Lefschetz penna

Inom matematiken är en Lefschetz-penna en konstruktion i algebraisk geometri som anses av Solomon Lefschetz , som används för att analysera den algebraiska topologin för en algebraisk variant V.

Beskrivning

En penna är en speciell typ av linjärt system av divisorer på V , nämligen en enparameterfamilj, parametriserad av den projektiva linjen . Detta betyder att i fallet med en komplex algebraisk variant V är en Lefschetz-penna något som liknar en fibrering över Riemann-sfären ; men med två kvalifikationer om singularitet.

Den första punkten kommer upp om vi antar att V ges som en projektiv varietet och att divisorerna på V är hyperplansektioner . Antag att givna hyperplan H och H ′, som spänner över pennan — med andra ord, H ges av L = 0 och H ′ av L ′= 0 för linjära former L och L ′, och den allmänna hyperplanssektionen är V genomskuren med

$\lambda L+\mu L^{\prime }=0.\$

har skärningspunkten J för H med H ′ kodimension två. Det finns en rationell kartläggning

$V\rightarrow P^{1}\$

som i själva verket är väldefinierad endast utanför punkterna på skärningspunkten mellan J och V . För att göra en väldefinierad mappning måste viss sprängning appliceras på V .

Den andra punkten är att fibrerna själva kan "degenerera" och få singulära punkter (där Bertinis lemma gäller kommer den allmänna hyperplanssektionen att vara jämn). En Lefschetz-penna begränsar karaktären av de förvärvade singulariteterna, så att topologin kan analyseras med försvinnande cykelmetoden . Fibrerna med singulariteter måste endast ha en unik kvadratisk singularitet.

Det har visat sig att Lefschetz-pennor finns i karaktäristisk noll . De tillämpas på sätt som liknar, men mer komplicerade än, Morse-funktioner på släta grenrör . Det har också visat sig att Lefschetz-pennor finns i karakteristisk p för étale-topologin.

Simon Donaldson har hittat en roll för Lefschetz-pennor i symplektisk topologi , vilket leder till nyare forskningsintresse för dem.

Se även

• Picard-Lefschetz teori

•   Donaldson, Simon K. (1998). "Lefschetz-fibrationer i symplektisk geometri". Documenta Mathematica (Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998)). Extra volym II: 309–314. MR 1648081 .
•   Griffiths, Phillip ; Harris, Joe (1994). Principer för algebraisk geometri . Wiley Classics Library. Wiley Interscience. sid. 509. ISBN 0-471-05059-8 .

externa länkar

• Gompf, Robert (2005). "Vad är en Lefschetz-penna?" (PDF) . Meddelanden från American Mathematical Society . 52 (8).
•   Gompf, Robert (2001). "Topologin för symplektiska grenrör" (PDF) . Turkisk tidskrift för matematik . 25 : 43–59. MR 1829078 .