Icke-dimensionalisering och skalning av Navier–Stokes ekvationer

Huvudartiklar: Navier–Stokes-ekvationer , Icke-dimensionalisering och Skalinvarians

I vätskemekanik är icke-dimensionalisering av Navier-Stokes-ekvationerna omvandlingen av Navier-Stokes-ekvationen till en icke-dimensionell form . Denna teknik kan underlätta analysen av problemet och minska antalet lediga parametrar . Små eller stora storlekar av vissa dimensionslösa parametrar indikerar betydelsen av vissa termer i ekvationerna för det studerade flödet. Detta kan ge möjligheter att försumma termer i (vissa områden av) det betraktade flödet. Vidare kan icke-dimensionaliserade Navier–Stokes-ekvationer vara fördelaktiga om man utsätts för liknande fysiska situationer – det vill säga problem där de enda förändringarna är de av systemets grundläggande dimensioner .

Skalning av Navier–Stokes ekvation hänvisar till processen att välja rätt rumsliga skalor – för en viss typ av flöde – som ska användas i icke-dimensionaliseringen av ekvationen. Eftersom de resulterande ekvationerna måste vara dimensionslösa måste en lämplig kombination av parametrar och konstanter för ekvationerna och flödes(domän)egenskaperna hittas. Som ett resultat av denna kombination reduceras antalet parametrar som ska analyseras och resultaten kan erhållas i termer av skalade variabler .

Behov av icke-dimensionalisering och skalning

Förutom att minska antalet parametrar, hjälper icke-dimensionaliserad ekvation till att få en större insikt i den relativa storleken på olika termer som finns i ekvationen. Efter lämpligt val av skalor för icke-dimensionaliseringsprocessen, leder detta till identifiering av små termer i ekvationen. Att försumma de mindre termerna mot de större möjliggör förenkling av situationen. För fallet med flöde utan värmeöverföring beror den icke-dimensionaliserade Navier–Stokes-ekvationen endast på Reynolds-talet och därför kommer alla fysiska realiseringar av det relaterade experimentet att ha samma värde av icke-dimensionaliserade variabler för samma Reynolds-tal.

Skalning hjälper till att ge bättre förståelse för den fysiska situationen, med variationen i dimensioner av parametrarna som är involverade i ekvationen. Detta möjliggör att experiment kan utföras på mindre skala prototyper förutsatt att alla fysiska effekter som inte ingår i den icke-dimensionaliserade ekvationen är oviktiga.

Icke-dimensionaliserad Navier–Stokes ekvation

Den inkompressibla Navier–Stokes momentumekvationen skrivs som:

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho } }\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {g} .$

där ρ är densiteten , p är trycket , ν är den kinematiska viskositeten , u är flödeshastigheten och g är kroppens accelerationsfält.

Ovanstående ekvation kan icke-dimensionaliseras genom val av lämpliga skalor enligt följande:

Skala	dimensionslös variabel
Längd L	$\mathbf {r} ^{*}\ ={\frac {\mathbf {r} }{L}}$ och $\nabla ^{*}\ =L\nabla$
Flödeshastighet U	$\mathbf {u} ^{*}\ ={\frac {\mathbf {u} }{U}}\,$
Tid L / U	$t^{*}\ ={\frac {t}{L/U}}\,$
Tryck : det finns inget naturligt urval för tryckskalan.	Där dynamiska effekter är dominerande dvs höghastighetsflöden $p^{*}={\frac {p}{\rho U^{2}}}$ Där viskösa effekter är dominerande dvs krypande flöden $p^{*}={\frac {pL}{\mu U}}$

Genom att ersätta skalorna blir den icke-dimensionaliserade ekvationen:

${\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\ mathbf {u^{*}} \ =-\nabla ^{*}p^{*}+{\frac {1}{Re}}\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} + {\frac {1}{Fr^{2}}}{\hat {g}}.$

 

 

 

 

()

där $Fr$ är Froude-talet och $Re$ är Reynolds-talet ( $Re=UL/\nu$ .

Flödar med hög viskositet

För flöden där viskösa krafter är dominerande dvs långsamma flöden med hög viskositet används en viskös tryckskala μ U / L. I frånvaro av en fri yta är den erhållna ekvationen

$Re\left({\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{ *})\mathbf {u^{*}} \right)\ =-\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} .$

 

 

 

 

()

Stokes regim

Se även: Stokes flow

Skalning av ekvation ( 1 ) kan göras, i ett flöde där tröghetstermen är mindre än den viskösa termen, dvs när Re → 0 kan tröghetstermer försummas, vilket lämnar ekvationen för en krypande rörelse .

$Re{\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}=-\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2 }\mathbf {u^{*}} .$

Sådana flöden tenderar att påverka viskös interaktion över stora avstånd från ett föremål. Vid lågt Reynolds nummer reduceras samma ekvation till en diffusionsekvation , kallad Stokes ekvation

$-\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} =\mathbf {0} .$

Eulers regim

På liknande sätt om Re → ∞ dvs när tröghetskrafterna dominerar, kan det viskösa bidraget försummas. Den icke-dimensionaliserade Euler-ekvationen för ett inviscid flöde är

${\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^ {*}} \ =-\nabla ^{*}p^{*}.$

När densiteten varierar beroende på både koncentration och temperatur

Densitetsvariation på grund av både koncentration och temperatur är ett viktigt studieområde inom dubbel diffusiv konvektion . Om densitetsförändringar på grund av både temperatur och salthalt beaktas, lägger ytterligare några termer till Z-komponenten av momentum enligt följande:

${\frac {\partial W}{\partial t}}+U{\frac {\partial W}{\partial X}}+W{\frac {\partial W}{ \partial Z}}\ =-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z}}+v\left({\frac {\ partiell ^{2}W}{\partial X^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial Z^{2}}}\right)\ -g\left(\ beta _{s}\nabla {S}-\beta _{T}\nabla {T}\right)$

Där S är vätskans salthalt, β _T är den termiska expansionskoefficienten vid konstant tryck och β _S är koefficienten för saltlösningens expansion vid konstant tryck och temperatur.

Icke-dimensionaliserande med hjälp av skalan:

$S^{*}={\frac {S-S_{B}}{S_{T}-S_{B}}}$ och $T^{*}={\frac {T-T_{B}}{T_{T}-T_{B}}}$

vi får

${\frac {\partial W^{*}}{\partial t^{*}}}+U^{* }{\frac {\partial W^{*}}{\partial X^{*}}}+W^{*}{\frac {\partial W^{*}}{\partial Z^{*}} }\ =-{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z^{*}}}+Pr\left({\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial X ^{*2}}}+{\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial Z^{*2}}}\right)\ -{Ra_{s}Pr_{s}S }+{Ra_{T}Pr_{T}T}$

där ST _T , Rayleigh _T betecknar salthalten och temperaturen vid toppskiktet, betecknar _S B _, TB salthalten och temperaturen vid bottenskiktet, Ra är -talet och Pr är Prandtl-talet . Tecknet för Ra _S och Ra _T kommer att ändras beroende på om det stabiliserar eller destabiliserar systemet.

Övrig

• "Icke-dimensionaliserande Navier–Stokes" . CFD Online . Hämtad 11 oktober 2012 .
• T.Cebeci J.RShao,F. Kafyeke E. Laurendeau, Computational Fluid Dynamics for Engineers, Springer, 2005
• C. Pozrikidis, FLUID DYNAMICS Theory, Computation, and Numerical Simulation, KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS, 2001

• Y. Cengel och J. Cimbala, FLUID MECHANICS: Fundamentals and Applications, 4:e upplagan, McGraw-Hill Education, 2018 (se p521, avsnitt 10.2. Nondimensionalized Equations of Motion).

Vidare läsning

•   Doering, CR ; Gibbon, JD (1995). Tillämpad analys av Navier–Stokes ekvationer . Cambridge Texts in Applied Mathematics. Vol. 12. Cambridge University Press. ISBN 9780521445689 .
•   Tritton, DJ (1988). "Kapitel 7 – Dynamisk likhet". Fysisk vätskedynamik (2:a upplagan). Oxford [England]: Clarendon Press. ISBN 0198544898 .
•   Mattheij, RMM; Rienstra, SW; ten Thije Boonkkamp, ​​JHM (2005). "§7.4 – Skalning och minskning av Navier–Stokes ekvationer". Partiella differentialekvationer: modellering, analys, beräkning . SIAM. s. 148–155. ISBN 9780898715941 .
•   Graebel, William (2007). "§6.2 – Gränsskiktsekvationerna". Avancerad vätskemekanik . Akademisk press. s. 171 –174. ISBN 9780123708854 .
• 
    Leal, L. Gary (2007). Avancerade transportfenomen: vätskemekanik och konvektiva transportprocesser . Cambridge University Press. ISBN 9780521849104 . Den här boken innehåller flera exempel på olika icke-dimensionaliseringar och skalningar av Navier–Stokes ekvationer, se s.430.
•   Krantz, William B. (2007). Skalningsanalys vid modellering av transport- och reaktionsprocesser: ett systematiskt tillvägagångssätt för modellbyggande och konsten att närma sig . John Wiley & Sons. ISBN 9780471772613 .
•   Zeytounian, Radyadour Kh. (2002). Asymptotisk modellering av vätskeflödesfenomen . Vätskemekanik och dess tillämpningar. Vol. 64. Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-4020-0432-2 .