Hardy–Littlewood cirkelmetod

Inom matematik är Hardy –Littlewood-cirkelmetoden en teknik för analytisk talteori . Den är uppkallad efter GH Hardy och JE Littlewood , som utvecklade den i en serie artiklar om Warings problem .

Historia

Den ursprungliga idén tillskrivs vanligtvis Hardys arbete med Srinivasa Ramanujan några år tidigare, 1916 och 1917, om partitionsfunktionens asymptotik . Det togs upp av många andra forskare, inklusive Harold Davenport och IM Vinogradov , som modifierade formuleringen något (flyttade från komplex analys till exponentiella summor ), utan att ändra de stora linjerna. Hundratals papper följde, och från och med 2022 ger metoden fortfarande resultat. Metoden är föremål för en monografi Vaughan (1997) av RC Vaughan .

Skissera

Målet är att bevisa asymptotiskt beteende hos en serie: att visa att a _n ~ F ( n ) för någon funktion. Detta görs genom att ta seriens genererande funktion och sedan beräkna resterna omkring noll (i huvudsak Fourier-koefficienterna) . Tekniskt sett är genereringsfunktionen skalad för att ha konvergensradie 1, så den har singulariteter på enhetscirkeln – så man kan inte ta konturintegralen över enhetscirkeln.

Cirkelmetoden är specifikt hur man beräknar dessa rester, genom att dela upp cirkeln i mindre bågar (cirkelns huvuddel) och större bågar (små bågar som innehåller de mest signifikanta singulariteterna), och sedan avgränsa beteendet på de mindre bågarna. Nyckelinsikten är att i många fall av intresse (som theta-funktioner ) uppstår singulariteterna vid rötterna av enhet , och betydelsen av singulariteterna är i ordningen för Farey-sekvensen . Sålunda kan man undersöka de mest betydande singulariteterna och, om man har tur, beräkna integralerna.

Uppstart

Cirkeln i fråga var från början enhetscirkeln i det komplexa planet. Om vi ​​antar att problemet först hade formulerats i termerna att för en sekvens av komplexa tal a a _n ~ F ( n ) n _för n = 0, 1, 2, 3, ... vill vi ha lite asymptotisk information av typen , där vi har någon heuristisk anledning att gissa formen som F (ansatz ) , skriver vi

$f(z)=\summa a_{n}z^{n}$

en kraftseriegenererande funktion . De intressanta fallen är där f då har en konvergensradie lika med 1, och vi antar att problemet som ställts har modifierats för att presentera denna situation.

Rester

Av den formuleringen följer det direkt av restsatsen att

$I_{n}=\oint _{C}f(z)z^{-(n+1 )}\,dz=2\pi ia_{n}$

för heltal n ≥ 0 , där C är en cirkel med radien r och centrerad vid 0, för varje r med 0 < r < 1 ; med andra ord, $I_{n}$ är en konturintegral , integrerad över den beskrivna cirkeln korsad en gång moturs. Vi skulle vilja ta r = 1 direkt, det vill säga att använda enhetens cirkelkontur. I den komplexa analysformuleringen är detta problematiskt, eftersom värdena på f kanske inte definieras där.

Singulariteter på enhetscirkel

Problemet med cirkelmetoden är att tvinga fram frågan om att ta r = 1 , genom en god förståelse för arten av singulariteterna f uppvisar på enhetscirkeln. Den grundläggande insikten är den roll som Farey-sekvensen av rationella tal spelar , eller på motsvarande sätt av enhetens rötter :

$\zeta \ =\exp \left({\frac {2\pi ir}{s}}\right).$

Här visar sig nämnaren s , om man antar att r / s är i lägsta termer , bestämma den relativa betydelsen av det singulara beteendet för typiska f nära ζ .

Metod

Hardy–Littlewood cirkelmetoden, för den komplexanalytiska formuleringen, kan då uttryckas. Bidragen till utvärderingen av I _n , som r → 1 , bör behandlas på två sätt, traditionellt kallade större bågar och mindre bågar . Vi delar upp enhetens rötter ζ i två klasser, beroende på om s ≤ N eller s > N , där N är en funktion av n som vi kan välja bekvämt. Integralen I _n delas upp i integraler var och en på någon cirkelbåge som gränsar till ζ , med längden en funktion av s (återigen, enligt vårt gottfinnande). Bågarna utgör hela cirkeln; summan av integralerna över de stora bågarna ska utgöra 2 πiF ( n ) (realistiskt sett kommer detta att hända upp till en hanterbar restterm). Summan av integralerna över de mindre bågarna ska ersättas med en övre gräns , mindre i ordningen än F ( n ) .

Diskussion

Frimodigt uttryckt så här är det inte alls självklart att detta kan fås att fungera. Insikterna är ganska djupa. En tydlig källa är teorin om theta-funktioner .

Warings problem

I samband med Warings problem är potenser för thetafunktioner de genererande funktionerna för kvadratsummans funktion . Deras analytiska beteende är känt i mycket mer exakt detalj än för kuberna, till exempel.

Typiskt singular beteende för en theta-funktion .

Det är så, som diagrammet med falska färger indikerar, att för en thetafunktion är den 'viktigaste' punkten på gränscirkeln vid z = 1 ; följt av z = −1 , och sedan de två komplexa kubrötterna av enhet vid 7-tiden och 11-tiden. Därefter är det de fjärde rötterna till enhet i och − i som betyder mest. Även om ingenting i detta garanterar att den analytiska metoden kommer att fungera, förklarar den logiken med att använda ett kriterium av Farey-serietyp på enhetens rötter.

När det gäller Warings problem tar man en tillräckligt hög kraft av genereringsfunktionen för att tvinga fram den situation där singulariteterna, organiserade i den så kallade singularserien , dominerar. Ju mindre slösaktiga uppskattningarna som används på resten, desto finare blir resultaten. Som Bryan Birch har uttryckt det är metoden i sig slösaktig. Det gäller inte fallet med partitionsfunktionen, som signalerade möjligheten att i en gynnsam situation kunde förlusterna från uppskattningar kontrolleras.

Vinogradov trigonometriska summor

Senare utökade IM Vinogradov tekniken och ersatte den exponentiella summaformuleringen f ( z ) med en ändlig Fourierserie , så att den relevanta integralen I _n är en Fourierkoefficient . Vinogradov tillämpade ändliga summor på Warings problem 1926, och den allmänna trigonometriska summametoden blev känd som "cirkelmetoden för Hardy, Littlewood och Ramanujan, i form av Vinogradovs trigonometriska summor". I huvudsak är allt detta gör att kassera hela "svansen" av genereringsfunktionen, vilket gör att verksamheten för r i den begränsande operationen kan ställas in direkt till värdet 1.

Ansökningar

Förfining av metoden har gjort det möjligt att bevisa resultat om lösningarna av homogena diofantiska ekvationer , så länge som antalet variabler k är stort i förhållande till graden d (se till exempel Birchs sats ). Detta visar sig vara ett bidrag till Hasse-principen , som kan ge kvantitativ information. Om d är fast och k är litet krävs andra metoder, och Hasse-principen tenderar faktiskt att misslyckas.

Rademachers kontur

Ford-cirklar : En cirkel vilar på varje bråkdel i lägsta termer. som för De 1 mörkare 31/ cirklarna 2 visas 3 är /5 bråken 1/2, , , 1/4, 3/4, , , and 4/5. Each circle is tangential to the base line and its neighboring circles (see also tangent lines to circles). Fractions with the same denominator have circles of the same size.

I det speciella fallet då cirkelmetoden tillämpas för att hitta koefficienterna för en modulär form av negativ vikt, hittade Hans Rademacher en modifiering av konturen som gör att serien som härrör från cirkelmetoden konvergerar till det exakta resultatet. För att beskriva hans kontur är det lämpligt att ersätta enhetscirkeln med det övre halvplanet, genom att göra substitutionen z = exp(2π iτ ) , så att konturintegralen blir en integral från τ = i till τ = 1 + i . (Siffran i skulle kunna ersättas med valfri siffra på det övre halvplanet , men i är det lämpligaste valet.) Rademachers kontur ges (mer eller mindre) av gränserna för alla Ford-cirklarna från 0 till 1, som visas i diagrammet. Ersättningen av linjen från i till 1 + i med gränserna för dessa cirklar är en icke-trivial begränsande process, som kan motiveras för modulära former som har negativ vikt, och med mer försiktighet också kan motiveras för icke-konstanta termer för vikt 0 (med andra ord modulära funktioner ).

Anteckningar

•   Apostol, Tom M. (1990), Modular functions and Dirichlet series in number theory (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97127-8
• Mardzhanishvili, KK (1985), "Ivan Matveevich Vinogradov: en kort översikt över hans liv och verk", IM Vinogradov, Selected Works , Berlin
•    Rademacher, Hans (1943), "Om utbyggnaden av partitionsfunktionen i en serie", Annals of Mathematics , Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 44, nr 3, 44 (3): 416–422, doi : 10.2307/1968973 , JSTOR 1968973 , MR 0008618
•   Vaughan, RC (1997), The Hardy–Littlewood Method , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 125 (andra upplagan), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57347-4

Vidare läsning

•    Wang, Yuan (1991). Diofantiska ekvationer och olikheter i algebraiska talfält . Berlin: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-3-642-58171-7 . ISBN 9783642634895 . OCLC 851809136 .

externa länkar

• Terence Tao , Heuristic limitations of the circle method , ett blogginlägg 2012