Tangentlinjer till cirklar

I den euklidiska plangeometrin är en tangentlinje till en cirkel en linje som berör cirkeln vid exakt en punkt och aldrig går in i cirkelns inre. Tangentlinjer till cirklar utgör föremål för flera satser och spelar en viktig roll i många geometriska konstruktioner och bevis . Eftersom tangentlinjen till en cirkel i en punkt $P$ är vinkelrät mot radien till den punkten, involverar satser som involverar tangentlinjer ofta radiella linjer och ortogonala cirklar.

Tangentlinjer till en cirkel

En tangentlinje t till en cirkel C skär cirkeln i en enda punkt T . Som jämförelse, sekantlinjer skär en cirkel vid två punkter, medan en annan linje kanske inte skär en cirkel alls. Denna egenskap hos tangentlinjer bevaras under många geometriska transformationer , såsom skalningar , rotation , translationer , inversioner och kartprojektioner . På fackspråk förändrar dessa transformationer inte infallsstrukturen för tangentlinjen och cirkeln, även om linjen och cirkeln kan vara deformerad.

En cirkels radie är vinkelrät mot tangentlinjen genom dess ändpunkt på cirkelns omkrets. Omvänt är vinkelrät till en radie genom samma ändpunkt en tangentlinje. Den resulterande geometriska figuren av cirkel och tangentlinje har en reflektionssymmetri kring radiens axel.

Med power-of-a-point theorem , produkten av längderna PM·PN för någon stråla PMN är lika med kvadraten på PT, längden på tangentlinjesegmentet (röd).

Ingen tangentlinje kan dras genom en punkt i en cirkel, eftersom en sådan linje måste vara en sekantlinje. Däremot två tangentlinjer dras till en cirkel från en punkt P utanför cirkeln. Den geometriska figuren av en cirkel och båda tangentlinjerna har likaså en reflektionssymmetri kring den radiella axeln som förbinder P med cirkelns mittpunkt O. Således är längderna på segmenten från P till de två tangentpunkterna lika. Genom sekant-tangenssatsen är kvadraten på denna tangentlängd lika med makten för punkten P i cirkeln C . Denna potens är lika med produkten av avstånden från P till två valfria skärningspunkter i cirkeln med en sekantlinje som går genom P .

Vinkeln θ mellan ett korda och en tangent är halva bågen som hör till kordan.

Tangentlinjen t och tangentpunkten T har ett konjugerat förhållande till varandra, vilket har generaliserats till idén om polpunkter och polära linjer . Samma ömsesidiga relation finns mellan en punkt P utanför cirkeln och den sekantlinje som förenar dess två tangenspunkter.

Om en punkt P ligger utanför en cirkel med centrum O, och om tangentlinjerna från P berör cirkeln vid punkterna T och S, är ∠TPS och ∠TOS kompletterande (summa till 180°).

Om ett ackord TM dras från tangenspunkten T för yttre punkt P och ∠PTM ≤ 90° så är ∠PTM = (1/2)∠TOM.

Kartesisk ekvation

Antag att ekvationen för cirkeln i kartesiska koordinater är $(xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2 }$ med mitten vid $(a,b)$ . Då har tangentlinjen i cirkeln vid $(x_{1},y_{1})$ en kartesisk ekvation

(x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_ {1})(y_{1}-b)=0

Detta kan bevisas genom att ta den implicita derivatan av cirkeln.

Kompass- och rakledskonstruktioner

Det är relativt enkelt att konstruera en linje t som tangerar en cirkel i en punkt T på cirkelns omkrets:

En linje a dras från O , cirkelns centrum, genom radialpunkten T ;
Linjen t är den vinkelräta linjen till a .

Konstruktion av en tangent till en given cirkel (svart) från en given yttre punkt (P).

Thales sats kan användas för att konstruera tangentlinjerna till en punkt P utanför cirkeln C :

En cirkel ritas centrerad på mittpunkten av linjesegmentet OP, med diameter OP, där O återigen är mitten av cirkeln C .
Skärningspunkterna T ₁ och T ₂ för cirkeln C och den nya cirkeln är tangentpunkterna för linjer som går genom P , med följande argument.

Linjesegmenten OT ₁ och OT ₂ är radier av cirkeln C ; eftersom båda är inskrivna i en halvcirkel är de vinkelräta mot linjesegmenten PT ₁ respektive PT _{2 .} Men endast en tangentlinje är vinkelrät mot den radiella linjen. De två linjerna från P och som går genom T ₁ och T ₂ tangerar alltså cirkeln C .

En annan metod för att konstruera tangentlinjerna till en punkt P utanför cirkeln med endast en rätlinje :

Rita valfria tre olika linjer genom den givna punkten P som skär cirkeln två gånger.
Låt $A_{1},A_{2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$ vara de sex skärningspunkterna, med samma bokstav som motsvarar samma linje och index 1 som motsvarar punkten närmare P.
Låt D vara punkten där linjerna $A_{1}B_{2}$ och $A_{2}B_{1}$ skär varandra,
På liknande sätt E för linjerna $B_{1}C_{2}$ och $B_{2}C_{1}$ .
Dra en linje genom D och E.
Denna linje möter cirkeln vid två punkter, F och G.
Tangenterna är linjerna PF och PG.

Med analytisk geometri

Låt $P=(a,b)$ vara en punkt i cirkeln med ekvation $x^{2}+y^{2}= r^{2}$ . Tangenten vid $P}$ ${\vec {OP}}=(a,b)^{T}$ har ekvationen $ax+by=r^{2}$ , eftersom $P$ ligger på både kurvorna och är en normalvektor för linjen. Tangenten skär x-axeln i punkten $P_{0}=(x_{0},0)$ med $ax_{0}=r^{2 }$ .

Tangenter genom en punkt

Omvänt, om man börjar med punkten $P_{0}=(x_{0},0)$ , så möter de två tangenterna genom $P_{0}$ cirkeln vid två punkter $P_{1/2}=(a,b_{\pm })$ med

a={\frac {r^{2}}{x_{0}}},\qquad b_ {\pm }=\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}=\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{ 2}-r^{2}}}\quad

. Skrivet i vektorform:

{\binom {a}{b_{\pm }}}={\frac {r^{2}}{x_{0}}}{\binom {1}{0}}\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {0}{1}}\ .

Om punkten $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ inte ligger på x-axeln: I vektorformen ersätter man $x_{0 }$ med avståndet $\ d_{0}={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}\$ och enhetens bas vektorer av den ortogonala enheten vektorerna $\ {\vec {e}}_{1}={\frac {1} {d_{0}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}},\ {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{d_{0}}} {\binom {-y_{0}}{x_{0}}}\$ . Sedan rör tangenterna genom punkten $P_{0}$ cirkeln vid punkterna

{\binom {x_{1/2}}{y_{1/2}}}={\frac {r^{2}}{d_{0}^{2}}}{\binom {x_ {0}}{y_{0}}}\pm {\frac {r}{d_{0}^{2}}}{\sqrt {d_{0}^{2}-r^{2}}} {\binom {-y_{0}}{x_{0}}}\ .

För $d_{0}<r$ finns inga tangenter. För $d_{0}=r$ punkt $P_{0}$ på cirkeln och det finns bara en tangent med ekvationen $x_{0 }x+y_{0}y=r^{2}$ . I fallet $d_{0}>r$ finns det 2 tangenter med ekvationerna $\ x_{1 }x+y_{1}y=r^{2},\ x_{2}x+y_{2}y=r^{2}$ .

Relation till cirkelinversion : Ekvation $ax_{0}=r^{2}$ beskriver cirkelinversionen av punkt $(x_{0},0)$ .

Relation till pol och polär : Polaren för punkt $(x_{0},0)$ har ekvation $xx_{0}=r^{2}$ .

Tangentiella polygoner

En tangentiell polygon är en polygon vars sidor tangerar en viss cirkel, som kallas dess incirkel . Varje triangel är en tangentiell polygon, liksom varje vanlig polygon med valfritt antal sidor; Dessutom finns det för varje antal polygonsidor ett oändligt antal icke- kongruenta tangentiella polygoner.

Tangent fyrsidig teorem och inskrivna cirklar

En tangentiell fyrhörning ABCD är en sluten figur av fyra raka sidor som tangerar en given cirkel C . På motsvarande sätt är cirkeln C inskriven i fyrhörningen ABCD. Enligt Pitotsatsen är summan av motsatta sidor av en sådan fyrhörning lika, dvs.

{\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {BC}}+{\overline {DA}}.

Tangentiell fyrhörning

Denna slutsats följer av likheten mellan tangentsegmenten från fyrhörningens fyra hörn. Låt tangentpunkterna betecknas som P (på segment AB), Q (på segment BC), R (på segment CD) och S (på segment DA). De symmetriska tangentsegmenten kring varje punkt i ABCD är lika, t.ex. BP=BQ= b , CQ=CR= c , DR=DS= d och AS=AP= a . Men varje sida av fyrhörningen är sammansatt av två sådana tangentsegment

{\overline {AB}}+ {\overline {CD}}=(a+b)+(c+d)={\overline {BC}}+{\overline {DA}}=(b+c)+(d+a)

bevisar satsen.

Det omvända är också sant: en cirkel kan skrivas in i varje fyrhörning där längden på motsatta sidor summerar till samma värde.

Denna sats och dess motsats har olika användningsområden. Till exempel visar de direkt att ingen rektangel kan ha en inskriven cirkel om den inte är en kvadrat , och att varje romb har en inskriven cirkel, medan en allmän parallellogram inte har det.

Tangentlinjer till två cirklar

De två cirklarnas yttre (ovan) och inre (under) homotetiska centrum S.

För två cirklar finns det i allmänhet fyra distinkta linjer som tangerar båda ( bitangenta ) – om de två cirklarna är utanför varandra – men i degenererade fall kan det finnas valfritt tal mellan noll och fyra bitangenta linjer; dessa behandlas nedan. För två av dessa, de yttre tangentlinjerna, faller cirklarna på samma sida av linjen; för de två andra, de inre tangentlinjerna, faller cirklarna på motsatta sidor av linjen. De yttre tangentlinjerna skär varandra i det externa homotetiska centret , medan de inre tangentlinjerna skär i det inre homotetiska centret. Både det yttre och det inre homotetiska centret ligger på centrumlinjen (linjen som förbinder de två cirklarnas centrum), närmare mitten av den mindre cirkeln: det inre centret ligger i segmentet mellan de två cirklarna, medan det yttre centret är inte mellan punkterna, utan snarare utanför, på sidan av mitten av den mindre cirkeln. Om de två cirklarna har samma radie, finns det fortfarande fyra bitangenter, men de yttre tangentlinjerna är parallella och det finns inget yttre centrum i det affina planet ; i det projektiva planet ligger det yttre homotetiska centret vid den punkt i oändligheten som motsvarar lutningen av dessa linjer.

Yttre tangent

Hitta yttre tangent. Två cirklars yttre tangenter.

Den röda linjen som förenar punkterna $(x_{3},y_{3})$ och $(x_{4},y_{4})$ är den yttre tangenten mellan de två cirklarna. Givna poäng $(x_{1},y_{1})$ , $(x_{2},y_{2})$ punkterna $(x_{3},y_{3})$ , $(x_{4},y_{4})$ kan enkelt beräknas med hjälp av vinkeln $\alpha$ :

{\begin{aligned}x_ {3}&=x_{1}\pm r\sin \alpha \\y_{3}&=y_{1}\pm r\cos \alpha \\x_{4}&=x_{2}\pm R \sin \alpha \\y_{4}&=y_{2}\pm R\cos \alpha \\\end{aligned}}

Här noterar R och r radierna för de två cirklarna och vinkeln $\alpha$ kan beräknas med hjälp av grundläggande trigonometri. Du har $\alpha =\gamma -\beta$ med $\gamma =-\arctan \left({ \tfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)$ och $\beta =\pm \arcsin \left({\tfrac {Rr}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2 }-y_{1})^{2}}}}\right)$ . ^{[ misslyckad verifiering – se diskussion ]}

Yttre tangenter till två cirklar

Avstånden mellan centrum för de närmare och längre cirklarna, O ₂ och O ₁ och punkten där de två yttre tangenterna i de två cirklarna skär varandra ( homotetiskt centrum ) , 'S' respektive kan fastställas genom att använda likheten enligt följande:

{\frac {dr}{r_{1}-r_{2}}}

Här kan r vara r ₁ eller r ₂ beroende på behovet av att hitta avstånd från mitten av den närmare eller längre cirkeln, O ₂ och O ₁ . d är avståndet O ₁ O ₂ mellan mitten av två cirklar

Inre tangent

Inre tangent. De yttre tangentlinjerna passerar genom det inre homotetiska centrumet.

En inre tangent är en tangent som skär segmentet som förenar två cirklars centrum. Observera att den inre tangenten inte kommer att definieras för fall då de två cirklarna överlappar varandra.

Konstruktion

De bitangenta linjerna kan konstrueras antingen genom att konstruera de homotetiska centran, som beskrivs i den artikeln, och sedan konstruera tangentlinjerna genom det homotetiska centrumet som tangerar en cirkel, med någon av metoderna som beskrivs ovan. Den resulterande linjen kommer då att tangera den andra cirkeln också. Alternativt kan tangentlinjerna och tangentpunkterna konstrueras mer direkt, som beskrivs i detalj nedan. Observera att i degenererade fall går dessa konstruktioner sönder; för att förenkla framställningen diskuteras inte detta i detta avsnitt, men en form av konstruktionen kan fungera i gränsfall (t.ex. två cirklar som tangerar i en punkt).

Syntetisk geometri

Låt O ₁ och O ₂ vara mitten av de två cirklarna, C ₁ och C ₂ och låt r ₁ och r ₂ vara deras radier , med r ₁ > r ₂ ; med andra ord _, cirkel Ci definieras som den största av de två cirklarna. Två olika metoder kan användas för att konstruera de yttre och inre tangentlinjerna.

Externa tangenter

Konstruktion av den yttre tangenten

En ny cirkel C ₃ med radien r ₁ − r ₂ ritas centrerad på O ₁ . Med metoden ovan ritas två linjer från O ₂ som tangerar denna nya cirkel. Dessa linjer är parallella med de önskade tangentlinjerna, eftersom situationen motsvarar att krympa båda cirklarna C ₁ och C ₂ med en konstant mängd, r ₂ , vilket krymper C ₂ till en punkt. Två radiella linjer kan dras från centrum O ₁ genom tangentpunkterna på C ₃ ; dessa skär C ₁ vid de önskade tangentpunkterna. De önskade externa tangentlinjerna är linjerna vinkelräta mot dessa radiella linjer vid dessa tangentpunkter, som kan konstrueras enligt beskrivningen ovan.

Inre tangenter

Konstruktion av den inre tangenten

En ny cirkel C ₃ med radien r ₁ + r ₂ ritas centrerad på O ₁ . Med metoden ovan ritas två linjer från O ₂ som tangerar denna nya cirkel. Dessa linjer är parallella med de önskade tangentlinjerna, eftersom situationen motsvarar att krympa C ₂ till en punkt medan C _{1 expanderas} med en konstant mängd, r ₂ . Två radiella linjer kan dras från centrum O ₁ genom tangentpunkterna på C ₃ ; dessa skär C ₁ vid de önskade tangentpunkterna. De önskade inre tangentlinjerna är linjerna vinkelräta mot dessa radiella linjer vid dessa tangentpunkter, som kan konstrueras enligt ovan.

Analytisk geometri

Låt cirklarna ha centrum c ₁ = ( x ₁ , y ₁ ) och c ₂ = ( x ₂ , y ₂ ) med radien r ₁ respektive r ₂ . Om man uttrycker en linje med ekvationen $ax+by+c=0,$ med normaliseringen a ² + b ² = 1, så uppfyller en bitangent linje:

ax ₁ + by ₁ + c = r ₁ och

ax ₂ + by ₂ + c = r ₂ .

Lösa för $(a,b,c)$ genom att subtrahera den första från den andra avkastningen

a Δ x + b Δ y = Δ r

där Δ x = x ₂ − x ₁ , Δ y = y ₂ − y ₁ och Δ r = r ₂ − r ₁ .

Om ${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}} är$ avståndet från c ₁ till c ₂ kan vi normalisera med X = Δ x / d , Y = Δ y / d och R = Δ r / d för att förenkla ekvationer, vilket ger ekvationerna aX + bY = R och a ² + b ² = 1, lös dessa för att få två lösningar ( k = ±1) för de två externa tangentlinjerna:

a = RX − kY √(1 − R ² )

b = RY + kX √(1 − R ² )

c = r ₁ − ( ax ₁ + by ₁ )

Geometriskt motsvarar detta att beräkna vinkeln som bildas av tangentlinjerna och centrumlinjen, och sedan använda den för att rotera ekvationen för centrumlinjen för att ge en ekvation för tangentlinjen. Vinkeln beräknas genom att beräkna de trigonometriska funktionerna för en rätvinklig triangel vars hörn är det (yttre) homotetiska centrumet, ett cirkelcentrum och en tangentpunkt; hypotenusan ligger på tangentlinjen, radien är motsatt vinkeln och den intilliggande sidan ligger på centrumlinjen.

( X , Y ) är enhetsvektorn som pekar från c ₁ till c ₂ , medan R är $\cos \theta$ där $\theta$ är vinkeln mellan centrumlinjen och en tangent linje. $\sin \theta$ är då $\pm {\sqrt {1-R^{2}}}$ (beroende på tecknet för $\theta$ , motsvarande rotationsriktningen), och ovanstående ekvationer är rotation av ( X , Y ) med $\pm \theta ,$ med hjälp av rotationsmatrisen:

{\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R ^{2}}}&R\end{pmatrix}}

k = 1 är tangentlinjen till höger om cirklarna från c ₁ till c ₂ .

k = −1 är tangentlinjen till höger om cirklarna från c ₂ till c ₁ .

Ovanstående antar att varje cirkel har positiv radie. Om r ₁ är positiv och r ₂ negativ kommer c ₁ att ligga till vänster om varje linje och c ₂ till höger, och de två tangentlinjerna kommer att korsas. På detta sätt erhålls alla fyra lösningarna. Omkopplingstecken för båda radieomkopplarna k = 1 och k = −1.

Vektorer

Hitta yttre tangent. Cirkeltangenter.

ges tangenspunkterna t ₁ och t ₂ för de fyra linjerna som tangerar två cirklar med centrum v ₁ och v ₂ och radier r ₁ och r _{2 genom att lösa de samtidiga ekvationerna:}

{\begin{aligned}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{ 1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_ {2}^{2}\\\end{aligned}}

Dessa ekvationer uttrycker att tangentlinjen, som är parallell med $t_{2}-t_{1},$ är vinkelrät mot radierna, och att tangentpunkterna ligger på sina respektive cirklar.

Dessa är fyra andragradsekvationer i två tvådimensionella vektorvariabler, och i allmänhet kommer positionen att ha fyra par av lösningar.

Degenererade fall

Två distinkta cirklar kan ha mellan noll och fyra bitangenta linjer, beroende på konfiguration; dessa kan klassificeras i termer av avståndet mellan mittpunkterna och radierna. Om det räknas med multiplicitet (räkna en gemensam tangent två gånger) finns det noll, två eller fyra bitangenta linjer. Bitangenta linjer kan också generaliseras till cirklar med negativ eller noll radie. De degenererade fallen och mångfalden kan också förstås i termer av gränser för andra konfigurationer - t.ex. en gräns för två cirklar som nästan rör vid varandra, och flytta en så att de berörs, eller en cirkel med liten radie som krymper till en cirkel med noll radie .

Om cirklarna är utanför varandra ( $d>r_{1}+r_{2}$ ), vilket är allmän position , finns det fyra bitangenter.
Om de vidrör externt vid en punkt ( $d=r_{1}+r_{2}$ ) – har en punkt med extern tangens – så har de två externa bitangens och en intern bitangens, nämligen den gemensamma tangentlinjen. Denna gemensamma tangentlinje har multiplicitet två, eftersom den separerar cirklarna (en till vänster, en till höger) för endera orienteringen (riktning).
Om cirklarna skär varandra i två punkter ( $|r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}$ ), då har de inga inre bitangenter och två externa bitangenter (de kan inte separeras, eftersom de skär varandra, alltså inga inre bitangenter).
Om cirklarna berör internt vid en punkt ( $d=|r_{1}-r_{2}|$ ) – har en punkt med intern tangens – så har de inga interna bitangenter och en extern bitangens, nämligen den gemensamma tangentlinjen, som har multiplicitet två, som ovan.
Om en cirkel är helt inuti den andra ( $d<|r_{1}-r_{2}|$ ) så har de inga bitangenter, som en tangentlinje till den yttre cirkeln skär inte den inre cirkeln, eller omvänt är en tangentlinje till den inre cirkeln en sekantlinje till den yttre cirkeln.

Slutligen, om de två cirklarna är identiska, är varje tangent till cirkeln en gemensam tangent och därmed (extern) bitangens, så det finns en cirkels värde av bitangenter.

Vidare kan begreppet bitangenta linjer utvidgas till cirklar med negativ radie (samma plats för punkter, $x^{2}+y^{2}=( -r)^{2},$ men betraktas som "inifrån och ut"), i vilket fall om radierna har motsatt tecken (en cirkel har negativ radie och den andra har positiv radie) de yttre och inre homotetiska centra och externa och inre bitangenter är omkopplade, medan om radierna har samma tecken (båda positiva radier eller båda negativa radier) har "extern" och "intern" samma vanliga känsla (om du byter ett tecken växlar de, så om du byter båda växlar de tillbaka).

Bitangenta linjer kan också definieras när en eller båda cirklarna har radien noll. I det här fallet är cirkeln med radien noll en dubbelpunkt, och därför skär varje linje som går genom den punkten med multiplicitet två, och är därför "tangent". Om en cirkel har radien noll, är en bitangens linje helt enkelt en linje som tangerar cirkeln och går genom punkten och räknas med multiplicitet två. Om båda cirklarna har radien noll, är den bitangenta linjen den linje de definierar, och räknas med multiplicitet fyra.

Observera att i dessa degenererade fall existerar det yttre och inre homotetiska centret i allmänhet fortfarande (det yttre centret är vid oändligheten om radierna är lika), förutom om cirklarna sammanfaller, i vilket fall det yttre centret inte är definierat, eller om båda cirklarna har radien noll, i vilket fall det interna centrumet inte är definierat.

Ansökningar

Bälte problem

De inre och yttre tangentlinjerna är användbara för att lösa remproblemet , vilket är att beräkna längden på en rem eller ett rep som behövs för att passa tätt över två remskivor. Om remmen anses vara en matematisk linje med försumbar tjocklek, och om båda remskivorna antas ligga i exakt samma plan, handlar problemet om att summera längderna av de relevanta tangentlinjesegmenten med längderna av cirkulära bågar omslutna av bälte. Om remmen lindas runt hjulen för att korsa, är de inre tangentlinjesegmenten relevanta. Omvänt, om remmen är lindad utvändigt runt remskivorna, är de yttre tangentlinjesegmenten relevanta; detta fall kallas ibland remskivan problemet .

Tangentlinjer till tre cirklar: Monges sats

För _tre_cirklar_betecknade med C1 , C2 och C3 , finns _det_tre par _av cirklar ₍ C1C2 , C2C3 och C1C3 ₎_. Eftersom varje par av cirklar har två homotetiska centra, finns det sex homotetiska centra totalt. Gaspard Monge visade i början av 1800-talet att dessa sex punkter ligger på fyra linjer, där varje linje har tre kolinjära punkter.

Apollonius problem

Animation som visar den inversiva transformationen av ett Apollonius-problem. De blå och röda cirklarna sväller till tangens och är inverterade i den grå cirkeln, vilket ger två raka linjer. De gula lösningarna hittas genom att föra en cirkel mellan dem tills den nuddar den förvandlade gröna cirkeln inifrån eller ut.

Många specialfall av Apollonius problem handlar om att hitta en cirkel som tangerar en eller flera linjer. Det enklaste av dessa är att konstruera cirklar som tangerar tre givna linjer ( LLL- problemet). För att lösa detta problem måste mitten av en sådan cirkel ligga på en vinkelhalveringslinje för något par av linjerna; det finns två vinkel-bisekerande linjer för varje skärning av två linjer. Skärningspunkterna för dessa vinkelhalveringslinjer ger lösningscirklarnas centrum. Det finns fyra sådana cirklar i allmänhet, den inskrivna cirkeln av triangeln som bildas av skärningspunkten mellan de tre linjerna, och de tre beskrivna cirklarna.

Ett allmänt Apollonius-problem kan omvandlas till det enklare problemet med cirkel som tangerar en cirkel och två parallella linjer (i sig ett specialfall av LLC- specialfallet ). För att åstadkomma detta räcker det med att skala två av de tre givna cirklarna tills de precis berör, dvs. En inversion i deras tangentpunkt med avseende på en cirkel med lämplig radie omvandlar de två vidrörande givna cirklarna till två parallella linjer, och den tredje givna cirkeln till en annan cirkel. Sålunda kan lösningarna hittas genom att förskjuta en cirkel med konstant radie mellan två parallella linjer tills den kommer i kontakt med den transformerade tredje cirkeln. Re-inversion producerar motsvarande lösningar på det ursprungliga problemet.

Generaliseringar

Begreppet tangentlinje och tangentpunkt kan generaliseras till en polpunkt Q och dess motsvarande polära linje q . Punkterna P och Q är inverser av varandra med avseende på cirkeln.

Begreppet en tangentlinje till en eller flera cirklar kan generaliseras på flera sätt. För det första kan det konjugerade förhållandet mellan tangentpunkter och tangentlinjer generaliseras till polpunkter och polära linjer, där polpunkterna kan vara var som helst, inte bara på cirkelns omkrets. För det andra är föreningen av två cirklar ett speciellt ( reducerbart ) fall av en kvartplanskurva , och de yttre och inre tangentlinjerna är bitangenterna till denna kvartskurva. En generisk kvartskurva har 28 bitangenter.

En tredje generalisering betraktar tangentcirklar snarare än tangentlinjer; en tangentlinje kan betraktas som en tangentcirkel med oändlig radie. I synnerhet är de yttre tangentlinjerna till två cirklar begränsningsfall av en familj av cirklar som tangerar båda cirklarna internt eller externt, medan de inre tangentlinjerna är gränsfall av en familj av cirklar som tangerar en internt och externt tangerar. till den andra av de två cirklarna.

I Möbius eller inversiv geometri ses linjer som cirklar genom en punkt "i oändligheten" och för vilken linje och vilken cirkel som helst finns det en Möbius-transformation som mappar den ena till den andra. I Möbius geometri blir tangens mellan en linje och en cirkel ett specialfall av tangens mellan två cirklar. Denna ekvivalens utökas ytterligare i Lie-sfärgeometrin .

Radie och tangentlinje är vinkelräta vid en punkt i en cirkel och hyperbolisk-ortogonala vid en punkt av enhetens hyperbel . Den $sinh a).}$ representationen av enhetshyperbeln \ Derivatan av p ( a ) pekar i tangentlinjens riktning vid p ( a ), och är ${\frac {dp}{da}}\ =\ (\sinh a,\cosh a).$ Radien och tangenten är hyperboliska ortogonala vid a eftersom $p (a)\ {\text{och}}\ {\frac {dp}{da}}$ är reflektioner av varandra i asymptoten y=x för enhetens hyperbel. När de tolkas som delade-komplexa tal (där jj = +1), uppfyller de två talen $jp(a)\ =\ {\frac {dp}{da}}.$

externa länkar