Styrd sort
I algebraisk geometri styrs en varietet över ett fält k om det är birational till produkten av den projektiva linjen med någon variation över k . En sort är unirulerad om den täcks av en familj av rationella kurvor . (Närmare bestämt är en sort X unirulerad om det finns en varietet Y och en dominerande rationell karta Y × P 1 – → X som inte tar hänsyn till projektionen till Y .) Begreppet uppstod från 1800-talsgeometrins styrda ytor , vilket betyder ytor i affint utrymme eller projektivt utrymme som täcks av linjer. Unistyrda sorter kan anses vara relativt enkla bland alla sorter, även om det finns många av dem.
Egenskaper
Varje unirulerad variant över ett fält med karakteristisk noll har Kodaira-dimensionen −∞. Det omvända är en gissning som är känd i dimension högst 3: en variation av Kodaira-dimension −∞ över ett fält med karakteristisk noll bör vara unirulerad. Ett relaterat uttalande är känt i alla dimensioner: Boucksom, Demailly , Păun och Peternell visade att en jämn projektiv variant X över ett fält med karakteristisk noll är unirulerad om och endast om den kanoniska bunten av X inte är pseudoeffektiv (det vill säga inte i den slutna konvexa konen som spänns av effektiva divisorer i Néron-Severi-gruppen spända med de reella talen). Som ett mycket speciellt fall är en slät hyperyta av grad d i P n över ett fält med karakteristisk noll unirulerad om och endast om d ≤ n , av adjunktionsformeln . (Faktum är att en slät hyperyta av grad d ≤ n i P n är en Fano-variant och är därför rationellt kopplad , vilket är starkare än att vara unirulerad.)
En variation X över ett oräkneligt algebraiskt stängt fält k är unirulerad om och endast om det finns en rationell kurva som går genom varje k -punkt i X . Däremot finns det varianter över den algebraiska stängningen k av ett ändligt fält som inte är unirulerade utan har en rationell kurva genom varje k -punkt. ( Kummer-varianten av vilken som helst icke- supersingular abelisk yta över F p med p udda har dessa egenskaper.) Det är inte känt om varieteter med dessa egenskaper existerar över den algebraiska stängningen av de rationella talen .
Uniruledness är en geometrisk egenskap (den är oförändrad under fältförlängningar), medan härskadhet inte är det. Till exempel är den koniska x 2 + y 2 + z 2 = 0 i P 2 över de reella talen R unirulerad men inte styrd. (Den associerade kurvan över de komplexa talen C är isomorf till P 1 och styrs därför.) I den positiva riktningen styrs varje unirulerad dimensionsvariation högst 2 över ett algebraiskt slutet fält med karakteristisk noll. Släta kubiska 3-veck och släta kvarts 3-veck i P 4 över C är unirulerade men inte härskade.
Positiv egenskap
Ostyrd beter sig mycket annorlunda i positiva egenskaper. Speciellt finns det unirulerade (och till och med oirulerade ) ytor av allmän typ : ett exempel är ytan x p +1 + y p +1 + z p +1 + w p +1 = 0 i P 3 över F p , för vilket primtal som helst p ≥ 5. Så uniruledness innebär inte att Kodaira-dimensionen är −∞ i positiv karaktäristik.
En sort X är separerbart unirulerad om det finns en sort Y med en dominant separerbar rationell karta Y × P 1 – → X som inte faktorer genom projektionen till Y . ("Separerbar" betyder att derivatan är surjektiv vid något tillfälle; detta skulle vara automatiskt för en dominerande rationell karta i karakteristiken noll.) En separerbart unirulerad varietet har Kodaira-dimensionen −∞. Det omvända är sant i dimension 2, men inte i högre dimensioner. Till exempel finns det en jämn projektiv 3-faldig över F 2 som har Kodaira-dimensionen −∞ men inte är separerbart unirulerad. Det är inte känt om varje slät Fano-sort med positiva egenskaper är separerbart unirulerad.
Anteckningar
- Bogomolov, Fedor ; Tschinkel, Yuri (2005), "Rational curves and points on K3-ytor", American Journal of Mathematics , 127 (4): 825–835, arXiv : math/0310254 , doi : 10.1353/ajm.2005.0025 , 3 MR 15 , 3
- Boucksom, Sébastien; Demailly, Jean-Pierre ; Păun, Mihai; Peternell, Thomas (2013), "The pseudo-effective cone of a compact Kähler manifold and variants of negative Kodaira dimension", Journal of Algebraic Geometry , 22 (2): 201–248, arXiv : math/0405285 , doi : 0/ 10.109 S1056-3911-2012-00574-8 , MR 3019449
- Kollár, János (1996), Rational Curves on Algebraic Varieties , Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1 , MR 18018
- Sato, Ei-ichi (1993), "A criterion for uniruledness in positive characteristic", Tohoku Mathematical Journal , 45 (4): 447–460, doi : 10.2748/tmj/1178225839 , MR 1245712
- Shioda, Tetsuji (1974), "An example of unirational surfaces in characteristic p ", Mathematische Annalen , 211 : 233–236, doi : 10.1007/BF01350715 , MR 0374149