Ferrero–Washingtons teorem

I algebraisk talteori säger Ferrero –Washington-satsen , först bevisad av Ferrero & Washington (1979) och senare av Sinnott (1984) , att Iwasawas μ-invariant försvinner för cyklotomiska Z _p -förlängningar av abeliska algebraiska talfält .

Historia

Iwasawa (1959) introducerade μ-invarianten för en Zp -förlängning och observerade att den var noll i alla fall han beräknade _. Iwasawa & Sims (1966) använde en dator för att kontrollera att den försvinner för den cyklotomiska Zp -förlängningen av rationalerna för alla primtal mindre än 4000. Iwasawa (1971) antog senare att μ-invarianten försvinner för vilken Zp _{- förlängning som helst} , men kort efter upptäckte Iwasawa (1973) exempel på icke-cyklotomiska förlängningar av talfält med icke-försvinnande μ-invariant som visar att hans ursprungliga gissning var fel. Han föreslog dock att gissningarna fortfarande kan gälla för cyklotomiska Zp _- förlängningar.

Iwasawa (1958) visade att försvinnandet av μ-invarianten för cyklotomiska Zp -förlängningar av rationalerna är ekvivalent med vissa kongruenser mellan Bernoulli-tal , och _Ferrero & Washington (1979) visade att μ-invarianten försvinner i dessa fall genom att bevisa att dessa kongruenser håller.

Påstående

För ett talfält K låter vi K _m beteckna förlängningen med p ^m -potensrötter av enhet, ${\hat {K}}$ föreningen av K _m och A ^{( p )} den maximala unramified abelian p -förlängning av ${\hat {K}}$ . Låt Tate-modulen

$T_{p}(K)=\mathrm {Gal} (A^{(p)}/{\hat {K}})\ .$

Då är T _p ( K ) en pro- p -grupp och så en Z _p -modul. Med hjälp av klassfältteori kan man beskriva T _p ( K ) som isomorft till den omvända gränsen för klassgrupperna C _m av K _m under norm.

Iwasawa visade T _p ( K ) som en modul över kompletteringen Z _p [[ T ]] och detta innebär en formel för exponenten för p i ordningen av klassgrupperna C _m i formen

$\lambda m+\mu p^{m}+\kappa \ .$

Ferrero–Washington-satsen säger att μ är noll.

•      Ferrero, Bruce; Washington, Lawrence C. (1979), "The Iwasawa invariant μ _p vanishes for abelian number fields", Annals of Mathematics , Second Series, 109 (2): 377–395, doi : 10.2307/1971116 , ISSN 006X 4803-48 1971116 , MR 0528968 , Zbl 0443.12001
•   Iwasawa, Kenkichi (1958), "    some invariants of cyclotomic fields", American Journal of Mathematics , 81 (3): 773–783, doi : 10.2307/2372857 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 237278ion ( Och   237278ion ) On korrekt 2372857 )
•    Iwasawa, Kenkichi (1959), "On Γ-extensions of algebraic number fields", Bulletin of the American Mathematical Society , 65 (4): 183–226, doi : 10.1090 /S0002-9904-1959-10317-0002 ISSN 0002 -9904 , MR 0124316
•   Iwasawa, Kenkichi (1971), "On some infinite Abelian extensions of algebraic number fields" , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1 , Gauthier-Villars, s. 391–394, MR 0422205
•   Iwasawa, Kenkichi (1973), "On the μ-invariants of Z1-extensions" , Talteori, algebraisk geometri och kommutativ algebra, till ära av Yasuo Akizuki , Tokyo: Kinokuniya, s. 1–11, MR 0357371
•   Iwasawa, Kenkichi ; Sims, Charles C. ( 1966), "Computation of invariants in the theory of cyclotomic fields", Journal of the Mathematical Society of Japan , 18 : 86–96, doi : 10.2969/jmsj/01810086 , ISSN 0025-50645 027MR 027MR  
•     Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007), Introduktion till modern talteori , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 49 (andra upplagan), ISBN 978-3-540-20364-3 , ISSN 0938-0396 , Zbl 1079.11002
•     " On the μ-invariant of the Γ-transform of a rational function", Inventiones Mathematicae , 75 (2): 273–282, doi : 10.1007 / BF01388565 , ISSN 00020-99 , Zbl 0531.12004