$ vet vi att Alice kommer att mäta i basen $|0\rangle ,|1\rangle$ , och Bob kommer att mäta i basen $|a_{0}\rangle ,|a_{1}\rangle$ . Då är sannolikheten att de båda ger 0 samma som sannolikheten att deras mätningar ger $|0\rangle ,|a_{0}\rangle$ respektive, så exakt ${\textstyle |(\langle 0|\otimes \langle a_{0}|)|\Phi \rangle |^{2}={\frac {1}{2} }\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ . På samma sätt är sannolikheten att de båda matar ut 1 exakt ${\textstyle |(\langle 1|\otimes \langle a_{1}|)|\Phi \rangle |^{2}={\frac {1}{2} }\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ . Så sannolikheten att något av dessa framgångsrika resultat inträffar är ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ .

När det gäller de 3 andra möjliga ingångsparen visar i huvudsak identisk analys att Alice och Bob kommer att ha samma vinstsannolikhet på $\cos ^{2}\left({\frac {\ pi }{8}}\right)$ , så totalt sett är den genomsnittliga vinstsannolikheten för en slumpmässigt vald indata ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{ 8}}\right)}$ . Eftersom ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)\approx 85\%} är$ detta absolut bättre än vad var möjligt i det klassiska fallet.

Modellering av allmänna kvantstrategier

En godtycklig kvantstrategi för CHSH-spelet kan modelleras som en trippel ${\mathcal {S}}=\left(| \psi \rangle ,(A_{0},A_{1}),(B_{0},B_{1})\right)$ där

• ${\displaystyle |\psi \rangle \in \mathbb {C} ^{d}\otimes \mathbb {C} ^{d}} är ett tvådelat tillstånd för vissa d {$ \ $d }$ ,
• $A_{0}$ och $A_{1}$ är Alices observerbara objekt som var och en motsvarar att ta emot $x\in \{0,1\}$ från domaren , och
• $B_{0}$ och $B_{1}$ är Bobs observerbara objekt som var och en motsvarar att ta emot $y\in \{0,1\}$ från domaren .

Den optimala kvantstrategin som beskrivs ovan kan omarbetas i denna notation enligt följande: $|\psi \rangle \in \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}$ är EPR-paret ${\textstil |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$ , det observerbara $A_{0}=Z$ (motsvarande Alice mäter i ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}-$ basen), den observerbara $A_{1}=X$ (motsvarande Alice mäter i basen { $\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$ ), där $X$ och $Z$ är Pauli-matriser . De observerbara ${\textstyle B_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X+Z)}$ och ${\textstyle B_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(ZX)}$ (motsvarande var och en av Bobs val av bas att mäta i). Vi kommer att beteckna framgångssannolikheten för en strategi ${\mathcal {S}}$ i CHSH-spelet med $\omega _{\text{CHSH}}^{*}( {\mathcal {S}})$ , och vi definierar biasen för strategin ${\mathcal {S}}$ som ${\ displaystyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}}):=2\omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}}) -1}$ , vilket är skillnaden mellan vinst- och förlustsannolikheterna för ${\mathcal {S}}$ .

I synnerhet har vi

$$\beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})={\frac {1}{4}}\summa _{x,y\in \{0, 1\}}(-1)^{x\wedge y}\cdot \langle \psi |A_{x}\otimes B_{y}|\psi \rangle .$$

Biasen för den ovan beskrivna kvantstrategin är ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ .

Tsirelsons ojämlikhet och CHSH stelhet

Se även: Tsirelsons bunden

Tsirelsons ojämlikhet, upptäckt av Boris Tsirelson 1980, säger att för varje kvantstrategi ${\mathcal {S}}$ för CHSH-spelet, är biasen ${\textstyle \beta _ {\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ . På motsvarande sätt anger den att framgångssannolikheten

$$\omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq \ cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2}}} }$$

för valfri kvantstrategi ${\mathcal {S}}$ för CHSH-spelet. I synnerhet innebär detta optimaliteten hos kvantstrategin som beskrivs ovan för CHSH-spelet.

Tsirelsens ojämlikhet fastställer att den maximala framgångssannolikheten för en kvantstrategi är ${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)} ,$ och vi såg att denna maximala framgångssannolikhet uppnås genom den ovan beskrivna kvantstrategin. Faktum är att varje kvantstrategi som uppnår denna maximala framgångsannolikhet måste vara isomorf (i en exakt mening) till den ovan beskrivna kanoniska kvantstrategin; denna egenskap kallas styvheten i CHSH-spelet, först tillskriven Summers och Werner. Mer formellt har vi följande resultat:

Sats (Exakt CHSH-styvhet) — Låt ${\mathcal {S}}=\left(|\psi \rangle ,( A_{0},A_{1}),(B_{0},B_{1})\right)$ vara en kvantstrategi för CHSH-spelet där ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {A}}\ibland {\mathcal {B}}} så att$ ω $\ textstil \omega _{\text{CHSH}}({\mathcal {S}})=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$ . Sedan finns det isometrier $V:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2 }$ och $W:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}_{1}\otimes {\mathcal {B}}_{2}$ där ${\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {B}}_{1}$ är isomorfa till $\mathbb {C} ^{2 }$ så att låta $|\theta \rangle =(V\otimes W)|\psi \rangle$ vi har

$$|\theta \rangle =|\Phi \rangle _{{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {B}}_{1}}\otimes | \phi \rangle _{{\mathcal {A}}_{2},{\mathcal {B}}_{2}}$$

där ${\textstil |\Phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|00\rangle +|11\rangle \ höger)}$ anger EPR-paret och $|\phi \rangle _{{\mathcal {A}}_{2},{\mathcal {B}}_{2}}$ betecknar något rent tillstånd, och

$${\begin{aligned}(V\otimes W)A_{0}|\psi \rangle =Z_{{\mathcal {A}}_{1}}|\theta \rangle ,&\qquad (V \otimes W)B_{0}|\psi \rangle =Z_{{\mathcal {B}}_{1}}|\theta \rangle ,\\(V\otimes W)A_{1}|\psi \ rangle =X_{{\mathcal {A}}_{1}}|\theta \rangle ,&\qquad (V\otimes W)B_{1}|\psi \rangle =Z_{{\mathcal {B}} _{1}}|\theta \rangle .\end{aligned}}$$

Informellt säger ovanstående teorem att givet en godtycklig optimal strategi för CHSH-spelet, finns det en lokal förändring av basen (given av isometrierna $V,W$ ) för Alice och Bob så att deras delade staten $|\psi \rangle$ faktorer in i tensorn för ett EPR-par $|\Phi \rangle$ och ett extra hjälptillstånd $|\phi \rangle$ . Dessutom beter sig Alice och Bobs observerbara $(A_{0},A_{1})$ och $(B_{0},B_{1})$ , upp till enhetliga transformationer, som $Z$ och $X$ observerbara på sina respektive qubits från EPR-paret. En ungefärlig eller kvantitativ version av CHSH-styvhet erhölls av McKague, et al. vem bevisade att om du har en kvantstrategi ${\mathcal {S}}$ så att ${\textstyle \omega _{\text{CHSH} }({\mathcal {S}})=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)-\epsilon } för vissa ϵ > {\displaystyle \$ epsilon $\epsilon >0$, then there exist isometries under which the strategy ${\mathcal {S}}$ is $O({\sqrt {\epsilon }})$-close to the canonical quantum strategy. Representation-theoretic proofs of approximate rigity are also known.

Ansökningar

Observera att CHSH-spelet kan ses som ett test för kvantentanglement och kvantmätningar, och att CHSH-spelets styvhet låter oss testa för en specifik intrassling såväl som specifika kvantmätningar. Detta kan i sin tur utnyttjas för att testa eller till och med verifiera hela kvantberäkningar – i synnerhet har styvheten i CHSH-spel utnyttjats för att konstruera protokoll för verifierbar kvantdelegering, certifierbar slumpmässig expansion och enhetsoberoende kryptografi.

Se även

• Korrelation innebär inte orsakssamband
• Leggett–Garg ojämlikhet
• Kvantspelsteori