Oregelbundenhet hos en yta

I matematik är oregelbundenheten för en komplex yta X Hodge-talet $h^{0,1}=\dim H^{1}({\mathcal {O }}_{X})$ , vanligtvis betecknad med q. Oregelbundenheten hos en algebraisk yta definieras ibland som detta Hodge-tal, och ibland definieras som dimensionen av Picard-varianten , som är densamma i egenskap 0 men kan vara mindre i positiv egenskap.

Namnet "oregelbundenhet" kommer från det faktum att för de första ytorna som undersökts i detalj, de släta komplexa ytorna i P ³ , råkar oregelbundenheten försvinna. Oregelbundenheten dök sedan upp som en ny "korrigerings"-term som mätte skillnaden $p_{g}-p_{a}$ för det geometriska släktet och det aritmetiska släktet för mer komplicerade ytor. Ytor kallas ibland regelbundna eller oregelbundna beroende på om ojämnheten försvinner eller inte.

För ett komplext analytiskt grenrör X med generell dimension, Hodge-talet $h^{0,1}=\dim H^{1}({\mathcal {O} }_{X})$ kallas oregelbundenhet för $X$ , och betecknas med q .

Komplexa ytor

För icke-singulära komplexa projektiva (eller Kähler ) ytor är följande siffror alla lika:

• Oegentligheten;
• Dimensionen av den albanska sorten ;
• Dimensionen av Picard-sorten ;
• Hodge -talet $h^{0,1}=\dim H^{1}(\Omega _{X}^{0})$ ;
• Hodge -talet $h^{1,0}=\dim H^{0}(\Omega _{X}^{1})$ ;
• Skillnaden $p_{g}-p_{a}$ för det geometriska släktet och det aritmetiska släktet .

För ytor med positiv karaktär, eller för icke-Kählerkomplexa ytor, behöver siffrorna ovan inte alla vara lika.

Henri Poincaré bevisade att för komplexa projektiva ytor är storleken på Picard-varianten lika med Hodge-talet h ^0,1 , och detsamma gäller för alla kompakta Kähler-ytor. Oregelbundenheten hos släta kompakta Kähler-ytor är oföränderlig under bimeromorfa transformationer.

För allmänna kompakta komplexa ytor behöver de två Hodge-talen h ^1,0 och h ^0,1 inte vara lika, men h ^0,1 är antingen h ^1,0 eller h ^1,0 +1 och är lika med h ^1,0 för kompakta Kähler-ytor .

Positiv egenskap

Över fält med positiva egenskaper är relationen mellan q (definierad som dimensionen av Picard- eller Albanese-varianten) och Hodge-talen h ^0,1 och h ^1,0 mer komplicerad, och vilka två som helst kan vara olika.

Det finns en kanonisk karta från en yta F till dess albanska variant A som inducerar en homomorfism från det kotangenta utrymmet för den albanska varianten (av dimensionen q ) till H ^1,0 ( F ). Jun-Ichi Igusa fann att detta är injektivt, så att $q\leq h^{1,0}$ , men hittade strax efter en yta i karakteristik 2 med $h^{1,0}=h^{0,1}=2$ och Picard-variant av dimension 1, så att q kan vara strikt mindre än båda Hodge-talen. I positiv karakteristik är inget av Hodge-talen alltid begränsat av det andra. Serre visade att det är möjligt för h ^1,0 att försvinna medan h ^0,1 är positivt, medan Mumford visade att för Enriques ytor i karakteristik 2 är det möjligt för h ^0,1 att försvinna medan h ^1,0 är positivt.

Alexander Grothendieck gav en fullständig beskrivning av förhållandet mellan q och $h^{0,1}$ i alla egenskaper. Dimensionen för tangentrymden till Picard-schemat (vid vilken punkt som helst) är lika med $h^{0,1}$ . I karakteristik 0 visade ett resultat av Pierre Cartier att alla gruppscheman av finit typ är icke-singular, så dimensionen av deras tangentrymd är deras dimension. Å andra sidan, i positiv karakteristik är det möjligt för ett gruppschema att vara icke-reducerat vid varje punkt så att dimensionen är mindre än dimensionen av något tangentrum, vilket är vad som händer i Igusas exempel. Mumford visar att tangentrymden till Picard-varianten är underrummet av H ^0,1 som förintas av alla Bockstein-operationer från H ^0,1 till H ^0,2 , så oregelbundenheten q är lika med h ^0,1 om och endast om alla dessa Bockstein-verksamheter försvinner.