Obestämd summa

I diskret kalkyl är den obestämda summaoperatorn (även känd som antidifferensoperatorn ), betecknad med ${\textstyle \sum _{x}}$ eller $\Delta ^{-1}$ , den linjära operatorn , invers av den framåtriktade differensoperatorn $\Delta$ . Den hänför sig till terminsdifferensoperatorn eftersom den obestämda integralen hänför sig till derivatan . Således

$\Delta \sum _{x}f(x)=f(x)\,.$

Mer explicit, om ${\textstyle \sum _{x}f(x)=F(x)}$ , då

$F(x+1)-F(x)=f(x)\,.$

Om F ( x ) är en lösning av denna funktionella ekvation för en given f ( x ), så är F ( x )+ C ( x ) det också för varje periodisk funktion C ( x ) med period 1. Därför är varje obestämd summa faktiskt representerar en familj av funktioner. Men på grund av Carlsons teorem är lösningen lika med dess Newton-serieexpansion unik upp till en additiv konstant C . Denna unika lösning kan representeras av formell potensserieform av antidifferensoperatorn: $\Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1 }}$ .

Grundsats för diskret kalkyl

Obestämda summor kan användas för att beräkna bestämda summor med formeln:

$\sum _{k=a}^{b}f(k)=\Delta ^ {-1}f(b+1)-\Delta ^{-1}f(a)$

Definitioner

Laplace summeringsformel

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_ {k}\Delta ^{k-1}f(x)}{k!}}+C} där$

c $\displaystyle c_ {k}=\int _{0}^{1}{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}dx} är Cauchy-talen av det första slaget,$ även känd som Bernoulli Numbers of the Second Kind.

Newtons formel

$\sum _{x}f(x)=\summa _{k=1}^{\infty }{\binom {x}{k}}\Delta ^{k-1 [f]\left(0\right)+C=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k-1}[f](0)}{k!} }(x)_{k}+C$

där $(x)_{k}={\frac {\Gamma (x +1)}{\Gamma (x-k+1)}}$ är den fallande faktorn .

Faulhabers formel

$\sum _{x}f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n-1)}(0 )}{n!}}B_{n}(x)+C\,,$

förutsatt att den högra sidan av ekvationen konvergerar.

Muellers formel

Om $\lim _{x\to {+\infty }}f(x)=0,$ så

$\sum _{x}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(f(n)-f(n+x)\right)+C.$

Euler-Maclaurin formel

$\sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt-{\frac {1}{2 }}f(x)+\summa _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)+C$

Val av konstant term

Ofta är konstanten C i obestämd summa fixerad från följande villkor.

Låta

$F(x)=\summa _{x}f(x)+C$

Sedan fixeras konstanten C från villkoret

$\int _{0}^{1}F(x)\,dx=0$

eller

$\int _{1}^{2}F(x)\,dx=0$

Alternativt kan Ramanujans summa användas:

$\sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-f(0)-F(0)$

eller vid 1

$\sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-F(1)$

respektive

Summering efter delar

Huvudartikel: Sammanfattning efter delar

Obestämd summering av delar:

$\sum _{x}f (x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\summa _{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x)$

$\sum _{x}f (x)\Delta g(x)+\summa _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\summa _{x}\Delta f(x)\Delta g(x)$

Definitiv summering av delar:

$\sum _{i=a}^{b}f(i)\Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a) -\summa _{i=a}^{b}g(i+1)\Delta f(i)$

Periodregler

Om $T$ är en period av funktion $f(x)$ så

$\sum _{x}f(Tx)=xf(Tx)+C$

Om $T$ är en antiperiod för funktionen $f(x)$ , det vill säga $f(x+T)=- f(x)$ då

$\sum _{x}f(Tx)=-{\frac {1}{2}}f(Tx)+C$

Alternativ användning

Vissa författare använder frasen "obestämd summa" för att beskriva en summa där det numeriska värdet för den övre gränsen inte anges:

$\sum _{k=1}^{n}f(k).$

I detta fall är ett slutet formuttryck F ( k ) för summan en lösning av

$F(x+1)-F(x)=f(x+1)$

som kallas teleskopekvationen. Det är inversen av bakåtskillnaden ∇ $\displaystyle \nabla }$ operatorn. Det är relaterat till den framåtriktade antidifferensoperatorn som använder den grundläggande satsen för diskret kalkyl som beskrivits tidigare.

Lista över obestämda summor

Detta är en lista över obestämda summor av olika funktioner. Inte varje funktion har en obestämd summa som kan uttryckas i termer av elementära funktioner.

Antiskillnader mellan rationella funktioner

$\sum _{x}a=ax+C$

$\sum _{x}x={\frac { x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}+C$

$\ summa _{x}x^{a}={\frac {B_{a+1}(x)}{a+1}}+C,\,a\notin \mathbb {Z} ^{-}$

där ${\displaystyle B_{a}(x)=-a\zeta (-a+1,x)} ,$ de generaliserade till verkliga Bernoulli-polynomen .

$\sum _{x}x^{a}={ \frac {(-1)^{a-1}\psi ^{(-a-1)}(x)}{\Gamma (-a)}}+C,\,a\in \mathbb {Z} ^{-}$

där $\psi ^{(n)}(x)$ är polygammafunktionen .

$\sum _{x}{\frac {1}{x}}=\psi (x)+C$

där $\psi ( x)$ är digammafunktionen .

$\sum _{x}B_{a}(x)=( x-1)B_{a}(x)-{\frac {a}{a+1}}B_{a+1}(x)+C$

Antiskillnader av exponentiella funktioner

$\sum _{x}a^{x}={\frac {a^{x}}{a-1}}+C$

Särskilt,

$\sum _{x}2^{x}=2^{x}+C$

Antiskillnader för logaritmiska funktioner

$\sum _{x}\log _{b}x=\log _{b}\Gamma (x)+C$

$\sum _{x}\log _{b}ax=\log _{b}(a^{x-1 }\Gamma (x))+C$

Antiskillnader av hyperboliska funktioner

$\sum _{x}\sinh ax={\frac {1}{2}}\ operatornamn {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\cosh \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C$

$\sum _{x}\cosh ax={\frac {1}{2}}\operatörsnamn {csch} \left( {\frac {a}{2}}\right)\sinh \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C$

$\sum _{x}\tanh ax={\frac {1}{a}}\psi _ {e^{a}}\left(x-{\frac {i\pi }{2a}}\right)+{\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left (x+{\frac {i\pi }{2a}}\right)-x+C$

där $\psi _{q}(x)$ är q-digammafunktionen .

Antiskillnader för trigonometriska funktioner

$\sum _{x}\sin ax=-{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C\,, \,\,a\neq 2n\pi$

$\sum _{ x}\cos ax={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\sin \left(ax-{\frac {a}{2} }\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi$

$\sum _{x}\sin ^{2}ax={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin( a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi$

$\sum _{x}\cos ^{2}ax={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\csc(a)\ sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi$

${\displaystyle \sum _{x}\tan ax=ix-{\frac {1}{a}}\psi _{e^{2ia}}\left(x-{\frac { \pi }{2a}}\right)+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}} där ψ$

q $displaystyle \psi _{q} (x)}$ är q- digammafunktionen.

$\sum _{x}\tan x=ix-\psi _{e^{2i}} \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)+C=-\summa _{k=1}^{\infty }\left(\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1-x\right)+\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+x\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1\höger)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\höger)+C$

$\sum _{x}\cot ax=-ix-{\frac {i\psi _ {e^{2ia}}(x)}{a}}+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}$

${\displaystyle \sum _{x}\operatörsnamn {sinc} x=\operatörsnamn {sinc} (x-1)\left({\frac {1}{2}}+(x-1)\ vänster(\ln(2)+{\frac {\psi ({\frac {x-1}{2}})+\psi ({\frac {1-x}{2}})}{2}} -{\frac {\psi (x-1)+\psi (1-x)}{2}}\right)\right)+C} där sinc$

⁡ $displaystyle \operatorname {sinc} (x )}$ är den normaliserade sinc-funktionen .

Antiskillnader för inversa hyperboliska funktioner

$\sum _{x}\operatörsnamn {artanh} \,ax={\frac { 1}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma \left(x+{\frac {1}{a}}\right)}{\Gamma \left(x-{\frac {1}{ a}}\right)}}\right)+C$

Antiskillnader för inversa trigonometriska funktioner

$\sum _{x}\arctan ax={\frac {i}{2 }}\ln \left({\frac {\Gamma (x+{\frac {i}{a}})}{\Gamma (x-{\frac {i}{a}})}}\right)+ C$

Antiskillnader av specialfunktioner

$\sum _{x}\psi (x)=(x-1)\psi (x)-x+C$

${\displaystyle \sum _{x}\Gamma (x)=(-1)^ {x+1}\Gamma (x){\frac {\Gamma (1-x,-1)}{e}}+C} där Γ ($

s $\Gamma (s,x)}$ är den ofullständiga gammafunktionen .

$\sum _{x}(x)_{a}={\frac {(x)_{a+1}}{ a+1}}+C$

där $(x)_{a}$ är den fallande faktorn .

${\displaystyle \sum _{x}\operatörsnamn {sexp} _{a}(x) =\ln _{a}{\frac {(\operatörsnamn {sexp} _{a}(x))'}{(\ln a)^{x}}}+C} (se$

superexponentiell funktion )

Se även

• Obestämd produkt
• Tidskaleräkning
• Lista över derivator och integraler i alternativa kalkyler

Vidare läsning

•   "Difference Equations: An Introduction with Applications", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001, ISBN 0-12-403330-X
• Markus Müller. Hur man lägger till ett icke-heltals antal termer och hur man producerar ovanliga oändliga summeringar
• Markus Mueller, Dierk Schleicher. Bråksummor och Euler-liknande identiteter
• SP Polyakov. Obestämd summering av rationella funktioner med ytterligare minimering av den summerbara delen. Programirovanie, 2008, vol. 34, nr 2.
• "Finite-Difference Equations And Simulations", Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968