Radikal av en modul

I matematik , i teorin om moduler , är det radikala i en modul en komponent i teorin om struktur och klassificering. Det är en generalisering av Jacobson-radikalen för ringar . På många sätt är det den dubbla föreställningen till den om socle soc( M ) av M .

Definition

Låt R vara en ring och M en vänster R - modul . En undermodul N av M kallas maximal eller cosimple om kvoten M / N är en enkel modul . Radikalen i modulen M är skärningspunkten mellan alla maximala submoduler av M ,

$\mathrm {rad} (M)=\bigcap _{N{\mbox{ är en maximal undermodul av }}M}N$

På motsvarande sätt,

$\mathrm {rad} (M)=\summa _{S{\mbox{ är en överflödig undermodul till }}M}S$

Dessa definitioner har direkta dubbla analoger för soc( M ).

Egenskaper

• Förutom faktumet att rad( M ) är summan av överflödiga submoduler, i en Noetherian modul är rad( M ) själv en överflödig submodul .
• En ring för vilken rad( M ) = {0} för varje höger R -modul M kallas en höger V-ring .
• För vilken modul M som helst är rad( M /rad( M )) noll.
• M är en ändligt genererad modul om och endast om cosoklen M /rad( M ) är ändligt genererad och rad( M ) är en överflödig submodul av M .

Se även

• Socle (matematik)
• Jacobson radikal

•   Alperin, JL ; Rowen B. Bell (1995). Grupper och representationer . Springer-Verlag . sid. 136. ISBN 0-387-94526-1 .
•   Anderson, Frank Wylie; Kent R. Fuller (1992). Ringar och kategorier av moduler . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97845-1 .