Lista över bestämda integraler

I matematik, den bestämda integralen

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

är arean av området i xy -planet som begränsas av grafen för f , x -axeln och linjerna x = a och x = b , så att arean ovanför x -axeln adderas till totalen, och att nedan x -axeln subtraherar från summan .

Den grundläggande kalkylsatsen fastställer sambandet mellan obestämda och bestämda integraler och introducerar en teknik för att utvärdera bestämda integraler.

Om intervallet är oändligt kallas den bestämda integralen för en felaktig integral och definieras med hjälp av lämpliga begränsningsprocedurer. till exempel:

$\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _ {b\to \infty }\left[\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]$

En konstant, sådan pi, som kan definieras av integralen av en algebraisk funktion över en algebraisk domän kallas en period .

Följande är en lista över några av de vanligaste eller mest intressanta definitiva integralerna. För en lista över obestämda integraler se Lista över obestämda integraler .

Bestämda integraler som involverar rationella eller irrationella uttryck

$\int _{0}^{\infty } {\frac {x^{m}dx}{x^{n}+a^{n}}}={\frac {\pi a^{m-n+1}}{n\sin \left({ \dfrac {m+1}{n}}\pi \right)}}\quad {\text{för }}0<m+1<n$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{p-1}dx}{1 +x}}={\frac {\pi }{\sin(p\pi )}}\quad {\text{för }}0<p<1$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}dx}{1+2x\cos \beta +x ^{2}}}={\frac {\pi }{\sin(m\pi )}}\cdot {\frac {\sin(m\beta )}{\sin(\beta )}}$

$\int _{0}^{a}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}={\ frac {\pi }{2}}$

$\int _{0}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}dx={\frac {\pi a^{2} }{4}}$

$\int _{0}^{a}x^{m}(a^{n}-x^{n})^{p}\,dx={\frac { a^{m+1+np}\Gamma \left({\dfrac {m+1}{n}}\right)\Gamma (p+1)}{n\Gamma \left({\dfrac {m+ 1}{n}}+p+1\höger)}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}dx}{({x^{n}+a^{n})}^{r}}}={\ frac {(-1)^{r-1}\pi a^{m+1-nr}\Gamma \left({\dfrac {m+1}{n}}\right)}{n\sin \left ({\dfrac {m+1}{n}}\pi \right)(r-1)!\,\Gamma \left({\dfrac {m+1}{n}}-r+1\right) }}\quad {\text{för }}n(r-2)<m+1<nr$

Bestämda integraler som involverar trigonometriska funktioner

$\int _{0}^{\pi }\sin (mx)\sin(nx)dx={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\\\{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if } }m=n\end{cases}}\quad {\text{för }}m,n{\text{ positiva heltal}}$

$\int _{0}^{\pi }\cos(mx )\cos(nx)dx={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\\\{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}m =n\end{cases}}\quad {\text{för }}m,n{\text{ positiva heltal}}$

$\int _{0}^{\pi }\sin(mx)\cos(nx)dx={\begin{cases}0&{\text{if }}m+n{\text{even}} \\\\{\dfrac {2m}{m^{2}-n^{2}}}&{\text{if }}m+n{\text{ udda}}\end{cases}}\quad {\text{för }}m,n{\text{ heltal}}.$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2}(x)dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2 }(x)dx={\frac {\pi }{4}}$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2m}(x)dx=\int _{0}^{\ frac {\pi }{2}}\cos ^{2m}(x)dx={\frac {1\ gånger 3\ gånger 5\ gånger \cdots \ gånger (2m-1)}{2\ gånger 4\ gånger 6\times \cdots \times 2m}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\quad {\text{for }}m=1,2,3\ldots$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2m+1}(x)dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2 }}\cos ^{2m+1}(x)dx={\frac {2\ gånger 4\ gånger 6\ gånger \cdots \ gånger 2m}{1\ gånger 3\ gånger 5\ gånger \cdots \ gånger (2m +1)}}\quad {\text{för }}m=1,2,3\ldots$

$\int _{0}^{\frac {\pi}{2}}\sin ^{2p-1}(x)\cos ^{ 2q-1}(x)dx={\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)}{2\Gamma (p+q)}}={\frac {1}{2}}{\text{ B}}(p,q)$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(px)}{x}}dx={\begin{cases}{\dfrac {\pi }{2}}&{ \text{if }}p>0\\\\0&{\text{if }}p=0\\\\-{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{if }}p< 0\end{cases}}$ (se Dirichlet-integralen )

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin px\cos qx}{x}}\ dx={\begin{cases}0&{\text{ if } }q>p>0\\\\{\dfrac {\pi }{2}}&{\text{ if }}0<q<p\\\\{\dfrac {\pi }{4}}& {\text{ if }}p=q>0\end{cases}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin px\sin qx}{x^{2}}}\ dx={\begin{cases}{\dfrac {\ pi p}{2}}&{\text{ if }}0<p\leq q\\\\{\dfrac {\pi q}{2}}&{\text{ if }}0<q\leq p\end{cases}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}px}{ x^{2}}}\ dx={\frac {\pi p}{2}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1-\cos px}{x^{2}}}\ dx={\frac {\pi p}{2 }}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos px-\cos qx}{x }}\ dx=\ln {\frac {q}{p}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos px-\cos qx}{x^{2}}}\ dx={\frac { \pi (qp)}{2}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac { \cos mx}{x^{2}+a^{2}}}\ dx={\frac {\pi }{2a}}e^{-ma}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\sin mx}{x^{2}+a^{2}} }\ dx={\frac {\pi }{2}}e^{-ma}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin mx}{x(x^{2}+a^{2})}}\ dx={\frac {\pi }{ 2a^{2}}}\left(1-e^{-ma}\right)$

$\int _{0} ^{2\pi }{\frac {dx}{a+b\sin x}}={\frac {2\pi }{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{a+b\cos x}}={\frac {2\pi }{\sqrt {a^{2 }-b^{2}}}}$

$\int _{0}^{\frac { \pi }{2}}{\frac {dx}{a+b\cos x}}={\frac {\cos ^{-1}\left({\dfrac {b}{a}}\right) }{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

$\int _{0}^{2\ pi }{\frac {dx}{(a+b\sin x)^{2}}}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{(a+b\cos x )^{2}}}={\frac {2\pi a}{(a^{2}-b^{2})^{3/2}}}$

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{1-2a\cos x+a^{2}}}={\frac {2\pi }{1-a^{2}}}\quad {\text{för }}0<a<1$

$\int _{0}^{\pi }{\frac {x\sin x\ dx}{1-2a\cos x+a^{2}}}={\begin{cases}{ \dfrac {\pi }{a}}\ln \left|1+a\right|&{\text{if }}|a|<1\\\\{\dfrac {\pi }{a}}\ ln \left|1+{\dfrac {1}{a}}\right|&{\text{if }}|a|>1\end{case}}$

$\int _{0}^{ \pi }{\frac {\cos mx\ dx}{1-2a\cos x+a^{2}}}={\frac {\pi a^{m}}{1-a^{2}} }\quad {\text{för }}a^{2}<1\ ,\ m=0,1,2,\dots$

$\int _{0}^{\infty }\sin ax^{2}\ dx=\int _{ 0}^{\infty }\cos ax^{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2a}}}$

$\int _{0}^{\infty }\sin ax^{n}={\frac {1}{na^{1/n}}}\Gamma \left ({\frac {1}{n}}\right)\sin {\frac {\pi }{2n}}\quad {\text{för }}n>1$

$\int _{0}^{\infty }\cos ax^{n}={\frac {1}{na^{1/n}}}\Gamma \left({\frac {1}{ n}}\right)\cos {\frac {\pi }{2n}}\quad {\text{for }}n>1$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{\sqrt {x}}}\ dx=\int _{0}^{\infty }{\frac { \cos x}{\sqrt {x}}}\ dx={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x^{p}}}\ dx={\frac {\pi }{2\Gamma (p)\sin \left({\dfrac {p\pi }{2}}\right)}}\quad {\text{för }}0<p <1$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos x}{x^{p}}}\ dx={\frac {\pi }{2 \Gamma (p)\cos \left({\dfrac {p\pi }{2}}\right)}}\quad {\text{för }}0<p<1$

$\int _{0}^{\infty }\sin ax^{2}\cos 2bx\ dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{ 2a}}}\left(\cos {\frac {b^{2}}{a}}-\sin {\frac {b^{2}}{a}}\right)$

$\int _{0}^{\infty }\cos ax^{2}\cos 2bx\ dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2a} }}\left(\cos {\frac {b^{2}}{a}}+\sin {\frac {b^{2}}{a}}\right)$

Bestämda integraler som involverar exponentialfunktioner

$\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1 }{2}}{\sqrt {\pi }}$ (se även Gamma-funktion )

$\int _{0}^{ \infty }e^{-ax}\cos bx\,dx={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}$

$\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\,dx={\frac {b}{ a^{2}+b^{2}}}$

$\int _{0}^{\infty }{\ frac {{}e^{-ax}\sin bx}{x}}\,dx=\tan ^{-1}{\frac {b}{a}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{ x}}\,dx=\ln {\frac {b}{a}}$

$\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\quad {\text{för }}a >0$ (den Gaussisk integral )

$\int _{0}^{\infty }{e^{-ax^ {2}}}\cos bx\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\left({\frac {-b^ {2}}{4a}}\right)}$

$\int _{0}^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\left({\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right)}\cdot \operatörsnamn {erfc} {\frac {b}{2 {\sqrt {a}}}},{\text{ där }}\operatörsnamn {erfc} (p)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{p}^{\ infty }e^{-x^{2}}\,dx$

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\ dx={\sqrt {\frac {\pi }{a} }}e^{\left({\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right)}$

$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}\ dx={\frac {\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}$

$\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{ 4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}\quad {\text{för }}a>0$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {2n-1}{2a}}\int _{0 }^{\infty }x^{2(n-1)}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1} }}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}={\frac {(2n)!}{n!2^{2n+1}}}{\sqrt {\ frac {\pi }{a^{2n+1}}}}\quad {\text{för }}a>0\ ,\ n=1,2,3\ldots } (där !!$ är dubbelfaktorn )

$\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}\ quad {\text{för }}a>0$

$\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n}{a} }\int _{0}^{\infty }x^{2n-1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}} \quad {\text{för }}a>0\ ,\ n=0,1,2\ldots$

$\int _{0}^{\infty }x^{m}e^{-ax^{2}}\ dx={\frac {\Gamma \left({\dfrac {m+1}{ 2}}\right)}{2a^{\left({\frac {m+1}{2}}\right)}}}$

$\int _{0}^{\infty }e^{\left(-ax^{2}-{\frac {b}{x^{2}}}\ höger)}\ dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{-2{\sqrt {ab}}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\ dx=\zeta (2 )={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\int _{0}^{ \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}-1}}\ dx=\Gamma (n)\zeta (n)$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^ {x}+1}}\ dx={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{ 2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{12}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}+1}}\ dx=n!\cdot \left({\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}\right)\zeta (n+1)$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin mx}{e^{2\pi x}-1}}\ dx={\frac {1}{4}}\coth {\frac {m}{2}}-{\frac {1}{2m}}$

${\displaystyle \int _{0}^{ \infty }\left({\frac {1}{1+x}}-e^{-x}\right)\ {\frac {dx}{x}}=\gamma } (där γ {$ \ $\ gamma }$ är Euler–Mascheroni konstant )

$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\ dx ={\frac {\gamma }{2}}$

$\int _{0}^{\infty }\left({\ frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {e^{-x}}{x}}\right)\ dx=\gamma$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{ -bx}}{x\sec px}}\ dx={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}+p^{2}}{a^{2}+p ^{2}}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x\csc px} }\ dx=\tan ^{-1}{\frac {b}{p}}-\tan ^{-1}{\frac {a}{p}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-ax}(1-\cos x)}{x^{2}}}\ dx=\cot ^{-1} a-{\frac {a}{2}}\ln \left|{\frac {a^{2}+1}{a^{2}}}\right|$

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$

$\int _{-\infty }^{\infty }x^{2(n+1)}e^{-{\frac {1}{2} }x^{2}}\,dx={\frac {(2n+1)!}{2^{n}n!}}{\sqrt {2\pi }}\quad {\text{för }} n=0,1,2,\ldots$

Bestämda integraler som involverar logaritmiska funktioner

$\int _{0}^{1}x^{m}(\ln x)^{n}\ ,dx={\frac {(-1)^{n}n!}{(m+1)^{n+1}}}\quad {\text{för }}m>-1,n=0, 1,2,\ldots$

$\int _{1}^{\infty }x^{m}(\ln x)^{n}\,dx={\frac {(-1)^{n+1}n!}{ (m+1)^{n+1}}}\quad {\text{för }}m<-1,n=0,1,2,\ldots$

$\int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{1+x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{12}}$

$\int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{1-x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)}{x}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{12}}$

$\int _{0}^{1}{\frac {\ln( 1-x)}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(a^{2}+x^{2})}{b^{2}+x^{2}}}\ dx={\frac {\pi}{b}}\ln(a+ b)\quad {\text{för }}a,b>0$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x}{x^{2}+a^{2}}}\ dx={\frac {\pi \ln a}{2a}}\quad {\text{för }}a>0$

Bestämda integraler som involverar hyperboliska funktioner

$$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ax}{\sinh bx}} \ dx={\frac {\pi }{2b}}\tanh {\frac {a\pi }{2b}}$$

$$\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos ax}{\cosh bx }}\ dx={\frac {\pi }{2b}}\cdot {\frac {1}{\cosh {\frac {a\pi }{2b}}}}$$

$$\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\sinh ax}}\ dx={\frac {\pi ^{2}}{4a^{2}}}$$

$$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1 }}{\sinh axe}}\ dx=c_{2n+1}\left({\frac {\pi }{a}}\right)^{2(n+1)},\quad c_{2n+ 1}={\frac {(-1)^{n}}{2}}\left({\frac {1}{2}}-\summa _{k=0}^{n-1}(- 1)^{k}{2n+1 \choose 2k+1}c_{2k+1}\right),\quad c_{1}={\frac {1}{4}}$$

$$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\cosh ax}}\ dx={\frac {\pi }{ 2a}}$$

$$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh ax}}\ dx=d_{2n}\ vänster({\frac {\pi }{a}}\right)^{2n+1},\quad d_{2n}={\frac {(-1)^{n}}{2}}\left( {\frac {1}{4^{n}}}-\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}{2n \choose 2k}d_{2k}\right) ,\quad d_{0}={\frac {1}{2}}$$

Frullani integraler

$$\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\ dx=\left(\lim _{x\to 0}f(x )-\lim _{x\to \infty }f(x)\right)\ln \left({\frac {b}{a}}\right)$$

gäller om integralen finns och $f'(x)$ är kontinuerlig.

Se även

• Lista över integraler
• Obestämd summa
• Gamma funktion
• Lista över gränser

• Reynolds, Robert; Stauffer, Allan (2020). "Herledning av logaritmiska och logaritmiska hyperboliska tangentintegraler uttryckta i termer av specialfunktioner" . Matematik . 8 (687): 687. doi : 10.3390/math8050687 .
• Reynolds, Robert; Stauffer, Allan (2019). "En bestämd integral som involverar den logaritmiska funktionen i termer av Lerch-funktionen" . Matematik . 7 (1148): 1148. doi : 10.3390/math7121148 .
• Reynolds, Robert; Stauffer, Allan (2019). "Definitiv integral av arktangens- och polylogaritmiska funktioner uttryckta som en serie" . Matematik . 7 (1099): 1099. doi : 10.3390/math7111099 .
• Winckler, Anton (1861). "Eigenschaften Einiger Bestimmten Integrale". Hof, KK, Ed .
•   Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Liu, John (2009). Matematisk handbok med formler och tabeller (3:e uppl.). McGraw-Hill . ISBN 978-0071548557 .
•   Zwillinger, Daniel (2003). CRC-standard matematiska tabeller och formler (32:a upplagan). CRC Tryck på . ISBN 978-143983548-7 .
•      Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , red. (1983) [juni 1964]. Handbok för matematiska funktioner med formler, grafer och matematiska tabeller . Serien tillämpad matematik. Vol. 55 (Nionde nytrycket med ytterligare korrigeringar av tionde originaltrycket med korrigeringar (december 1972); första upplagan). Washington DC; New York: USA:s handelsdepartement, National Bureau of Standards; Dover Publikationer. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .