Bertinis sats

Inom matematiken är Bertinis sats en existens- och genericitetssats för släta sammankopplade hyperplansektioner för jämna projektiva varianter över algebraiskt slutna fält , introducerad av Eugenio Bertini . Detta är den enklaste och bredaste av "Bertini-satserna" som gäller ett linjärt system av divisorer ; enklast eftersom det inte finns någon begränsning på egenskapen för det underliggande fältet, medan tilläggen kräver karakteristiken 0.

Uttalande för hyperplansektioner av släta varianter

Låt X vara en jämn kvasiprojektiv variant över ett algebraiskt slutet fält, inbäddat i ett projektivt utrymme $\mathbf {P} ^{n}$ . Låt $|H|$ betecknar hela systemet av hyperplansdelare i $\mathbf {P} ^{n}$ . Kom ihåg att det är det dubbla mellanrummet $(\mathbf {P} ^{n})^{\star }$ av $\mathbf {P} ^{n}$ och är isomorf till $\mathbf {P} ^{n}$ .

Bertinis sats säger att mängden hyperplan som inte innehåller X och med jämn skärning med X innehåller en öppen tät delmängd av det totala systemet av divisorer $|H|$ . Själva uppsättningen är öppen om X är projektiv. Om $\dim(X)\geq 2$ , då är dessa skärningspunkter (kallade hyperplanssektioner av X ) sammankopplade, och är därför irreducerbara.

Satsen hävdar därför att en allmän hyperplansektion som inte är lika med X är slät, det vill säga: jämnhetsegenskapen är generisk.

Över ett godtyckligt fält k , finns det en tät öppen delmängd av det dubbla rummet $(\mathbf {P} ^{n})^{\star }$ vars rationella punkter definierar hyperplans släta hyperplanssektioner av X . När k är oändlig har denna öppna delmängd sedan oändligt många rationella punkter och det finns oändligt många släta hyperplansektioner i X .

Över ett ändligt fält kan det hända att ovanstående öppna delmängd inte innehåller rationella punkter och i allmänhet finns det inga hyperplan med jämn skärning med X . Men om vi tar överytor av tillräckligt stora grader, så gäller Bertinis sats.

Översikt över ett bevis

Vi överväger subfibreringen av produktsorten $X\times |H|$ med fiber ovanför $x\in X$ det linjära systemet av hyperplan som skär X icke- transversellt vid x .

Fibreringens rangordning i produkten är en mindre än kodimensionen för ${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{n}} ,$ så att det totala utrymmet har mindre dimension än $n$ och så dess projektion ingår i en divisor av hela systemet $|H|$ .

Allmänt uttalande

Över vilket oändligt fält ${\displaystyle k} som helst$ med karakteristik 0, om X är en jämn kvasiprojektiv $k$ -varietet, är en allmän medlem av ett linjärt system av divisorer på X jämn bort från baslokuset för systemet. För förtydligande betyder detta att givet ett linjärt system $f:X\rightarrow \mathbf {P} ^{n}$ , förbilden $f^{- 1}(H)$ i ett hyperplan H är jämn -- utanför baslokuset för f -- för alla hyperplan H i någon tät öppen delmängd av det dubbla projektiva rummet ( $\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$ . Detta teorem gäller även i karakteristiken p>0 när det linjära systemet f är oframifierat.

Generaliseringar

Bertinis sats har generaliserats på olika sätt. Till exempel, ett resultat på grund av Steven Kleiman hävdar följande (jfr Kleimans teorem ): för en sammankopplad algebraisk grupp G , och varje homogen G -varietet X , och två varianter Y och Z som mappas till X , låt Y ^σ vara sorten erhålls genom att låta σ ∈ G verka på Y . Sedan finns det ett öppet tätt delschema H av G så att för σ ∈ H , $Y^{\sigma }\times _{X}Z$ är antingen tomt eller rent av (förväntat) dimension dim Y + dim Z − dim X . Om Y och Z dessutom är jämna och basfältet har karakteristisk noll, så kan H tas så att $Y^{\sigma }\ gånger _{X}Z$ är jämn för alla $\sigma \in H$ också. Ovanstående sats av Bertini är specialfallet där $X=\mathbb {P} ^{n}$ uttrycks som kvoten av SL _n av den paraboliska undergruppen av övre triangulära matriser, Z är en undervarietet och Y är ett hyperplan.

Bertinis sats har också generaliserats till diskreta värderingsdomäner eller ändliga fält, eller för etaletäckningar av X .

Teoremet används ofta för induktionssteg.

Se även

• Grothendiecks anknytningssats

Anteckningar

•    Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
• Bertini och hans två grundläggande satser av Steven L. Kleiman, om Eugenio Bertinis liv och verk