Linjärt system av koner

Externt videotyp
Externt videotyp
	I linjärt system, ( Coffman ) .

I algebraisk geometri bildar de koniska sektionerna i det projektiva planet ett linjärt system av dimension fem, som man ser genom att räkna konstanterna i grad två- ekvationerna . Villkoret att passera genom en given punkt P ställer ett enda linjärt villkor, så att koniska C till P bildar ett linjärt system med dimension 4. Andra typer av tillstånd som är av intresse inkluderar tangens till en given linje L .

I de mest elementära behandlingarna uppträder ett linjärt system i form av ekvationer

\lambda C+\mu C'=0\

med λ och μ okända skalärer, inte båda noll. Här ges C och C′ koner. Abstrakt kan vi säga att detta är en projektiv linje i utrymmet för alla koniker, som vi tar

[\lambda :\mu ]\

som homogena koordinater . Geometriskt ser vi att vilken punkt Q som helst som är gemensam för C och C′ också finns på var och en av konikerna i det linjära systemet. Enligt Bézouts sats kommer C och C′ att skära varandra i fyra punkter (om det räknas rätt). Om vi antar att dessa är i allmän position , dvs fyra distinkta skärningar, får vi en annan tolkning av det linjära systemet som käglarna som passerar genom de fyra givna punkterna (observera att kodimensionen fyra här matchar dimensionen, en, i det femdimensionella utrymmet för kägeln. ). Observera att exakt tre av dessa koner är degenererade , var och en består av ett par linjer, motsvarande $\textstyle {{\binom {4}{2,2}} /2=3}$ sätt att välja 2 par punkter från 4 punkter (räknas via multinomialkoefficienten och ta hänsyn till överräkningen med en faktor 2 som $\textstyle {\binom {4}{ 2}}$ gör när du är intresserad av att räkna par av par snarare än bara urval av storlek 2).

Ansökningar

En slående tillämpning av en sådan familj är i ( Faucette 1996 ) som ger en geometrisk lösning till en kvartsekvation genom att betrakta pennan av koniska linjer genom de fyra rötterna av kvartsformen, och identifiera de tre degenererade käglarna med de tre rötterna av resolventkubiken . .

Exempel

Till exempel, givet de fyra punkterna $(\pm 1,\pm 1),$ kan pennan av koner genom dem parametriseras som $ax^{2}+(1-a)y^{2}=1,$ som är de affina kombinationerna av ekvationerna $x^{2}=1$ och $y^{2}=1,$ motsvarande de parallella vertikala linjerna och horisontella linjerna; detta ger degenererade koner vid standardpunkterna $0,1,\infty .$ En mindre elegant men mer symmetrisk parametrisering ges av $(1+a)x^{ 2}+(1-a)y^{2}=2,$ i vilket fall invertering av a ( $a\mapsto -a$ ) växlar x och y , vilket ger följande penna; i alla fall ligger centrum vid ursprunget:

$a>1:$ hyperboler som öppnar sig till vänster och höger;
$a=1:$ de parallella vertikala linjerna $x=-1,x=1;$

(skärningspunkt vid [1:0:0])

$0<a<1:$ ellipser med en vertikal huvudaxel;
$a=0:$ en cirkel (med radie ${\displaystyle {\sqrt {2}}} )$ ;
$-1<a<0:$ ellipser med en horisontell huvudaxel;
$a=-1:$ de parallella horisontella linjerna $y=-1,y=1;$

(skärningspunkt vid [0:1:0])

$a<-1:$ hyperboler som öppnar sig upp och ner,
$a=\infty :$ de diagonala linjerna $y=x,y=-x;$

(dividera med

a

och ta gränsen som

a\to \infty

ger

x^{2}-y^{2}=0

)

(skärningspunkt vid [0:0:1])

Detta slingrar sedan runt till $a>1,$ eftersom pennor är en projektiv linje.

I terminologin ( Levy 1964 ) är detta ett linjärt system av koniska typ I och är animerat i den länkade videon.

Klassificering

Det finns 8 typer av linjära koniska system över de komplexa talen, beroende på skärningsmultiplicitet vid baspunkterna, som delar upp sig i 13 typer över de reella talen, beroende på om baspunkterna är reella eller imaginära; detta diskuteras i ( Levy 1964 ) och illustreras i ( Coffman ).

Coffman, Adam, Linear Systems of Conics , hämtad 2020-08-08
Faucette, William Mark (januari 1996), "A Geometric Interpretation of the Solution of the General Quartic Polynomial", The American Mathematical Monthly , 103 (1): 51–57, CiteSeerX 10.1.1.111.5574 , JSTOR 2975214
Levy, Harry (1964), Projective and related geometries , New York: The Macmillan Co., s. x+405