Dela lemma (funktioner)

Ej att förväxla med det delande lemma i homologisk algebra .

Inom matematiken , särskilt i singularitetsteorin , är splittringslemmat ett användbart resultat på grund av René Thom som ger ett sätt att förenkla det lokala uttrycket för en funktion som vanligtvis tillämpas i ett område med en degenererad kritisk punkt .

Formellt uttalande

Låt $f:(\mathbb {R} ^{n},0)\to (\mathbb {R} ,0)$ vara en mjuk funktionsgrodd, med en kritisk punkt vid 0 (så $(\partial f/\partial x_{i})(0)=0$ för $i=1,\dots ,n$ ). Låt V vara ett delrum av $\mathbb {R} ^{n}$ så att begränsningen f | _V är icke-degenererad och skriv B för den hessiska matrisen för denna begränsning. Låt W vara vilket komplementärt delrum som helst till V . Sedan sker en förändring av koordinaterna $\Phi (x,y)$ av formen $\Phi ( x,y)=(\phi (x,y),y)$ med $x\in V,y\in W$ , och en jämn funktion h på W så att

$f\circ \Phi (x,y)={\frac {1}{2}}x^{T}Bx+h(y).$

Detta resultat hänvisas ofta till som det parametriserade Morse-lemma , som kan ses genom att se y som parametern. Det är gradientversionen av den implicita funktionssatsen .

Tillägg

Det finns utvidgningar till oändliga dimensioner, till komplexa analytiska funktioner , till funktioner som är oföränderliga under verkan av en kompakt grupp , ...

•   Poston, Tim; Stewart, Ian (1979), Catastrophe Theory and Its Applications , Pitman, ISBN 978-0-273-08429-7 .
•   Brocker, Th (1975), Differentiable Germs and Catastrophes , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20681-5 .