Yta av allmän typ

I algebraisk geometri är en yta av allmän typ en algebraisk yta med Kodaira dimension 2. På grund av Chows sats kommer varje kompakt komplex grenrör av dimension 2 och med Kodaira dimension 2 faktiskt att vara en algebraisk yta, och i någon mening är de flesta ytor i denna klass.

Klassificering

Gieseker visade att det finns ett grovt modulschema för ytor av allmän typ; detta betyder att för alla fasta värden på Chern-talen $c_{1}^{2},c_{2},$ finns det ett kvasiprojektivt schema som klassificerar ytorna av allmän typ med dessa Chern-siffror. Det är fortfarande ett mycket svårt problem att beskriva dessa scheman explicit, och det finns få par av Chern-nummer som detta har gjorts för (förutom när schemat är tomt). Det finns vissa indikationer på att dessa scheman i allmänhet är för komplicerade för att skriva ner explicit: de kända övre gränserna för antalet komponenter är mycket stora, vissa komponenter kan vara icke- reducerade överallt, komponenter kan ha många olika dimensioner och de få delarna som har studerats explicit tenderar att se ganska komplicerade ut.

Chern antal minimala komplexa ytor

Studien av vilka par av Chern-tal som kan förekomma för en yta av allmän typ är känd som " geografi av Chern-tal " och det finns ett nästan fullständigt svar på denna fråga. Det finns flera villkor som Chern-talen för en minimal komplex yta av allmän typ måste uppfylla:

$c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}}$ (eftersom det är lika med 12χ)
$c_{1}^{2},c_{2}\geqslant 0$
$c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}$ ( Bogomolov-Miyaoka-Yau-ojämlikheten )
$5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 12q\geqslant 0$ där q är oregelbundenhet hos en yta ( Noether-olikheten ).

Många (och möjligen alla) par av heltal som uppfyller dessa villkor är Chern-talen för någon komplex yta av allmän typ. Däremot, för nästan komplexa ytor, är den enda begränsningen:

c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}},

och detta kan alltid förverkligas.

Exempel

Detta är bara ett litet urval av det ganska stora antal exempel på ytor av allmän typ som har hittats. Många av ytorna av allmän typ som har undersökts ligger på (eller nära) kanterna av regionen med möjliga Chern-tal. Speciellt Horikawa-ytor ligger på eller nära "Noether-linjen", många av ytorna nedan ligger på linjen $c_{1}^{2}+c_{ 2}=12\chi =12,$ det minsta möjliga värdet för allmän typ, och ytor på linjen $3c_{2}=c_{1}^{2}$ är alla kvotienter av enhetskulan i C ² (och är särskilt svåra att hitta).

Ytor med χ=1

Dessa ytor som ligger i den "nedre vänstra" gränsen i diagrammet har studerats i detalj. För dessa ytor med andra Chern klass kan vara vilket heltal från 3 till 11. Ytor med alla dessa värden är kända; några av de många exempel som har studerats är:

c ₂ = 3: Falskt projektivt plan (Mumford-yta). Det första exemplet hittades av Mumford med p -adisk geometri, och det finns totalt 50 exempel. De har samma Betti-tal som det projektiva planet, men är inte homeomorfa till det eftersom deras grundläggande grupper är oändliga.
c ₂ = 4: Beauville-ytor är uppkallade efter Arnaud Beauville och har oändlig grundgrupp.
c ₂ ≥ 4: Burniatsytor
c ₂ = 10: Campedelliytor . Ytor med samma Hodge-nummer kallas numeriska Campedelli-ytor .
c ₂ = 10: Katanesiska ytor kopplas helt enkelt ihop.
c ₂ = 11: Godeaux-ytor . Den cykliska gruppen av ordning 5 verkar fritt på Fermat-ytan av punkter $(w:x:y:z)$ i P ³ som uppfyller $w^{5}+x^{5}+y^{5}+z^{5}=0$ genom att mappa $(w:x: y:z)$ till $(w:\rho x:\rho ^{2}y:\rho ^{3}z)$ där ρ är en femte rot av 1. Kvoten av denna åtgärd är den ursprungliga Godeaux-ytan . Andra ytor konstruerade på liknande sätt med samma Hodge-nummer kallas också ibland för Godeaux-ytor. Ytor med samma Hodge-nummer (som Barlow-ytor) kallas numeriska Godeaux-ytor . Grundgruppen (av den ursprungliga Godeaux-ytan) är cyklisk av ordning 5.
c ₂ = 11: Barlow-ytor kopplas enkelt ihop. Tillsammans med Craighero-Gattazzo-ytan är dessa de enda kända exemplen på enkelt sammankopplade ytor av allmän typ med p _g = 0.
Todorov-ytor ger motexempel till slutsatsen av Torelli-satsen

Andra exempel

Castelnuovo-ytor : Ett annat extremfall, Castelnuovo bevisade att om den kanoniska bunten är mycket riklig för en yta av allmän typ så $c_{1}^{2}\geqslant 3p_{g }-7.$ Castelnuovo yta är ytor av allmän typ så att den kanoniska bunten är mycket rik och att $c_{1}^{2}=3p_{g}-7 .$
Kompletta skärningspunkter : En jämn fullständig skärning av hyperytor med grader $d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant \cdots \geqslant} d_{n \geqslant 2$ i P ⁿ är en yta av allmän typ om inte graderna är (2), (3), (2, 2) (rationell), (4), (3, 2), (2, 2, 2) ) (Kodaira dimension 0). Kompletta korsningar är alla helt enkelt sammankopplade. Ett specialfall är hyperytor : till exempel, i P ³ , är icke-singulära ytor av grad minst 5 av allmän typ (icke-singulära hyperytor av grad 4 är K3-ytor , och de med grad mindre än 4 är rationella ).
Fano ytor av linjer på en kubisk 3-faldig.
Hilbert modulära ytor är mestadels av allmän typ.
Horikawa-ytor är ytor med q = 0 och $p_{g}={\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+2$ eller ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+{\tfrac {3}{2}}} ($ vilket innebär att de är mer eller mindre på "Noether-linjen"-kanten av regionen med möjliga värden för Chern-talen). De är alla helt enkelt sammankopplade, och Horikawa gav en detaljerad beskrivning av dem.
Produkter: produkten av två kurvor båda av släktet minst 2 är en yta av allmän typ.
Dubbla lock av icke-singular grad 2 m kurvor i P ² är av allmän typ om $2m\geqslant 8.$ (För 2 m =2 är de rationella, för 2 m =4 är de igen rationella och kallas del Pezzo dubbelplan , och för 2 m =6 är de K3-ytor . ) De är helt enkelt sammankopplade och har Chern-tal $c_{1}^{2}=2(m-3)^{2},c_{2}=4m^{2}-6m+6.$

Kanoniska modeller

Bombieri (1973) bevisade att den multikanoniska kartan φ _nK för en komplex yta av allmän typ är en birational isomorfism på dess bild närhelst n ≥5, och Ekedahl (1988) visade att samma resultat fortfarande har en positiv egenskap. Det finns några ytor för vilka det inte är en birational isomorfism när n är 4. Dessa resultat följer av Reiders sats .

Se även

Anteckningar

^ Van De Ven, A. (juni 1966). "På grundtalet för vissa komplexa och nästan komplexa grenrör" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 55 (6): 1624–1627. Bibcode : 1966PNAS...55.1624V . doi : 10.1073/pnas.55.6.1624 . PMC 224368 . PMID 16578639 .

Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3 , MR 2030225
Bombieri, Enrico (1973), "Kanoniska modeller av ytor av allmän typ" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 42 (42): 171–219, doi : 10.1007/BF02685880 , MR 03182C132 03182C191 , S816ID
Ekedahl, Torsten (1988), " Kanoniska modeller av ytor av allmän typ i positiv karaktäristik" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 67 ( 67): 97–144, doi : 10.1007/BF02699128 , MR 4 09723CID 7623CID
P. Griffiths ; J. Harris (1994), Principles of Algebraic Geometry , Wiley Classics Library, Wiley Interscience, ISBN 0-471-05059-8
Iskovskikh, VA (2001) [1994], "General-type algebraic surface" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

[1] Van De Ven, A. (juni 1966). "På grundtalet för vissa komplexa och nästan komplexa grenrör" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 55 (6): 1624–1627. Bibcode : 1966PNAS...55.1624V . doi : 10.1073/pnas.55.6.1624 . PMC 224368 . PMID 16578639 .