Tiltningsteori

Det visar sig att det finns tillämpningar av våra funktioner som använder sig av de analoga transformationer som vi gärna tänker på som en förändring av grunden för ett fast rotsystem - en lutning av axlarna i förhållande till rötterna som resulterar i en annan delmängd av rötter som ligger i den positiva konen. … Av denna anledning, och eftersom ordet "tilt" lätt böjs, kallar vi våra funktorer för tiltfunktioner eller helt enkelt tilt .

Brenner & Butler (1980 , s. 103)

Inom matematik , närmare bestämt representationsteori , beskriver lutningsteori ett sätt att relatera modulkategorierna för två algebror med hjälp av så kallade lutningsmoduler och tillhörande lutningsfunktioner . Här är den andra algebra endomorfismalgebra för en lutande modul över den första algebra.

Tiltningsteorin motiverades av införandet av reflektionsfunktioner av Joseph Bernšteĭn , Israel Gelfand och VA Ponomarev ( 1973 ); dessa funktorer användes för att relatera representationer av två koger . Dessa funktioner omformulerades av Maurice Auslander , María Inés Platzeck och Idun Reiten ( 1979 ), och generaliserades av Sheila Brenner och Michael CR Butler ( 1980 ) som introducerade tiltningsfunktioner. Dieter Happel och Claus Michael Ringel ( 1982 ) definierade lutande algebror och lutningsmoduler som ytterligare generaliseringar av detta.

Definitioner

Antag att A är en finitdimensionell enhetlig associativ algebra över något fält . En ändligt genererad höger A - modul T kallas en tiltmodul om den har följande tre egenskaper:

• T har projektiv dimension högst 1, med andra ord är det en kvot av en projektiv modul med en projektiv undermodul .
• Ext
  ¹ _A ( T , T ) = 0.
• Den högra A -modulen A är kärnan i en surjektiv morfism mellan finita direkta summor av direktsummor av T .

Givet en sådan lutningsmodul definierar vi endomorfismalgebra B = End _A ( T ). Detta är en annan finitdimensionell algebra, och T är en ändligt genererad vänster B -modul. Tiltningsfunktionerna Hom _A ( T ,−), Ext
¹ _A ( T ,−), −⊗ _B T och Tor
^B ₁ (−, T ) relaterar kategorin mod- A för ändligt genererade höger A -moduler till kategorin mod -B av ändligt genererade höger B -moduler.

I praktiken betraktar man ofta ärftliga änddimensionella algebror A eftersom modulkategorierna över sådana algebror är ganska väl förstådda. Endomorfismalgebra för en lutande modul över en ärftlig finitdimensionell algebra kallas en lutad algebra .

Fakta

Antag att A är en finitdimensionell algebra, T är en lutningsmodul över A och B = End _A ( T ). Skriv F = Hom _A ( T ,−), F′ = Ext
¹ _A ( T ,−), G = −⊗ _B T , och G′ = Tor
^B ₁ (−, T ). F är rätt adjunkt till G och F′ är rätt adjoint till G′ .

Brenner & Butler (1980) visade att lutningsfunktioner ger ekvivalenser mellan vissa underkategorier av mod- A och mod- B . Specifikt, om vi definierar de två underkategorierna ${\mathcal {F}}=\ker(F)$ och ${\mathcal {T} }=\ker(F')$ av A -mod, och de två underkategorierna ${\mathcal {X}}=\ker(G)$ och ${\mathcal {Y}}=\ker(G')$ av B -mod, sedan $({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})$ är ett torsionspar i ${\displaystyle \operatorname {Hom} ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})=0} ;$ -mod (dvs ${\mathcal {T}}$ och ${\mathcal {F}}$ är maximala underkategorier med egenskapen detta innebär att varje M i A -mod tillåter en naturlig kort exakt sekvens $0\to U\to M\to V\to 0$ med U i ${\mathcal {T}}$ och V i ${\displaystyle {\mathcal {F}}} )$ och $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ är ett torsionspar i B -mod. Vidare ger begränsningarna för funktionerna F och G inversa ekvivalenser mellan ${\mathcal {T}}$ och ${\mathcal {Y}}$ , medan begränsningarna för F′ och G′ ger inversa ekvivalenser mellan ${\mathcal {F}}$ och ${\mathcal {X}}$ . (Observera att dessa ekvivalenser ändrar ordningen på torsionsparen $({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})$ och $({\ mathcal {X}},{\mathcal {Y}})$ .)

Tiltingteori kan ses som en generalisering av Morita-ekvivalens som återvinns om T är en projektiv generator ; i så fall ${\mathcal {T}}=\operatörsnamn {mod} -A$ och ${\mathcal {Y}}=\operatörsnamn {mod} - B$ .

₀₀ Om A har ändlig global dimension så har B också ändlig global dimension, och skillnaden mellan F och F' inducerar en isometri mellan Grothendieck-grupperna K ( A ) och K ( B ).

Om A är ärftlig (dvs. B är en lutad algebra), är den globala dimensionen av B högst 2, och torsionsparet $({\mathcal {X}},{\mathcal {Y }})$ delar, dvs varje oupplösligt objekt i B -mod finns antingen i ${\mathcal {X}}$ eller i ${\mathcal {Y}}$ .

Happel (1988) och Cline, Parshall & Scott (1986) visade att A och B i allmänhet är härledda ekvivalenter (dvs de ^härledda kategorierna Db ( A -mod) och Db ⁽ B -mod ) är ekvivalenta som triangulerade kategorier ).

Generaliseringar och förlängningar

En generaliserad lutningsmodul över den finitdimensionella algebra A är en höger A -modul T med följande tre egenskaper:

• T har en ändlig projektiv dimension.
• Ext
  ⁱ _A ( T , T ) = 0 för alla i > 0.
• Det finns en exakt sekvens $0\to A\to T_{1}\to \dots \to T_{n}\to 0$ där T _i är ändligt direkt summor av direkta summor av T .

Dessa generaliserade lutningsmoduler ger också härledda ekvivalenser mellan A och B , där B = End _A ( T ).

Rickard (1989) utökade resultaten om härledd ekvivalens genom att bevisa att två finita dimensionella algebror R och S är härledda ekvivalenta om och endast om S är endomorfismalgebra för ett "lutande komplex" över R . Tiltkomplex är generaliseringar av generaliserade tiltmoduler. En version av denna sats är giltig för godtyckliga ringar R och S .

Happel, Reiten & Smalø (1996) definierade lutande objekt i ärftliga abelska kategorier där alla Hom- och Ext-rum är ändliga dimensionella över något algebraiskt slutet fält k . Endomorfismalgebrorna för dessa lutande föremål är de kvasi-lutade algebrorna, en generalisering av lutade algebror. De kvasi-lutade algebrorna över k är exakt de ändliga dimensionella algebrorna över k med global dimension ≤ 2 så att varje oupplöslig modul antingen har projektiv dimension ≤ 1 eller injektiv dimension ≤ 1. Happel (2001) klassificerade de ärftliga abelska kategorierna som kan förekomma i ovanstående konstruktion.

Colpi & Fuller (2007) definierade lutande objekt T i en godtycklig abelsk kategori C ; deras definition kräver att C innehåller de direkta summorna av godtyckliga (möjligen oändliga) antal kopior av T , så detta är inte en direkt generalisering av den ändliga dimensionella situationen som betraktas ovan. Givet ett sådant lutande objekt med endomorfismring R etablerar de lutningsfunktioner som ger ekvivalenser mellan ett torsionspar i C och ett torsionspar i R -Mod, kategorin för alla R -moduler.

Från teorin om klusteralgebra kom definitionen av klusterkategori (från Buan et al. (2006) ) och klustertiltad algebra ( Buan, Marsh & Reiten (2007)) associerade med en ärftlig algebra A . En klustertiltad algebra uppstår från en lutad algebra som en viss halvdirekt produkt , och klusterkategorin för A sammanfattar alla modulkategorier av klustertiltade algebra som härrör från A.

•    Angeleri Hügel, Lidia; Happel, Dieter; Krause, Henning, red. (2007), Handbook of tilting theory (PDF) , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 332, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511735134 , ISBN 978-0-521-68045-5 , MR 2385175
•   Assem, Ibrahim (1990). "Lutningsteori – en introduktion" (PDF) . I Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz; Krempa, Jan; Simson, Daniel; Vogel, Wolfgang (red.). Ämnen i algebra, del 1 (Warszawa, 1988) . Banach Center Publikationer. Vol. 26. Warszawa: PWN. s. 127–180. doi : 10.4064/-26-1-127-180 . MR 1171230 .
•    Auslander, Maurice ; Platzeck, María Inés; Reiten, Idun (1979), "Coxeter functors without diagrams", Transactions of the American Mathematical Society , 250 : 1–46, doi : 10.2307/1998978 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1998978 300MR 300MR 300MR 300MR 300MR 3007/1998978  
•     Bernšteĭn, Iosif N. ; Gelfand, Izrail M. ; Ponomarev, VA (1973), "Coxeter functors, and Gabriel's theorem", Russian Mathematical Surveys , 28 (2): 17–32, Bibcode : 1973RuMaS..28...17B , CiteSeerX 10.1.1.642.2520 .2527 , do .2107 : 1 /RM1973v028n02ABEH001526 , ISSN 0042-1316 , MR 0393065
•    Brenner, Sheila; Butler, Michael CR (1980), "Generalizations of the Bernstein-Gel'fand-Ponomarev reflection functors", Representation theory, II (Proc. Second Internat. Conf., Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1979), Lecture Notes i Math., vol. 832, Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 103–169, doi : 10.1007/BFb0088461 , ISBN 978-3-540-10264-9 , MR 0607151
•    Buan, Aslak; Marsh, Robert ; Reineke, Markus; Reiten, Idun ; Todorov, Gordana (2006), "Tilting theory and cluster combinatorics", Advances in Mathematics , 204 (2): 572–618, arXiv : math / 0402054 , doi : 10.1016 / j.aim.2005.2005.2005.2005.20320.6C. 15318919
•   Buan, Aslak; Marsh, Robert ; Reiten, Idun (2007), "Cluster-tilted algebras", Transactions of the American Mathematical Society , 359 ( 1): 323–332, doi : 10.1090/s0002-9947-06-03879-7 , MR 22478933
•   Cline, Edward; Parshall, Brian; Scott, Leonard (1986), "Derived categories and Morita theory", Algebra , 104 (2): 397–409, doi : 10.1016/0021-8693(86)90224-3 , MR 0866784
• Colpi, Riccardo; Fuller, Kent R. (februari 2007), "Tilting Objects in Abelian Categories and Quasitilted Rings" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 359 ( 2): 741–765, doi : 10.1090/s0002-9947-06 03909-2
• Happel, Dieter; Reiten, Idun ; Smalø, Sverre O. (1996), "Tilting in abelian categories and quasitilted algebras", Memoirs of the American Mathematical Society , 575
•    Happel, Dieter; Ringel, Claus Michael (1982 ) , "Tilted algebras", Transactions of the American Mathematical Society , 274 (2): 399–443, doi : 10.2307/1999116 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1999116 , 5007  
•   Happel, Dieter (1988), Triangulated categories in the representation theory of finite-dimensional algebras, London Mathematical Society Lecture Notes Series, vol. 119, Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511629228 , ISBN 9780521339223
•   Happel, Dieter (2001), "En karakterisering av ärftliga kategorier med lutande föremål", Invent. Matematik. , 144 (2): 381–398, Bibcode : 2001InMat.144..381H , doi : 10.1007/s002220100135 , S2CID 120437744
• Rickard, Jeremy (1989), "Morita theory for derived categories", Journal of the London Mathematical Society , 39 (2): 436–456, doi : 10.1112/jlms/s2-39.3.436
• Unger, L. (2001) [1994], "Tilting theory" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press